機(jī)械工程測試技術(shù)（第2版）課件：信號的分析與處理

信號的分析與處理機(jī)械工程測試技術(shù)（第2版）MechanicalEngineeringTestingTechnology學(xué)習(xí)導(dǎo)航8.1信號的時(shí)域分析(Thetime-domainanalysisforsignal)8.2信號的相關(guān)分析(Thecorrelationanalysisforsignal

)8.3信號的頻域分析(Thefrequencydomainanalysisforsignal)8.4現(xiàn)代信號分析方法與處理技術(shù)(Modernsignalanalysismethodandprocessingtechnology)知識導(dǎo)圖4信號分析和信號處理的目的1）剔除信號中的噪聲和干擾，即提高信噪比；2）消除測量系統(tǒng)的誤差，修正畸變的波形；3）強(qiáng)化、突出有用信息，削弱無用部分；4）將信號加工、處理、變換，以便更容易識別和分析信號的特征，解釋被測對象所表現(xiàn)的各種物理現(xiàn)象。

信號的時(shí)域描述反映了信號幅值隨時(shí)間變化的特征；相關(guān)分析從時(shí)域?yàn)樵谠肼暠尘跋绿崛∮杏眯畔⑻峁┝耸侄?；信號的頻域描述反映了信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值大小；

信號分析信號處理8.1信號的時(shí)域分析8.1.1信號的時(shí)域統(tǒng)計(jì)參數(shù)

1、連續(xù)信號主要統(tǒng)計(jì)參數(shù)的計(jì)算

（1）均值：（2）均方值：（3）均方根值：（4）方差：（5）標(biāo)準(zhǔn)差：2、離散時(shí)間序列主要統(tǒng)計(jì)參數(shù)的計(jì)算（1）離散信號的均值：（2）離散信號的均方值：（3）離散信號的均方根值：（4）離散信號的方差：標(biāo)準(zhǔn)差：8.1信號的時(shí)域分析3、時(shí)域統(tǒng)計(jì)參數(shù)的應(yīng)用

（1）均方根值診斷法 利用系統(tǒng)上某些特征點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的均方根值作為判斷故障的依據(jù)。 均方根值診斷法可適用于作簡諧振動(dòng)的設(shè)備、作周期振動(dòng)的設(shè)備，也可用于作隨機(jī)振動(dòng)的設(shè)備。測量的參數(shù)：低頻（幾十Hz）時(shí)宜測量位移；中頻（1000Hz左右）時(shí)宜測量速度；高頻時(shí)宜測量加速度。國際標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會(huì)的ISO2372、ISO2373對回轉(zhuǎn)機(jī)械允許的振動(dòng)級別規(guī)定如表8-1所示。

8.1信號的時(shí)域分析均方根值診斷法多適用于機(jī)器作穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的情況。如果機(jī)器振動(dòng)不平穩(wěn)可用振幅-時(shí)間圖診斷法。振幅-時(shí)間圖診斷法多是測量和記錄機(jī)器在開機(jī)和停機(jī)過程中振幅隨時(shí)間變化過程，根據(jù)振幅-時(shí)間曲線判斷機(jī)器故障。例：離心式空壓機(jī)或其它旋轉(zhuǎn)機(jī)械的開機(jī)過程。若記錄到的振幅A隨時(shí)間t變化的幾種情況如圖所示。（2）振幅－時(shí)間圖診斷法(a)振幅不變，其他設(shè)備及地基振動(dòng)，流體壓力脈動(dòng)或閥門振動(dòng)。

