廣東省汕頭市澄海區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二級(jí)數(shù)學(xué)科試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用2B鉛筆涂寫在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．3．答非選擇題時(shí)，必須用黑色簽字筆或鋼筆，將答案寫在答題卡上規(guī)定的位置上．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考人將答題卡收回，試卷考生自己保管．第一部分（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共有8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把它選出后在答題卡規(guī)定的位置上用鉛筆涂黑．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（）A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.24.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.128 B.64 C.32 D.165.的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.6.中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的非凡智慧．一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂時(shí)，水面寬．若水面下降，則水面寬度為（）A B. C. D.7.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，若直線與平面交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A. B.2C. D.8.設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)恰好是點(diǎn)，且，則的離心率為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)，則（）A.B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.的圖象可由曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到10.已知雙曲線：，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 B.雙曲線的焦距為C.雙曲線離心率為 D.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為11.已知空間中三點(diǎn)，，，則正確的有（）A.平面的一個(gè)法向量是 B.與是共線向量C.與夾角的余弦值是 D.點(diǎn)到直線的距離是12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，下列結(jié)論正確的是（）A.圓的方程是B.過點(diǎn)向圓引切線，兩條切線的夾角為C.過點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離，該直線斜率為D.在直線上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得三、填空題：本大題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷相應(yīng)橫線上．13.在等差數(shù)列中，，，則．14.已知直線：與直線：垂直，則_________．15.正方體棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)是正方形的中心，則異面直線與所成角的大小是_______16.已知直線l與圓交于兩點(diǎn)，且，則的最大值為________．四、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．溫馨提示：考生請(qǐng)注意在答題卷規(guī)定區(qū)域內(nèi)用黑色筆作答，超出指定區(qū)域答題不給分．17.在區(qū)運(yùn)會(huì)的跳高比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員試跳過某個(gè)高度成功的概率依次為，，且每次試跳成功與否互不影響．（1）求甲試跳兩次，至少有一次成功的概率；（2）求甲、乙各試跳一次，恰有一人試跳成功的概率．18.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和，已知（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和．19.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線和平面所成角的大?。?0.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若求△ABC的周長(zhǎng)的最大值．21.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求平面和平面夾角的大小；（3）若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值．22.已知橢圓：的離心率為，且橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)，為橢圓上不同兩點(diǎn)，過橢圓上的點(diǎn)作，且，求證：的面積為定值．2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二級(jí)數(shù)學(xué)科試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用2B鉛筆涂寫在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．3．答非選擇題時(shí)，必須用黑色簽字筆或鋼筆，將答案寫在答題卡上規(guī)定的位置上．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考人將答題卡收回，試卷考生自己保管．第一部分（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共有8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把它選出后在答題卡規(guī)定的位置上用鉛筆涂黑．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以故選：A.2.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)傾斜角的定義即可求解.【詳解】直線即的傾斜角為，故選：C.3.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出，利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】，故.故選：C4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.128 B.64 C.32 D.16【答案】B【解析】【分析】設(shè)公比為，即可得到、的方程組，解得、，即可得解.【詳解】設(shè)公比為，則，，顯然，所以，解得，所以.故選：B5.的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C6.中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的非凡智慧．一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂時(shí)，水面寬．若水面下降，則水面寬度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以拱橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，根據(jù)條件求出，再解出時(shí)，的值，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，以拱橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，又由題知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，得到，所以拋物線方程為，當(dāng)水面下下降，即，代入，解得，所以此時(shí)水面寬度為,故選：A.7.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，若直線與平面交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A. B.2C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線可得，進(jìn)而根據(jù)空間中點(diǎn)點(diǎn)距離即可求解.【詳解】如圖，連接，因?yàn)橹本€與都在平面內(nèi)，所以直線與的交點(diǎn)即與平面的交點(diǎn)，由于且，故由三角形相似，可得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，從而，所以的坐標(biāo)為，所以,故選:B8.設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)恰好是點(diǎn)，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓的定義可推得，.然后根據(jù)，可推得.最后根據(jù)余弦定理，即可得到關(guān)于的齊次方程，即可得出離心率.【詳解】設(shè)，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時(shí)除以可得，，解得或（舍去），所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)，則（）A.B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.