平面向量的概念、運(yùn)算及平面向量基本定理

.05—平面向量的概念、運(yùn)算及平面向量基本定理突破點(diǎn)(一)平面向量的有關(guān)概念知識(shí)點(diǎn)：向量、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、相反向量考點(diǎn) |平面向量的有關(guān)概念… 一…，一，一一一一人［八， -ab -［典例］(1)設(shè)a,b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使同=西成立的充分條件是()A.a=—b B.a〃b Ca=2b D.a〃b且|a|=|b|(2)設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面的某個(gè)向量，則a=|a|?a0；②若a與a0平行，則a=|a|a0；③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.假命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3ab且同=ab且同=|b|，所以a，故a=2b是' =a 2b b|O|=兩=a 2b b|O|=兩=|b|向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)A,B,D.當(dāng)a=2b時(shí)，b|b|成立的充分條件.(2)向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.［答案］(1)C(2)D［易錯(cuò)提醒］1 (1)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大?。?2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素，1|分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線(xiàn)上. |突破點(diǎn)(二)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算.向量的線(xiàn)性運(yùn)算：加法、減法、數(shù)乘.平面向量共線(xiàn)定理：向量b與a(a工0)共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人使得b=Aa.考點(diǎn)一平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算[例1]⑴在^考點(diǎn)一平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算[例1]⑴在^ABC中，AB=c,1 2A.3b+3c5 2B.3c—3bAC=b.若點(diǎn)D滿(mǎn)足BD=2DC,則AD=()2 1 2 1C.3b—3c>3b+3cTOC\o"1-5"\h\z1 2?(2)在4ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)且AN=2NC,p是bn上一點(diǎn)，若AP=mAB+9AC,則實(shí)數(shù)m的值是.2——2［解析］(1)由題可知BC=AC—AB=b—c,VBD=2DC,ABD=3BC=3(b—c),則ADJ J———— 2 2 1=AB+BD=c+3(b—c)=3b+3c,故選D.(2)如圖，因?yàn)锳N=2NC,所以AN=3AC,所以AP=mAB+9AC= /，、：.；：mAB+2AN.因?yàn)锽,p,N三點(diǎn)共線(xiàn)，所以m+3=1,則m=1. 二 1［答案］(1)D(2)3［方法技巧］1 1.平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算技巧：(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到||三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線(xiàn)等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解.|| 2.利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路：(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置.(2)利用平行四|［邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.(3)比較，觀(guān)察可知所求. ］考點(diǎn)二平面向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用

考點(diǎn)二平面向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用［例2］設(shè)兩個(gè)非零向量a和b不共線(xiàn).(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a一b).求證：A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn).(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線(xiàn).［解］(1)證明：因?yàn)锳B=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共線(xiàn).又AB與BD有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn).(2)因?yàn)閗a+b與a+kb共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)兒使ka+b=A(a+kb),\k=兒.解解得k=±1.即k=1或一1時(shí)，ka+b與a+kb共線(xiàn).1=入k，［方法技巧］平面向量共線(xiàn)定理的三個(gè)應(yīng)用（1）證明向量共線(xiàn)：對(duì)于非零向量a,b，若存在實(shí)數(shù)A，使a=Ab，則a與b共線(xiàn).（2）證明三點(diǎn)共線(xiàn)：若存在實(shí)數(shù)A,使AB=入AC,AB與AC有公共點(diǎn)A，則A,B,c三點(diǎn)共線(xiàn).（3）求參數(shù)的值：利用向量共線(xiàn)定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值. ［提醒］證明三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，需說(shuō)明共線(xiàn)的兩向量有公共點(diǎn).突破點(diǎn)（三）平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)A1,A2,使a=A1e1+A2e2.其中，不共線(xiàn)的向量e1,e2叫做表示這一平面所有向量的一組基底.考點(diǎn)一 |基底的概念［例1］如果e1,e2是平面一組不共線(xiàn)的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面所有向量的一組基底的是（）A.e1與e1+e2 B.e1—2e2與e1+2e2Ce1+e2與e1-e2 D.e1+3e2與6e2+2e1? ［1=A,［解析］選項(xiàng)A中，設(shè)e1+e2=Ae1，貝”1=0無(wú)解；選項(xiàng)B中，設(shè)e1—2e2=A（e1+2e2），則-1=A-1=A，-2=2A無(wú)解；選項(xiàng)C中，設(shè)e1+e2=A(e1—e2)，則［1=A， 11=—入無(wú)解；選項(xiàng)D中，e1+3e2=2(6e?+2e1)，所以?xún)上蛄渴枪簿€(xiàn)向量，不能作為平面所有向量的一組基底.［答案］D__.?［易錯(cuò)提醒1_______ _ _ _某平面所有向量的一組基底必須是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，不能含有零向量.考點(diǎn)二平面向量基本定理的應(yīng)用［例2］（2016?二模）如圖，在△ABC中，設(shè)AB考點(diǎn)二平面向量基本定理的應(yīng)用［例2］（2016?二模）如圖，在△ABC中，設(shè)ABAC=b,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R1 1A.2a+2bCR的中點(diǎn)恰為P,則AP=（2 4C.7a+7b4 2D.7a+7b［解析］如圖，連接BP，則AP=AC+CP=b+PR，①AP=AB+BP=a+RP—RB，②①+②，得2AP=a+b—RB，③——1-1 1(RB=2QB=2(AB—AQ)=21，將④代入③，得2AP=a+b—1-2 4―解得AP=7a+7b.［答案］C［方法技巧］a-1AP平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路I(i)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用向量基i