(b)振幅隨開機(jī)過程增大，轉(zhuǎn)子失衡，軸承座和基礎(chǔ)剛度小，推力軸承損壞等。

(c)開機(jī)過程中出現(xiàn)共振。柔性轉(zhuǎn)子，箱體、支座、基礎(chǔ)共振。

(d)振幅在開機(jī)過程中突然增大，油膜振蕩，間隙過小或過盈不足。8.1信號的時(shí)域分析8.1.2信號的概率密度函數(shù)分析-幅值域分析

8.1信號的時(shí)域分析1.概率密度分析概率密度函數(shù)提供了隨機(jī)信號的幅值分布信息，是隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)之一。對長度為T的隨機(jī)信號樣本記錄，x(t)瞬時(shí)幅值落在(x,x+Dx)區(qū)間內(nèi)的總時(shí)間為：當(dāng)樣本記錄長度T趨于無窮時(shí)，將趨于x(t)的幅值落在區(qū)間(x,x+Dx)的概率。即：當(dāng)Dx?0時(shí)，可定義概率密度函數(shù)為：概率密度函數(shù)表示隨機(jī)信號的瞬時(shí)幅值落在指定區(qū)間（范圍）內(nèi)的概率。概率分布函數(shù)對于任何隨機(jī)信號均值均方根值標(biāo)準(zhǔn)差

正弦信號正弦加隨機(jī)噪聲

窄帶隨機(jī)信號

寬帶隨機(jī)信號

8.1信號的時(shí)域分析2、典型信號的概率密度函數(shù)（1）正弦波信號正弦信號

x=Asinωt在均值μx處p(x)最??；在信號的最大、最小幅值處p(x)最大。

8.1信號的時(shí)域分析（2）正態(tài)分布隨機(jī)信號概率密度函數(shù)

一維高斯概率密度曲線和概率分布曲線

8.1信號的時(shí)域分析（3）混有正弦波的高斯噪聲的概率密度函數(shù)含有正弦信號s(t)=Ssin(2πft+θ)的隨機(jī)信號x(t)的表達(dá)式：其中：n(t)為零均值的高斯隨機(jī)噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差為σn。x(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為σs，其概率密度函數(shù)表達(dá)式為：8.1信號的時(shí)域分析8.2.1相關(guān)系數(shù) 相關(guān)指變量之間的線性關(guān)系。確定性信號的相關(guān)性可用函數(shù)關(guān)系描述，隨機(jī)信號的相關(guān)性用統(tǒng)計(jì)量描述。

8.2信號的相關(guān)分析

相關(guān)系數(shù)由柯西-許瓦茲不等式

所以ρxy≤1。ρxy=±1說明x，y理想地線性相關(guān)；ρxy=0表示x，y完全無關(guān)。

8.2.2自相關(guān)函數(shù)分析

1、自相關(guān)函數(shù)的概念

8.2信號的相關(guān)分析

x(t)和

的相關(guān)系數(shù)：

定義自相關(guān)函數(shù)

則有

8.2信號的相關(guān)分析

信號的性質(zhì)不同，自相關(guān)函數(shù)有不同的表達(dá)形式。周期信號（功率信號）非周期信號（能量信號）2、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

1）自相關(guān)函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)，即Rx(τ)=Rx(-τ)。

8.2信號的相關(guān)分析

證明：2）τ值不同，Rx(τ)不同，當(dāng)τ=0時(shí)，Rx(0)的值最大，并等于信號的均方值ψx2。

3）Rx(τ)值的限制范圍

8.2信號的相關(guān)分析

4）當(dāng)τ→∞時(shí)，x(t)和x(t+τ)之間不存在內(nèi)在聯(lián)系，彼此無關(guān)，即ρx(τ→∞)→0，Rx(τ→∞)→μx2。若μx=0，則Rx(τ→∞)→0，如圖所示。5）周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)。

例

求正弦函數(shù)

的自相關(guān)函數(shù)。解8.2信號的相關(guān)分析

令ωt+φ=θ

正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)，在τ=0時(shí)有最大值。它保留了幅值信息和頻率信息，但丟失了原正弦函數(shù)中的初始相位信息。只要信號中含有周期成分，其自相關(guān)函數(shù)在τ很大時(shí)都不衰減，并具有明顯的周期性。不包含周期成分的隨機(jī)信號，自相關(guān)函數(shù)隨τ的增大趨于零。寬帶隨機(jī)噪聲的自相關(guān)函數(shù)很快衰減到零，窄帶隨機(jī)噪聲的衰減較慢。白噪聲自相關(guān)函數(shù)收斂最快，為δ-函數(shù)，所含頻率為無限多，頻帶無限寬。8.2信號的相關(guān)分析

