高中數學復習瓶頸10 概率統計的應用問題（解析版）

11/112020高考數學必備考試技能之“瓶頸”題突破】瓶頸十：概率統計的應用問題典例某運動制衣品牌為了成衣尺寸更精準，現選擇15名志愿者，對其身高和臂展進行測量（單位：厘米），左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，右圖為身高與臂展所對應的散點圖，并求得其回歸方程為，以下結論中不正確的為（）A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者身高和臂展成正相關關系，C．可估計身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米D．身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米信息聯想信息①：根據散點圖可求得兩個量的極差，進而得到結果A是正確的；信息②：根據回歸方程的表達式，得到兩個變量的關系，判定B、C、D的對錯.全面剖析A，身高極差大約為25，臂展極差大于等于30，故正確；B，很明顯根據散點圖像以及回歸直線得到，身高矮臂展就會短一些，身高高三些，臂展就長一些，故正確；C，身高為190厘米，代入回歸方程可得到臂展估計值等于189.65厘米，但是不是準確值，故正確；D，身高相差10厘米的兩人臂展的估計值相差11.6厘米，但并不是準確值，回歸方程上的點并不都是準確的樣本點,故說法不正確.故答案為D.反思感悟本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點、極差、線性相關的有關內容，主要考查了學生的分析問題、解決問題的能力。必備技能在一組具有相關關系的變量的數據間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關系，這條直線過樣本中心點．線性回歸方程適用于具有相關關系的兩個變量，對于具有確定關系的兩個變量是不適用的,線性回歸方程得到的預測值是預測變量的估計值，不是準確值.針對訓練*舉一反三1．（2020·陜西省榆林中學高三三模）某中學2018年的高考考生人數是2015年高考考生人數的1.5倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W情況，統計了該校2015年和2018年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結論正確的是（）A．與2015年相比，2018年一本達線人數減少B．與2015年相比，2018二本達線人數增加了0.5倍C．2015年與2018年藝體達線人數相同D．與2015年相比，2018年不上線的人數有所增加【答案】D【解析】設2015年該校參加高考的人數為，則2018年該校參加高考的人數為.對于選項A.2015年一本達線人數為.2018年一本達線人數為，可見一本達線人數增加了，故選項A錯誤；對于選項B，2015年二本達線人數為，2018年二本達線人數為，顯然2018年二本達線人數不是增加了0.5倍，故選項B錯誤；對于選項C，2015年和2018年.藝體達線率沒變，但是人數是不相同的，故選項C錯誤；對于選項D，2015年不上線人數為.2018年不上線人數為.不達線人數有所增加.故選D.2．（2020·江西省高三月考）2020年年初，新冠肺炎疫情襲擊全國.全力抗疫成為舉國上下的首要大事，而口罩成為重要的抗疫物資，為了確保口罩供應，某工廠口罩生產線高速運轉，工人加班加點生產.設該工廠連續(xù)5天生產的口罩數依次為(單位:十萬只)，已知這組數據的平均值為4，方差為且成遞增的等差數列，成等比數列，則這組數據的極差為（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【解析】根據題意：，，故.，故，，故.方差為，故或，故極差為.故選：.3．（2020·河北省石家莊二中高三月考）已知某樣本的容量為50，平均數為70，方差為75．現發(fā)現在收集這些數據時，其中的兩個數據記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90．在對錯誤的數據進行更正后，重新求得樣本的平均數為，方差為，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，根據平均數的計算公式，可得，設收集的48個準確數據分別記為，則，，故．選A．4．（2020·江蘇省海安高級中學高三月考）已知某種商品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應數據：x24568y3040506070根據上表可得回歸方程，計算得，則當投入10萬元廣告費時，銷售額的預報值為A．75萬元 B．85萬元C．99萬元 D．105萬元【答案】B【解析】由題意得，∴樣本中心為．∵回歸直線過樣本中心，∴，解得，∴回歸直線方程為．當時，，故當投入10萬元廣告費時，銷售額的預報值為85萬元．故選B．5．（2020·廣東省高三月考）2020年10月18日-27日，第七屆世界軍人運動會在湖北武漢舉辦，中國代表團共獲得133金64銀42銅，共239枚獎牌.為了調查各國參賽人員對主辦方的滿意程度，研究人員隨機抽取了500名參賽運動員進行調查，所得數據如下所示，現有如下說法：①在參與調查的500名運動員中任取1人，抽到對主辦方表示滿意的男性運動員的概率為；②在犯錯誤的概率不超過1%的前提下可以認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關”；③沒有99.9%的把握認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關”；則正確命題的個數為（）附：男性運動員女性運動員對主辦方表示滿意200220對主辦方表示不滿意50300.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】任取1名參賽人員，抽到對主辦方表示滿意的男性運動員的概率為，故①錯誤；，故②錯，③對故選：B.6．（2020·安徽省高三三模）開學后，某學校食堂為了減少師生就餐排隊時間，特推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞蛢煞N，已知小明同學每天中午都會在食堂提供的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞椭羞x擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r格是每份15元，面食套餐的價格是每份10元，如果小明當天選擇了某種套餐，她第二天會有的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕?，給出以下論述：①小明同學第二天一定選擇面食套餐；②；③；④前n天小明同學午餐花費的總費用數學期望為.其中正確的是()A．②④ B．①②③ C．③④ D．②③④【答案】D【解析】第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，根據題意小明同學第二天選擇面食套餐的可能性為，不是100%，所以①不正確；依題意，，則，故②正確；當第天選擇米飯?zhí)撞蜁r，第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；當第天選擇面食套餐時，第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，故，故③正確；設第天小明同學午餐花費為，則，因為，所以，所以，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，所以，所以前n天小明同學午餐花費的總費用數學期望為，故④正確.故選：D7．（2020·山東省萊州一中高三月考）通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：

