數(shù)學課堂探究：平面向量基本定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一基底的判斷兩個向量能否作為基底關(guān)鍵是判斷這兩個向量中是否有零向量或這兩個向量是否共線．【例1】已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(3x－4y）·e1＋(2x－3y）e2＝6e1＋3e2，則x－y的值等于（）A．3B．－3C．0D．2解析：由得故x－y＝3．答案：A名師點撥若a,b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0．【例2】已知e1和e2不共線，則下列各組向量可以作為基底的是________．(填序號)①a＝2e1，b＝－2e1;②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．解析:①a＝－b;②b＝－2a；③a＝4b,所以①②③不能作基底．答案：④探究二用基底表示向量用基底來表示向量主要有以下兩種類型：(1)直接利用基底,結(jié)合向量的線性運算，靈活應(yīng)用三角形法則與平行四邊形法則求解．(2)若直接利用基底表示比較困難，則利用“正難則反"的原則，采用方程思想求解．【例3】已知在△ABC中,D為BC的中點，E，F(xiàn)為BC的三等分點，若＝a,＝b,用a，b表示,，．分析:把，,分別放在一個封閉三角形中，利用線性運算不斷地向基底靠攏．解：由題意，得＝＋＝＋＝＋(－）＝a＋（b－a）＝a＋b，＝＋＝a＋（b－a)＝a＋b,＝＋＝a＋(b－a）＝a＋b．探究三直線的向量參數(shù)方程式的應(yīng)用直線的向量參數(shù)方程式＝（1－t）＋t(t為實數(shù)）包含兩層意思:(1）當點P在直線AB上時滿足該式；(2)反之，當點P滿足該式時，點P一定在直線AB上．【例4】如圖所示,在△ABC中，＝,P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為（）A．B．C．D．解析：因為＝，所以＝4．又＝m＋,所以＝m＋．因為P，B，N三點共線，所以由直線的向量參數(shù)方程式知m＋＝1，所以m＝．答案：C探究四向量法證明幾何問題選取合適的基底，將待證的向量用基底表示，可以證明線段平行等位置關(guān)系．【例5】如圖所示,點M是AB邊上的中點，E是CM的中點，AE的延長線交BC于點F，MH∥AF，且MH交BC于點H．求證：＝＝．證明:設(shè)＝a，＝b,則＝a＋b，＝＋＋＝－＋2＋2＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b,＝＋＝eq\f(1，2)＋＝－＋＋＝－b＋＋－＝－b＋a＋2－＝－b＋a＋2b－b＝a＋b．綜上可得：＝＝．探究五確定兩直線交點的位置問題基底建模是向量法解決幾何圖形有關(guān)證明和求解的重要方法，關(guān)鍵在于選取的基底是否合適．【例6】如圖所示，在△ABC中,點M在邊BC上，且BM＝eq\f（1,2）MC，點N在邊AC上,且AN＝3NC，AM與BN相交于點P,求AP∶PM的值．分析：選擇一組合適的向量作為基底，用這組基底表示平面內(nèi)的有關(guān)向量,再由向量共線的條件列出等式，用待定系數(shù)法解之．解：設(shè)＝e1，＝e2，則＝＋＝－4e2－2e1，＝＋＝3e1＋e2．因為A,P，M和B，P，N分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ，使得＝λ＝－2λe1－4λe2,＝μ＝3μe1＋μe2