高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)瓶頸10 概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用問(wèn)題（解析版）

11/112020高考數(shù)學(xué)必備考試技能之“瓶頸”題突破】瓶頸十：概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用問(wèn)題典例某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn)，現(xiàn)選擇15名志愿者，對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測(cè)量（單位：厘米），左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，右圖為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，并求得其回歸方程為，以下結(jié)論中不正確的為（）A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系，C．可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米D．身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米信息聯(lián)想信息①：根據(jù)散點(diǎn)圖可求得兩個(gè)量的極差，進(jìn)而得到結(jié)果A是正確的；信息②：根據(jù)回歸方程的表達(dá)式，得到兩個(gè)變量的關(guān)系，判定B、C、D的對(duì)錯(cuò).全面剖析A，身高極差大約為25，臂展極差大于等于30，故正確；B，很明顯根據(jù)散點(diǎn)圖像以及回歸直線得到，身高矮臂展就會(huì)短一些，身高高三些，臂展就長(zhǎng)一些，故正確；C，身高為190厘米，代入回歸方程可得到臂展估計(jì)值等于189.65厘米，但是不是準(zhǔn)確值，故正確；D，身高相差10厘米的兩人臂展的估計(jì)值相差11.6厘米，但并不是準(zhǔn)確值，回歸方程上的點(diǎn)并不都是準(zhǔn)確的樣本點(diǎn),故說(shuō)法不正確.故答案為D.反思感悟本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)、極差、線性相關(guān)的有關(guān)內(nèi)容，主要考查了學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。必備技能在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫(huà)出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過(guò)樣本中心點(diǎn)．線性回歸方程適用于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，對(duì)于具有確定關(guān)系的兩個(gè)變量是不適用的,線性回歸方程得到的預(yù)測(cè)值是預(yù)測(cè)變量的估計(jì)值，不是準(zhǔn)確值.針對(duì)訓(xùn)練*舉一反三1．（2020·陜西省榆林中學(xué)高三三模）某中學(xué)2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地對(duì)比該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2015年和2018年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結(jié)論正確的是（）A．與2015年相比，2018年一本達(dá)線人數(shù)減少B．與2015年相比，2018二本達(dá)線人數(shù)增加了0.5倍C．2015年與2018年藝體達(dá)線人數(shù)相同D．與2015年相比，2018年不上線的人數(shù)有所增加【答案】D【解析】設(shè)2015年該校參加高考的人數(shù)為，則2018年該校參加高考的人數(shù)為.對(duì)于選項(xiàng)A.2015年一本達(dá)線人數(shù)為.2018年一本達(dá)線人數(shù)為，可見(jiàn)一本達(dá)線人數(shù)增加了，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，2015年二本達(dá)線人數(shù)為，2018年二本達(dá)線人數(shù)為，顯然2018年二本達(dá)線人數(shù)不是增加了0.5倍，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，2015年和2018年.藝體達(dá)線率沒(méi)變，但是人數(shù)是不相同的，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，2015年不上線人數(shù)為.2018年不上線人數(shù)為.不達(dá)線人數(shù)有所增加.故選D.2．（2020·江西省高三月考）2020年年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó).全力抗疫成為舉國(guó)上下的首要大事，而口罩成為重要的抗疫物資，為了確?？谡止?yīng)，某工廠口罩生產(chǎn)線高速運(yùn)轉(zhuǎn)，工人加班加點(diǎn)生產(chǎn).設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)依次為(單位:十萬(wàn)只)，已知這組數(shù)據(jù)的平均值為4，方差為且成遞增的等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則這組數(shù)據(jù)的極差為（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【解析】根據(jù)題意：，，故.，故，，故.方差為，故或，故極差為.故選：.3．（2020·河北省石家莊二中高三月考）已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90．在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，可得，設(shè)收集的48個(gè)準(zhǔn)確數(shù)據(jù)分別記為，則，，故．選A．4．（2020·江蘇省海安高級(jí)中學(xué)高三月考）已知某種商品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040506070根據(jù)上表可得回歸方程，計(jì)算得，則當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷(xiāo)售額的預(yù)報(bào)值為A．75萬(wàn)元 B．85萬(wàn)元C．99萬(wàn)元 D．105萬(wàn)元【答案】B【解析】由題意得，∴樣本中心為．∵回歸直線過(guò)樣本中心，∴，解得，∴回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷(xiāo)售額的預(yù)報(bào)值為85萬(wàn)元．故選B．5．（2020·廣東省高三月考）2020年10月18日-27日，第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)在湖北武漢舉辦，中國(guó)代表團(tuán)共獲得133金64銀42銅，共239枚獎(jiǎng)牌.為了調(diào)查各國(guó)參賽人員對(duì)主辦方的滿意程度，研究人員隨機(jī)抽取了500名參賽運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下所示，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①在參與調(diào)查的500名運(yùn)動(dòng)員中任取1人，抽到對(duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的概率為；②在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下可以認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”；③沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”；則正確命題的個(gè)數(shù)為（）附：男性運(yùn)動(dòng)員女性運(yùn)動(dòng)員對(duì)主辦方表示滿意200220對(duì)主辦方表示不滿意50300.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】任取1名參賽人員，抽到對(duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的概率為，故①錯(cuò)誤；，故②錯(cuò)，③對(duì)故選：B.6．（2020·安徽省高三三模）開(kāi)學(xué)后，某學(xué)校食堂為了減少師生就餐排隊(duì)時(shí)間，特推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞蛢煞N，已知小明同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞椭羞x擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r(jià)格是每份15元，面食套餐的價(jià)格是每份10元，如果小明當(dāng)天選擇了某種套餐，她第二天會(huì)有的可能性換另一種類(lèi)型的套餐，假如第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩o出以下論述：①小明同學(xué)第二天一定選擇面食套餐；②；③；④前n天小明同學(xué)午餐花費(fèi)的總費(fèi)用數(shù)學(xué)期望為.其中正確的是()A．②④ B．①②③ C．③④ D．②③④【答案】D【解析】第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，根?jù)題意小明同學(xué)第二天選擇面食套餐的可能性為，不是100%，所以①不正確；依題意，，則，故②正確；當(dāng)?shù)谔爝x擇米飯?zhí)撞蜁r(shí)，第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；?dāng)?shù)谔爝x擇面食套餐時(shí)，第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?，故③正確；設(shè)第天小明同學(xué)午餐花費(fèi)為，則，因?yàn)椋裕?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以前n天小明同學(xué)午餐花費(fèi)的總費(fèi)用數(shù)學(xué)期望為，故④正確.故選：D7．（2020·山東省萊州一中高三月考）通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