1、互相關(guān)函數(shù)的概念互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)定義：8.2信號的相關(guān)分析

8.2.3互相關(guān)函數(shù)分析

兩信號x(t)和y(t)的互相關(guān)系數(shù)

2、互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

（1）互相關(guān)函數(shù)是可正、可負(fù)的實(shí)函數(shù)。（2）互相關(guān)函數(shù)是非偶、非奇函數(shù)，并且有Rxy(τ)=Ryx(-τ)。（3）Rxy(τ)的峰值不在τ=0處，其峰值偏離原點(diǎn)的位置τ0反映了兩信號時(shí)移的大小，相關(guān)程度最高。（4）互相關(guān)函數(shù)的限制范圍：

8.2信號的相關(guān)分析

（5）兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)信號，當(dāng)均值為零時(shí)，則Rxy(τ)=0。8.2信號的相關(guān)分析

因?yàn)?，將隨機(jī)信號x(t)和y(t)表示為其均值和波動(dòng)部分之和的形式

：則有（6）兩個(gè)不同頻率周期信號的互相關(guān)函數(shù)為零。

（7）周期信號與隨機(jī)信號的互相關(guān)函數(shù)為零。例求兩個(gè)同頻率正弦函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)：8.2信號的相關(guān)分析

可見，兩個(gè)均值為零且具有相同頻率的周期信號，其互相關(guān)函數(shù)中保留了這兩信號的圓頻率ω、對應(yīng)的幅值x0和y0以及相位差值φ的信息，即兩同頻率的周期信號，才有互相關(guān)函數(shù)。

8.2.4相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用

1、自相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用

自相關(guān)函數(shù)分析主要用來檢測混淆在隨機(jī)信號的確定性信號。自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，周期信號或任何確定性信號在所有時(shí)差τ值上都有自相關(guān)函數(shù)值，而隨機(jī)信號當(dāng)τ足夠大以后其自相關(guān)函數(shù)趨于零（假定為零均值隨機(jī)信號）。汽車車身振動(dòng)的自相關(guān)分析在汽車車身架處測得的振動(dòng)加速度時(shí)間歷程曲線圖a及其自相關(guān)函數(shù)圖b。盡管測得信號本身呈現(xiàn)雜亂無章的，混有一定程度的隨機(jī)干擾，但其自相關(guān)函數(shù)卻有一定的周期性，其周期T約為50ms，說明存在著周期性激勵(lì)源，其頻率f=1/T=20Hz。

8.2信號的相關(guān)分析

從強(qiáng)噪聲中檢測到微弱的正弦信號一個(gè)微弱的正弦信號被淹沒在強(qiáng)干擾噪聲之中，但在自相關(guān)函數(shù)中，當(dāng)τ足夠大時(shí)該正弦信號能清楚地顯露出來。在機(jī)械等工程應(yīng)用中自相關(guān)分析有一定的使用價(jià)值。但一般說來，用它的傅里葉變換(自譜)來解釋混在噪聲中的周期信號可能更好些。另外，由于自相關(guān)函數(shù)中丟失了相位信息，這使其應(yīng)用受到限制。8.2信號的相關(guān)分析

