廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆高三第一次模擬考試數學試題（含答案解析）

柳州市2025屆高三第一次模擬考試數學（考試時間120分鐘滿分150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數，則的虛部為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復數的乘法和除法運算化簡復數，即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以的虛部為.故選：A.2.對于非零向量，，“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據相反向量一定是共線向量，共線向量不一定是相反向量可求解.【詳解】對于非零向量，，因為，所以，則，即“”能推出，但當時，，顯然不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對于雙曲線，求出、，根據可求出的值.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則，且，，則，解得.故選：B4.若過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑求出的值，再利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得的值.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，若切線的斜率不存在，則直線的方程為，且該直線與圓相離，不合乎題意，所以，切線的斜率存在，設切線的方程為，即，則，解得，不妨設直線的傾斜角為，因為，則，則，所以，，故.故選：C.5.在平面直角坐標系中，點的坐標分別是，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是，則點的軌跡方程為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設點,由題意列出方程，化簡整理即得點的軌跡方程.【詳解】依題意，設點，由，可得，即得點的軌跡方程為.故選：A.6.設函數，已知，，且的最小值為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意求出函數的最小正周期，再利用余弦型函數的周期公式可求得的值.【詳解】設函數的最小正周期為，因為函數，已知，，且的最小值為，則，可得，故.故選：D.7.已知正四棱臺的體積為，，，則與底面所成角的正切值為（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據體積求出正四棱臺的高，分別取的中點，過作交于，則為與底面所成的角，求解即可.【詳解】∵，，∴上，下底面的面積分別為，設正四棱臺的高為，則其體積為，解得，連接，分別取的中點，∵面，面，∴，過作交于，則，面，∴為與底面所成的角，∵，，∴，即與底面所成角的正切值為.故選：C.8.設函數，若，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分類討論求出的值，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，若，則對任意的，，則當時，，不合乎題意；若時，當時，，，此時，，不合乎題意；若，則當時，，，此時，，不合乎題意.所以，，此時，，則f1=0，當時，，，此時，；當時，，，此時，.所以，對任意的，，合乎題意，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故選：D.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知隨機變量服從正態(tài)分布，即，則（）．A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由正態(tài)分布概念、組成的理解和正態(tài)分布曲線的對稱性逐一判斷即得.【詳解】由可得，，故A錯誤；B正確；對于C，因,則，故C錯誤；對于D，因，則,故，即D正確.故選：BD.10.過拋物線：y2=2pxp>0的焦點作傾斜角為的直線交于，兩點，經過點和原點的直線交拋物線的準線于點，則下列說法正確的是（）．A. B.C.以為直徑的圓與軸相切 D.【答案】ACD【解析】【分析】設直線l的方程為，，，將該直線的方程與拋物線的方程聯立，結合韋達定理可判斷B；設，由可判斷A；比較半徑與圓心到軸的距離即可判斷C；由拋物線的定義表示出，將韋達定理代入化簡可判斷D.【詳解】由題意可設過點的直線l的方程為，設，，聯立方程組，消去整理得，即，所以，，，所以，所以，故B錯誤；設，設直線的方程為，令，所以，,所以直線的斜率為，所以，故A正確.因為，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以圓心到軸的距離為，所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；由拋物線的定義知：，所以，故D正確.故選：ACD.11.我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發(fā)現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數．已知是定義在上的可導函數，其導函數為，若函數是奇函數，函數為偶函數，則下列說法錯誤的是（）A. B.C.為奇函數 D.【答案】BCD【解析】【分析】利用函數對稱性的定義可判斷A選項；舉特例可判斷BCD選項.【詳解】對于A選項，因為函數為奇函數，所以，函數的圖象關于點對稱，且函數的定義域為，則，A對；對于B選項，不妨取，因為為奇函數，則函數符合題意，，所以，為偶函數，但，B錯；對于C選項，不妨取，則為奇函數，，為偶函數，合乎題意，但不是奇函數，C錯；對于D選項，若，則該函數的最小正周期為，，所以，，D錯.