!本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.!突破點(diǎn)(四)平面向量的坐標(biāo)表示.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模；(2)向量坐標(biāo)的求法.平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示考點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算［例1］已知A(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4).設(shè)AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=—2b，⑴求3a+b—3c；(2)求滿(mǎn)足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n；(3)求M,N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).［解］由已知得a=(5,—5),b=(—6,—3),c=(1,8).一m=—1,解得|“=-1.(1)3a+b—3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)=(15—6—3,—15—3一m=—1,解得|“=-1.(2)Vmb+nc=(—6(2)Vmb+nc=(—6m+n,—3m+8n),—3m+8n=—5,即所數(shù)m的值為一1,n的值為一1.(3)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，VCM=OM—OC=3c,；.OM=3c+OC=(3,24)+(—3,—4)=(0,20),即M(0,20).又VCN=ON—OC=—2b,.\ON=—2b+OC=(12,6)+(—3,—4)=(9,2),即N(9,2).；.MN=(9,—18).［方法技巧］一一一一一一一一一一一一由面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧一一一一一一一一一一……(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.考點(diǎn)二 平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示［例2］已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka—b與a+2b共線(xiàn)；⑵若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，求m的值.［解］(1)Va=(1,0),b=(2,1),???ka—b=k(1,0)—(2,1)=(k—2,—1),, , 1a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),Vka—b與a+2b共線(xiàn)，?，?2(k—2)—(—1)x5=0,,\k=—2.(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).VA,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，???AB//BC,.?.8m—3(2m+1)=0,Am=3.［方法技巧］……一一一一一一一-向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示中的乘積式和比例式—一一一一一一”

! ⑴若a= （x1 , y1） ,b= （x2 , y2），則a||b。x1y2! ⑴若a= （x1 , y1） ,b= （x2 , y2），則a||b。x1y2- x2y1 =0,這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決平面向量共線(xiàn)問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)在于不!j需要引入?yún)?shù)“劣”，從而減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而且它使問(wèn)題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征.（2）當(dāng)x2y/0時(shí)，jjaHb。x1=y1，即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤.（3）公式x1y2-x2y1=0無(wú)條件x2y2N0的限制，jI便于記憶；公式x1=y2有條件x2y/0的限制，但不易出錯(cuò).所以我們可以記比例式，但在解題時(shí)改寫(xiě)成乘積的形式. i［檢驗(yàn)高考能力］一、選擇題3——3__=1.設(shè)M是^ABC所在平面上的一點(diǎn)，且MB+2MA+］MC=0,D是AC的中點(diǎn)則凹的則|BM嚴(yán)值為（）1 1A.3 叼D.2解析：選A丁D是AC的中點(diǎn)，如圖，延長(zhǎng)MD至￡,使得DE=MD，，四邊形MAEC為平行四邊形， 1 1 ??.MD=2ME=1(MA+MC),.?.MA+MC=2MD.:一3一3—— 3一MB+2MA+2MC=0,??.MB=—](MA+MC)=-3MD，,BM=3MD,.|MD| |MD|二'|BM|=|3MD|=3，故選A.2.在△ABC中，BD=3DC,若AD=入1AB+入2AC,則A1K2的值為(3 1 10B.行 C-2 D-v1A.16解析：選B?.?兒=4入2=74,3.— —__ _3—— 3 1——3——由題意得，AD=AB+BD=AB+4BC=AB+4(AC—AB)=4AB+4AC,3..兒入2=16.F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,則AD+BE+CF與BC(A.C.反向平行