2、互相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用

如果系統(tǒng)是線性的，則滯后的時(shí)間可以直接用輸入、輸出互相關(guān)圖上峰值的位置來確定。識別、提取混淆在噪聲中的信號。根據(jù)線性系統(tǒng)的頻率保持性，只有和激振頻率相同的成分才可能是由激振引起的響應(yīng)，其它是干擾成分。只要將激勵(lì)信號和響應(yīng)信號做互相關(guān)處理，就可以得到由激振引起的響應(yīng)，消除噪聲的干擾。(1)相關(guān)測速熱軋鋼帶的光經(jīng)兩個(gè)透鏡聚焦到相距d的光電池，被轉(zhuǎn)換成電信號x(t)和y(t)。調(diào)整延遲，使延時(shí)等于鋼帶經(jīng)過d的時(shí)間。讀取互相關(guān)函數(shù)最大值對應(yīng)的延時(shí)τd。鋼帶速度：v=d/τd8.2信號的相關(guān)分析

（2）相關(guān)分析在故障診斷中的應(yīng)用

確定輸油管裂損位置

根據(jù)互相關(guān)函數(shù)確定兩個(gè)傳感器1和2信號的時(shí)差τm

，即聲波從聲源到達(dá)兩個(gè)測點(diǎn)的時(shí)差，于是，可以確定聲源即故障點(diǎn)的位置。8.2信號的相關(guān)分析

式中：S——兩傳感器的中點(diǎn)至漏損處的距離；

V——音響通過管道的傳播速度。

（3）傳遞通道的相關(guān)測定

汽車司機(jī)座振動(dòng)傳遞途徑的識別在發(fā)動(dòng)機(jī)、司機(jī)座、后橋放置三個(gè)加速度傳感器，將輸出并放大的信號進(jìn)行相關(guān)分析，可以看到：發(fā)動(dòng)機(jī)與司機(jī)座的相關(guān)性較差，而后橋與司機(jī)座的互相關(guān)較大，可以認(rèn)為司機(jī)座的振動(dòng)主要是由汽車后輪的振動(dòng)引起的。

8.2信號的相關(guān)分析

（4）復(fù)雜管路系統(tǒng)振動(dòng)傳遞途徑的識別：管路系統(tǒng)圖中，A點(diǎn)壓力正常，B點(diǎn)壓力異常。對A、B兩點(diǎn)的壓力信號做互相關(guān)分析，可以比較各傳遞途徑對B點(diǎn)壓力的影響。8.2信號的相關(guān)分析

（5）相關(guān)分析的聲學(xué)應(yīng)用

利用相關(guān)分析區(qū)分不同時(shí)間到達(dá)的聲音。測量墻板隔音性能時(shí)，微音器輸出信號x2(t)由穿透聲和繞射聲疊加而成。因?yàn)榇┩嘎曄鹊轿⒁羝?，所以相關(guān)圖中第一個(gè)峰表示穿透聲的功率。8.2信號的相關(guān)分析

測量墻板的衰減繞射聲和穿透聲的相關(guān)峰32信號的頻域描述反映了信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值大小；功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)、倒譜分析則從頻域?yàn)檠芯科椒€(wěn)隨機(jī)過程提供了重要方法。

8.3信號的頻域分析8.3信號的頻域分析8.3.1功率譜密度函數(shù)

1、帕斯瓦爾（Paseval）定理帕斯瓦爾定理：在時(shí)域中信號的總能量,等于在頻域中信號的總能量8.3信號的頻域分析│X(f)│2稱為能譜,它是沿頻率軸的能量分布密度。

2、功率譜密度函數(shù)（簡稱功率譜）的定義

定義：隨機(jī)信號x(t)的自功率譜密度函數(shù)（簡稱自譜）8.3信號的頻域分析其逆變換為

自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)為實(shí)偶函數(shù)，Sx(f)亦為實(shí)偶函數(shù)。Sx(f)中包含著Rx(τ)的全部信息。定義：兩個(gè)隨機(jī)信號x(t)和y(t)的互功率譜密度函數(shù)（簡稱互譜）

其逆變換為

互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)并非偶函數(shù)，因此Sxy(f)具有虛、實(shí)兩部分，同樣，Sxy(f)保留了Rxy(τ)的全部信息。3、功率譜密度函數(shù)的物理意義