愛(ài)好

40

20

60

不愛(ài)好

20

30

50

總計(jì)

60

50

110

由附表：

0．050

0．010

0．001

3．841

6．635

10．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”【答案】A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A8．（2020·全國(guó)高三月考）一只螞蟻從正四面體的頂點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)，沿著正四面體的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機(jī)的，則第4秒時(shí)螞蟻在點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，螞蟻每次爬行到下一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為，設(shè)第秒時(shí)螞蟻不在頂點(diǎn)的概率為，易知.則，∴，∴數(shù)列是以為為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.∴，∴第4秒時(shí)螞蟻在點(diǎn)的概率為.故選：C9．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周牌算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供6種不同的顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則，區(qū)域涂同色的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，至少使用3種顏色．由使用顏色數(shù)量，下面我們分三種情況：（1）使用5種顏色：選色，涂上去，共有種；（2）使用4種顏色：選色，先涂有4種，下面，①、若、同色，則和各涂剩余的兩色，有種，②、若、不同色，則和必同色，有種．共種；（3）使用3種顏色：選色，先涂有3種選擇，用掉一種顏色，下面只有、同色，、同色，有種，共種，共計(jì)種，其中，區(qū)域涂同色的有種，則，區(qū)域涂同色的概率為．故選：．10．（2020·河北易縣中學(xué)高三月考）已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向長(zhǎng)方形中隨機(jī)投擲1點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在陰影部分的概率為（）附：若隨機(jī)變量，則，.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.8641【答案】D【解析】由題意，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得：故所求的概率為，故選：D11．（2020·河南省高三一模）2020年暑假期間，河南有一新開(kāi)發(fā)的景區(qū)在各大媒體循環(huán)播放廣告，觀眾甲首次看到該景區(qū)的廣告后，不來(lái)此景區(qū)的概率為，從第二次看到廣告起，若前一次不來(lái)此景區(qū)，則這次來(lái)此景區(qū)的概率是，若前一次來(lái)此景區(qū)，則這次來(lái)此景區(qū)的概率是.記觀眾甲第n次看到廣告后不來(lái)此景區(qū)的概率為，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則M的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】根據(jù)題意，為觀眾甲第次看到廣告后不來(lái)此景區(qū)的概率，則，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以的最小值為.12．（2020·廣東省佛山一中高三一模）以下四個(gè)命題，其中正確的序號(hào)是____________________．①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③在線性回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位；④分類(lèi)變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值為，當(dāng)越小，“與有關(guān)系”的把握程度越大.【答案】②③【解析】①為系統(tǒng)抽樣,①不正確；④分類(lèi)變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值為，當(dāng)越小，“與有關(guān)系”的把握程度越小，④不正確；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知②正確；由回歸方程的性質(zhì)可知③正確．故答案為②③.13．針對(duì)時(shí)下的“韓劇熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡韓劇是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇的人數(shù)占女生人數(shù)的.若有的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，求男生至少有______人.【答案】【解析】設(shè)男生人數(shù)為，由題意可得列聯(lián)表如下：喜歡韓劇不喜歡韓劇總計(jì)男生女生總計(jì)若有的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則，即，解得.因?yàn)楦鞑糠秩藬?shù)均為整數(shù)，所以若有的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至少有人.故答案為：.14．（2020·湖北省高三二模）某團(tuán)隊(duì)派遣甲、乙、丙、丁四人分別完成一項(xiàng)任務(wù)，已知甲完成任務(wù)的概率為，乙完成任務(wù)的概率為，丙、丁完成任務(wù)的概率均為，若四人完成任務(wù)與否相互獨(dú)立，則至少2人完成任務(wù)的概率為_(kāi)___.【答案】【解析】由題意知，由相互獨(dú)立事件的概率公式得，4個(gè)人都沒(méi)有完成任務(wù)的概率為，4個(gè)