互相垂直）B.同向平行D.既不平行也不垂直解析：選A由題意得AD=AB+BD=AB+1BC,BE=BA+AE=BA+1AC,CF=J JCB+BF=CB+1BA,因此AD+BE+CF=CB+1(BC+AC—AB)=CB+3BC=-J J JBC,故AD+BE+CF與BC反向平行.4.已知點(diǎn)。為^ABC外接圓的圓心，且OA+OB+CO=0,則5BC的角A等于（30°45°60° D30°45°60° D.90°解析：選解析：選A由OA+OB+CO=0,得OA+OB=OC,由。為^ABC外接圓的圓心，可得|OA|=|OB|=|OC|.設(shè)OC與AB交于點(diǎn)D,如圖，由OA+OB=OC可知D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C=2OD,D為OC的中點(diǎn).又由|OA|=|OB|可知OD±AB,即OC±AB,所以四邊形OACB為菱形，所以△OAC為等邊三角形，即NCAO=60°,故A=30°.5.xAB,已知點(diǎn)G5.xAB,已知點(diǎn)G是^ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作一條直線(xiàn)與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn)，且AM=AN=A.yAC，則x+y的值為（）13B.3C.2D,2解析：選B由已知得M,G,N三點(diǎn)共線(xiàn)，所以AG=入AM+(1—川AN=AxAB+(1—川yAC.「，121 1 JAx=3，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"???點(diǎn)G是匕ABC的重心，??.AG=f2(AB+AC)=3(AB+AC),“ 1即1A=3X，,、1l1—入1A=3X，,、1l1—入=3y，\o"CurrentDocument"1 1 11 x+y xy1得3X+3y=1，即x+y=3，通分得-xy=3，；?x+y=3.6.若點(diǎn)M是^ABC所在平面的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足5AM=AB+3AC,則4ABM與^ABC的面積的比\o"CurrentDocument"值為()12 3 4A弓氏5C-5.5解析：選C設(shè)AB的中點(diǎn)為D,如圖，連接MD,MC,由5AM=AB解析：選C設(shè)AB的中點(diǎn)為D,23即5+5=1,故C,M,D\o"CurrentDocument"得5AM=2AD+3AC①，即AM23即5+5=1,故C,M,D三點(diǎn)共線(xiàn)，又AM=AD+DM②，①②聯(lián)立，得5DM=3DC,即在^ABM與3 3△ABC中，邊AB上的高的比值為5,所以△ABM與^ABC的面積的比值為寧二、填空題.在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP=2PC,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA=(4,3),PQ=(1,5),則bC=.解析：AQ=PQ—PA=(1,5)—(4,3)=(—3,2),AAC=2AQ=2(—3,2)=(—6,4).PC=PA+AC=(4,3)+(—6,4)=(—2,7),ABC=3PC=3(—2,7)=(—6,21).答案：(一6,21).已知向量AC,AD和AB在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若AC=入AB+UAD,則入口=.N=A+U—2=2A解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy,則AC=(2,—2)N=A+U—2=2A=(1,0),由題意可知(2,—2)=A(1,2)+u(1,0),即所以Au=—3.答案：一3是兩個(gè)向量集合，則PAQ等于.P={a|a=(一1,1)+m(1,2),m￡R},Q={b|b=是兩個(gè)向量集合，則PAQ等于fm=—12,J[n=—7.,—1+m=1+2n,解析：p中，戶(hù)(―1+mJ+2m)”中，b=(1+2n，―2+3n).則J1fm=—12,J[n=—7.此時(shí)a=b=(—13,—23).答案：[(-13,-23)}.在梯形ABCD中，已知AB//CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn).若AB=AAM+〃AN,則A+u=.—— 1 1,解析：由AB=入AM+2AN，得AB=入2(AD+AC)+p泛(AC+AB),則+2+paC=0,彳:+G+2Xad+1AD)=0,得g入+%