由Sx(f)曲線可知這一總功率是由無數(shù)的在不同頻率上的功率元Sx(f)df所總合而成的，Sx(f)波形的起伏表示了總功率在各頻率處的功率元分布的變化情況，稱Sx(f)為隨機(jī)信號x(t)的功率譜密度函數(shù)。用同樣的方法，可以解釋互譜密度函數(shù)Sxy(f)。8.3信號的頻域分析自譜Sx(f)和幅值譜X(f)或能譜│X(f)│2之間的關(guān)系在整個(gè)時(shí)間軸上，信號平均功率為

8.3信號的頻域分析自功率譜密度函數(shù)和幅值譜的關(guān)系為

單邊譜和雙邊譜：自功率譜密度函數(shù)是偶函數(shù)，它的頻率范圍是(-∞，∞)，稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。它在頻率范圍(-∞，0)的函數(shù)值是其在(0，∞)頻率范圍函數(shù)值的對稱映射，因此，可用在f=0~∞范圍內(nèi)Gx(f)=2Sx(f)來表示信號的全部功率譜。把Gx(f)稱為x(t)信號的單邊功率譜密度函數(shù)。4、自功率譜密度Sx(f)與幅值譜的關(guān)系

自功率譜密度Sx(f)為自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)的傅里葉變換，故Sx(f)包含著Rx(τ)中的全部信息。自功率譜密度Sx(f)反映信號的頻域結(jié)構(gòu)，這與幅值譜│x(f)│相似，但是自功率譜密度所反映的是信號幅值的平方，因此其頻域結(jié)構(gòu)特征更為明顯。幅值譜和自功率譜8.3信號的頻域分析8.3.2功率譜的應(yīng)用

1、功率譜密度Sx(f)與幅值譜│x(f)│及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(f)的關(guān)系若輸入為x(t)，輸出為y(t)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H(f)，則有

8.3信號的頻域分析其中，H(f)、Y(f)、X(f)均為f

的復(fù)函數(shù)。

X(f)表示為

X(f)的共軛值為

則有

8.3信號的頻域分析對于輸入、輸出的自功率譜密度與系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系：

通過輸入、輸出自譜的分析，就能得出系統(tǒng)的幅頻特性。但這樣的譜分析丟失了相位信息，不能得出系統(tǒng)的相頻特性。對于單輸入、單輸出的理想線性系統(tǒng)，可得所得到的H(f)不僅含有幅頻特性而且含有相頻特性，這是因?yàn)榛ハ嚓P(guān)函數(shù)中包含著相位信息。2、利用互譜排除噪聲影響

受到外界干擾測試系統(tǒng)，n1(t)為輸入噪聲，n2(t)為加于系統(tǒng)中間環(huán)節(jié)的噪聲，n3(t)為加在輸出端的噪聲。該系統(tǒng)的輸出y(t)為

8.3信號的頻域分析式中：x′(t)、n1′(t)和n2′(t)分別為系統(tǒng)對x(t)、n1(t)和n2(t)的響應(yīng)。輸入與輸出y(t)的互相關(guān)函數(shù)為

3、功率譜在設(shè)備診斷中的應(yīng)用

汽車變速箱正常工作譜圖機(jī)器運(yùn)行不正常時(shí)的譜圖

增加了9.2Hz和18.4Hz兩個(gè)譜峰，這兩個(gè)頻率為設(shè)備故障的診斷提供了依據(jù)。8.3信號的頻域分析4、瀑布圖

各轉(zhuǎn)速下的功率譜組合為轉(zhuǎn)速——功率譜三維圖，稱為瀑布圖。8.3信號的頻域分析兩種階次共振瀑布圖5、坎貝爾圖

坎貝爾圖是在三維譜圖的基礎(chǔ)上，以諧波階次為特征的振動(dòng)旋轉(zhuǎn)信號三維譜圖。汽輪發(fā)電機(jī)組振動(dòng)的坎貝爾圖

8.3信號的頻域分析8.3.3相干函數(shù)