的圖象可由曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；的最小正周期，故B正確；當(dāng)，則，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；將向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故D正確；故選：BD10.已知雙曲線：，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 B.雙曲線的焦距為C.雙曲線的離心率為 D.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為【答案】BCD【解析】【分析】首先求出、、，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)一一計(jì)算可得.詳解】雙曲線，則，，所以，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；雙曲線的焦距為，故B正確；雙曲線的離心率，故C正確；雙曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，故D正確．故選：BCD．11.已知空間中三點(diǎn)，，，則正確的有（）A.平面的一個(gè)法向量是 B.與是共線向量C.與夾角的余弦值是 D.點(diǎn)到直線的距離是【答案】AD【解析】【分析】由，可判斷選項(xiàng)B；由，可判斷選項(xiàng)C；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，求得，即可判斷A，再利用空間向量法求出點(diǎn)到直線的距離，即可判斷D．【詳解】由題意知，，，，因?yàn)椋耘c不是共線向量，即B錯(cuò)誤；，所以與夾角的余弦值為，即C錯(cuò)誤；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，即A正確．因?yàn)?，，所以，，，所以點(diǎn)到直線的距離，故D正確.故選：AD．12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，下列結(jié)論正確的是（）A.圓的方程是B.過點(diǎn)向圓引切線，兩條切線的夾角為C.過點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為，該直線斜率為D.在直線上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)可得的軌跡方程，可判斷A；設(shè)切點(diǎn)為，，利用正弦即可求出，由對(duì)稱性可求得，從而判斷B；根據(jù)題意設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離為2，求得切線斜率，可判斷C；取，，即可判斷D．【詳解】對(duì)于A：在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得圓的方程為，故A正確；對(duì)于B：圓心，半徑為4，所以，過點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，，則，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：過點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，由圖可知斜率不存在時(shí)不滿足題意，可設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為2，即，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由對(duì)稱性可知當(dāng)，時(shí)，，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本大題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷相應(yīng)橫線上．13.在等差數(shù)列中，，，則．【答案】8【解析】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，故答案為8.14.已知直線：與直線：垂直，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：垂直，所以，解得.故答案為：15.正方體棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)是正方形的中心，則異面直線與所成角的大小是_______【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，因?yàn)椋?，即異面直線與所成角為.故答案為：16.已知直線l與圓交于兩點(diǎn)，且，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】的幾何意義為到直線的距離之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點(diǎn)到直線的距離的2倍．由題意，所以的中點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，利用圓的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到直線的距離之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點(diǎn)到直線的距離的2倍，又的圓心為，半徑為，，則，所以的中點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，故點(diǎn)到直線的最大距離為，所以的最大值為，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．溫馨提示：考生請(qǐng)注意在答題卷規(guī)定區(qū)域內(nèi)用黑色筆作答，超出指定區(qū)域答題不給分．17.在區(qū)運(yùn)會(huì)的跳高比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員試跳過某個(gè)高度成功的概率依次為，，且每次試跳成功與否互不影響．（1）求甲試跳兩次，至少有一次成功的概率；（2）求甲、乙各試跳一次，恰有一人試跳成功的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知事件“甲試跳兩次，至少有一次成功”的對(duì)立事件為“甲試跳兩次，兩次都沒有成功”，由獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式得答案；（2）事件“甲、乙各試跳一次，恰有一人試跳成功”包含事件“甲試跳成功、乙試跳失敗”和事件“甲試跳失敗、乙試跳成功”，由獨(dú)立事件的概率可求得答案.【小問1詳解】記“甲在第次試跳成功”為事件，“甲試跳兩次，至少有一次成功”為事件.由獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式得：P（C）=,小問2詳解】記“乙在第次試跳成功”為事件，記“甲、乙各試跳一次，恰有一人試跳成功”為事件D，所以.18.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和是，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可求出結(jié)果.（2）根據(jù)（1）中結(jié)果及條件，求出，，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，又，所以①，②，由①②解得，所以.【小問2詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由（1）知，又，所以，，得到，，所以19.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線和平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，得出面，再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果及條件，得出面，從而得出為直線和平面所成的角，在中，利用，，得到，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，面，所以，又四邊形為正方形，所以，又，面，所以面，又面，所?【小問2詳解】因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又，，面，所以面，故為直線和平面所成的角，在中，，所以，又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，在中，，，所以，又，得到，所以直線和平面所成角的大小為.20.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若求△ABC的周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解；（2）根據(jù)余弦定理和基本不等式可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，根?jù)正弦定理，可得，因?yàn)?，故，又因?yàn)?，所以；【小?詳解】由余弦定理，可得，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取最大值，此時(shí)周長(zhǎng)為.21.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求平面和平面夾角的大?。唬?）若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，根據(jù)條件得到四邊形為平行四邊形，從而有，再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量和，再利用面面角的向量法，即可求出結(jié)果；（3）設(shè)，根據(jù)條件得出，，再利用，得到，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎叫?，所以是中點(diǎn)，又四邊形為矩形，是線段的中點(diǎn)，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，又面，