故選：BCD.【點睛】結論點睛：函數的對稱性與周期性：（1）若，則函數關于中心對稱；（2）若，則函數關于對稱；（3）若，則函數的周期為；（4）若，則函數的周期為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_________．【答案】6【解析】【分析】對兩邊都除以可得，兩邊再平方可得答案.【詳解】由知，可得，即，所以，則.故答案：6.13.在的展開式中，常數項為_________．【答案】70【解析】【分析】利用二項式定理的通項公式即可求解．【詳解】的通項公式，令，解得，∴常數項．故答案為：70.14.如圖，在的格子中，有一只螞蟻從點爬到點，每次只能向右或向上移動一格，則從點爬到點的所有路徑總數為_________，若螞蟻只在下三角形（對角線及以下的部分所圍成的三角形）行走，則從點到點的所有總路徑數為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】在的格子中，螞蟻從點爬到點需要走步，從點爬到點的所有路徑總數為從步中選擇步橫向的組合數；若螞蟻只在下三角形行走，用列舉法一一列舉即可.【詳解】螞蟻從點爬到點需要走步，其中步橫向，步縱向，所有路徑數為從步中選擇步橫向的組合數，所以；螞蟻只在下三角形（對角線及以下的部分所圍成的三角形）行走，如下：共種.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應用輔助角公式計算得出，再結合角的范圍即可求出角；（2）已知結合正弦定理化簡計算得出，再應用兩角和正弦公式計算，最后正弦定理計算邊長即可得出周長.【小問1詳解】由得，，即，由于，；【小問2詳解】由題設條件和正弦定理，又，，則，進而，得到，于是，，由正弦定理得，解得，，故的周長為.16.如圖，在圓錐中，為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，點在線段上，，．（1）證明：平面；（2）若圓錐的側面積為，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證明、，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）根據圓錐的側面積求得及，求出平面、平面的一個法向量，利用向量法求得二面角的余弦值.【小問1詳解】平面，，故以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，與同向方向為軸正方向建立空間直角坐標系．設，故，A2,0,0，，，，，，．，．故，，，，平面，平面；【小問2詳解】圓錐的側面積，，,由（1）可知，為平面的法向量，設平面的法向量為，而，，故，令得，則，所以二面角的正弦值為．17.已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）求導，結合導數的幾何意義求切線方程；（2）求導，分析和兩種情況，利用導數判斷單調性和極值，分析可得，構建函數解不等式即可.【小問1詳解】當時，則，可得f1=0，，即切點坐標為1,0，切線斜率為，所以切線方程為.【小問2詳解】定義域為0,+∞，且，若，則對任意x∈0,+∞恒成立．所以在0,+∞上單調遞減，無極值，不合題意，若，令，解得，令，解得，可知在上單調遞減，上單調遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即.令，，在0,+∞上單調遞增,又，不等式等價于，解得,又，綜上的取值范圍是．18.在平面直角坐標系中，為直線上一動點，橢圓：的左右頂點分別為，，上、下頂點分別為，．若直線交于另一點，直線交于另一點．（1）求證：直線過定點，并求出定點坐標；（2）求四邊形面積的最大值．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）依題求出橢圓方程，設，由直線，方程分別與橢圓方程聯立，求出點的坐標，由對稱性知，定點在軸上，設為，由求出的值即得；（2）根據圖形，可得四邊形的面積，代入和，經過換元，運用基本不等式和函數的單調性即可求得面積最大值.【小問1詳解】由題意知，，橢圓：如圖，設，當時，直線的方程為：，代入，得，則，從而，點又直線的方程為：，代入，得則，從而，點由對稱性知，定點在軸上，設為由，即，化簡得，因故得，解得.即直線過定點，而當時，直線也過定點．綜上，直線恒過定點．【小問2詳解】由圖可知四邊形的面積為，令，當且僅當時等號成立，因在上單調遞增，而，故當時，四邊形面積有最大值．【點睛】方法點睛：本題主要考查直線過定點和四邊形面積的最值問題，數據計算較大.求解直線過定點問題，一般是通過消參后將直線方程化成含一個參數的方程，再求定點；對于四邊形面積問題，常運用合理的拆分或拼接，使其表達式易于得到，再利用基本不等式，或函數的單調性求其范圍即可.19.某購物平臺為了吸引更多的顧客在線購物，推出了和兩個套餐服務，并在購物平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇和兩個套餐之一，下圖是該購物平臺7天銷售優(yōu)惠券的情況（單位：千張）的折線圖：（1）由折線圖可看出，可用回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以說明；（2）假設每位顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，其中包含一張優(yōu)惠券，套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了張優(yōu)惠券，設其概率為，求；（3）記（2）中所得概率的值構成數列，求數列的最值．參考數據：，，，參考公式：相關系數【答案】（1）答案見解析（2）（3）最大值，最小值為．【解析】【分析】（1）根據折線圖中數據和附注中參考數據可計