1、相干函數(shù)的定義

8.3信號的頻域分析2、相干函數(shù)的物理含義

相干函數(shù)是在頻域內(nèi)反映兩信號相關(guān)程度的指標(biāo)。評價(jià)其輸入信號與輸出信號間的因果性。

線性系統(tǒng)表明：對于一個(gè)線性系統(tǒng)，其輸出與輸入之間的功率譜關(guān)系是相干函數(shù)為1，這表明輸出完全是由輸入引起的線性響應(yīng)。

0<γ2xy(f)<1表明有三種可能性：(1)聯(lián)系x(t)和y(t)的系統(tǒng)不完全是線性的；(2)系統(tǒng)的輸出y(t)是由x(t)和其他干擾信號共同輸入所引起的；(3)在輸出端有干擾噪聲混入。所以γ2xy(f)的數(shù)值標(biāo)志了y(t)由x(t)線性引起響應(yīng)的程度。

3、相干函數(shù)的應(yīng)用

(1)系統(tǒng)因果性檢驗(yàn)(2)鑒別物理結(jié)構(gòu)的不同響應(yīng)信號間的聯(lián)系。 柴油機(jī)潤滑油泵的油壓脈動(dòng)與壓油管道振動(dòng)的兩信號的自譜和相干函數(shù)。8.3信號的頻域分析結(jié)論：油管振動(dòng)的主要原因是油壓脈動(dòng)。8.3.4倒頻譜分析及其應(yīng)用

1、倒頻譜的數(shù)學(xué)描述

倒頻譜函數(shù)Cp(q)

定義8.3信號的頻域分析幅值倒頻譜

還可以定義

自相關(guān)函數(shù)

這種定義與自相關(guān)函數(shù)相近，變量q與τ在量綱上完全相同。

x(t)的倒頻譜

2、倒頻譜的應(yīng)用

（1）分離信息通道對信號的影響在機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷中，所測得的信號，往往是由故障源經(jīng)系統(tǒng)路徑的傳輸而得到的響應(yīng)，也就是說它不是原故障點(diǎn)的信號，如欲得到源信號，必須刪除傳遞通道的影響。例在噪聲測量時(shí)，所測得之信號，不僅有源信號而且混入不同方向反射的回聲信號。要提取源信號，須刪除回聲的干擾信號。8.3信號的頻域分析系統(tǒng)的輸入為x(t)，輸出為y(t)，脈沖響應(yīng)函數(shù)是h(t)，三者的時(shí)域關(guān)系為

頻域的關(guān)系為

功率譜的公式

即8.3信號的頻域分析圖像，源信號為具有明顯周期特征的信號，經(jīng)過系統(tǒng)特性logGh(f)的影響修正，合成而得輸出信號logGy(f)。進(jìn)一步作傅里葉變換，即可得幅值倒頻譜低倒頻率q1，反映系統(tǒng)的特征；高倒頻率q2，反映源信號特性。（2）用倒頻譜診斷齒輪故障

調(diào)幅信號

8.3信號的頻域分析嚙合圓頻率齒輪偏心隨時(shí)間變化函數(shù)

轉(zhuǎn)軸圓頻率齒輪嚙合中的拍波及頻譜如果頻譜圖上出現(xiàn)過多的頻差，則難以識別，這時(shí)，可以使用倒頻譜。例如，圖中左圖為一個(gè)減速箱的頻譜圖，右圖為其倒頻譜圖。從倒譜圖可以清楚地看出兩個(gè)主要頻率分量：117.6Hz(8.5ms)和48.8Hz(20.5ms)。

8.3信號的頻域分析減速箱頻譜和倒頻譜圖8.4現(xiàn)代信號分析方法與處理技術(shù)8.4.1從傅里葉變換到時(shí)頻分析

全局性的變換能得到的僅是一個(gè)有限時(shí)間段內(nèi)的信號8.4現(xiàn)代信號分析方法與處理技術(shù)時(shí)頻分析法按所設(shè)計(jì)的時(shí)頻聯(lián)合函數(shù)不同可以分為各種類型：