男

女

總計

愛好

40

20

60

不愛好

20

30

50

總計

60

50

110

由附表：

0．050

0．010

0．001

3．841

6．635

10．828

參照附表，得到的正確結論是（）A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”【答案】A【解析】由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A8．（2020·全國高三月考）一只螞蟻從正四面體的頂點點出發(fā)，沿著正四面體的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機的，則第4秒時螞蟻在點的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，螞蟻每次爬行到下一個頂點的概率均為，設第秒時螞蟻不在頂點的概率為，易知.則，∴，∴數列是以為為首項，以為公比的等比數列.∴，∴第4秒時螞蟻在點的概率為.故選：C9．（2020·全國高三專題練習）如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周牌算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供6種不同的顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則，區(qū)域涂同色的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據題意，至少使用3種顏色．由使用顏色數量，下面我們分三種情況：（1）使用5種顏色：選色，涂上去，共有種；（2）使用4種顏色：選色，先涂有4種，下面，①、若、同色，則和各涂剩余的兩色，有種，②、若、不同色，則和必同色，有種．共種；（3）使用3種顏色：選色，先涂有3種選擇，用掉一種顏色，下面只有、同色，、同色，有種，共種，共計種，其中，區(qū)域涂同色的有種，則，區(qū)域涂同色的概率為．故選：．10．（2020·河北易縣中學高三月考）已知隨機變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向長方形中隨機投擲1點，則該點恰好落在陰影部分的概率為（）附：若隨機變量，則，.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.8641【答案】D【解析】由題意，根據正態(tài)分布密度曲線的對稱性，可得：故所求的概率為，故選：D11．（2020·河南省高三一模）2020年暑假期間，河南有一新開發(fā)的景區(qū)在各大媒體循環(huán)播放廣告，觀眾甲首次看到該景區(qū)的廣告后，不來此景區(qū)的概率為，從第二次看到廣告起，若前一次不來此景區(qū)，則這次來此景區(qū)的概率是，若前一次來此景區(qū)，則這次來此景區(qū)的概率是.記觀眾甲第n次看到廣告后不來此景區(qū)的概率為，若當時，恒成立，則M的最小值為__________.【答案】【解析】根據題意，為觀眾甲第次看到廣告后不來此景區(qū)的概率，則，所以，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，即，顯然數列單調遞減，所以當時，，所以，所以的最小值為.12．（2020·廣東省佛山一中高三一模）以下四個命題，其中正確的序號是____________________．①從勻速傳遞的產品生產流水線上，每20分鐘從中抽取一件產品進行檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加0.2個單位；④分類變量與，它們的隨機變量的觀測值為，當越小，“與有關系”的把握程度越大.【答案】②③【解析】①為系統抽樣,①不正確；④分類變量與，它們的隨機變量的觀測值為，當越小，“與有關系”的把握程度越小，④不正確；根據相關系數的性質可知②正確；由回歸方程的性質可知③正確．故答案為②③.13．針對時下的“韓劇熱”，某校團委對“學生性別和喜歡韓劇是否有關”作了一次調查，其中女生人數是男生人數的，男生喜歡韓劇的人數占男生人數的，女生喜歡韓劇的人數占女生人數的.若有的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，求男生至少有______人.【答案】【解析】設男生人數為，由題意可得列聯表如下：喜歡韓劇不喜歡韓劇總計男生女生總計若有的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，則，即，解得.因為各部分人數均為整數，所以若有的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，則男生至少有人.故答案為：.14．（2020·湖北省高三二模）某團隊派遣甲、乙、丙、丁四人分別完成一項任務，已知甲完成任務的概率為，乙完成任務的概率為，丙、丁完成任務的概率均為，若四人完成任務與否相互獨立，則至少2人完成任務的概率為____.【答案】【解析】由題意知，由相互獨立事件的概率公式得，4個人都沒有完成任務的概率為，4個