1.線性時(shí)頻表示若x(t)＝ax1(t)+bx2(t)，a、b為常數(shù)，而P(t，f)、P1(t，f)、P2(t，f)分別為x(t)、x1(t)、x2(t)的線性時(shí)頻表示，則P(t，f)＝aP1(t，f)+bP2(t，f)

線性時(shí)頻表示有短時(shí)傅里葉變換(STFT)、戈勃(Gabor)展開及小波變換等。2.雙線性時(shí)頻表示

這類時(shí)頻表示由能量譜或功率譜演化而來，其變換是二次的，也稱二次型時(shí)頻表示。二次型時(shí)頻表示不滿足線性。若x(t)＝ax1(t)+bx2(t)，P(t，f)、P1(t，f)、P2(t，f)分別為x(t)、x1(t)、x2(t)的二次型時(shí)頻表示，則有P(t，f)＝│a│2P1(t，f)+│b│2P2(t，f)+2Re[abP12(t，f)]式中：最后一項(xiàng)稱之干擾項(xiàng)，也稱互項(xiàng)，P12(t，f)稱為x1(t)，x2(t)的互時(shí)頻表示。在雙線性時(shí)頻表示中，主要有Cohen類雙線性時(shí)頻分布和仿射類雙線性時(shí)頻分布等，而著名的維格納(Wigner)分布是聯(lián)結(jié)Cohen類分布與仿射類分布的紐帶，也是研究較多的一種雙線性時(shí)頻表示。8.4現(xiàn)代信號分析方法與處理技術(shù)8.4.2信號分辨率

1.時(shí)間分辨率對于信號x(t)，其信號能量按時(shí)間的密度(分布)函數(shù)可記為│x(t)│2，在Δt內(nèi)的部分能量可記為│x(t)│2Δt，而其信號總能量可以表示為8.4現(xiàn)代信號分析方法與處理技術(shù)可以看出，由信號的時(shí)間函數(shù)表示x(t)，可以確切知道每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的能量密度。因此，信號的時(shí)間函數(shù)表示具有無限的時(shí)間分辨率。信號頻譜X(f)僅為頻率的函數(shù)，從X(f)中不能直接得到任何信號能量隨時(shí)間分布的性狀，因此信號頻譜函數(shù)表示的時(shí)間分辨率為零。為描述信號能量隨時(shí)間分布的性態(tài)，可按│x(t)│2來定義信號能量分布的時(shí)間中心<t>＝t0和持續(xù)時(shí)間T=Δx=Δt，Δx稱信號的時(shí)窗半徑，t0則稱為時(shí)窗中心，它們分別滿足2.頻率分辨率

8.4現(xiàn)代信號分析方法與處理技術(shù)對于頻譜函數(shù)X(f)的信號，其信號能量按頻率的密度(分布)函數(shù)可記為│X(f)│2，即能量譜密度函數(shù)。在Δf內(nèi)的部分能量可記為│X(f)│2Δf，信號總能量可以表示為由X(f)可以確切知道每個(gè)頻率點(diǎn)(如f＝f

0)的能量密度。因此，信號的頻譜函數(shù)表示具有無限的頻率分辨率。顯然，信號的時(shí)間函數(shù)表示的頻率分辨率為零。為描述信號能量隨頻率分布的性態(tài)，可按│X(f)│2來定義信號能量分布的頻率中心<f>=f

0和均方根寬帶B=ΔX=Δf，Δf稱為信號的頻窗半徑，f

0稱為頻窗中心，它們分別滿足3.不確定性原理

8.4現(xiàn)代信號分析方法與處理技術(shù)理想的時(shí)頻表示方法,希望在時(shí)間和頻率上都具有無限分辨率，即從信號的時(shí)頻表示P(t，f)中能確切知道信號能量在(t，f)點(diǎn)的分布，然而這是不可能的。介紹的Heisenberg不確定原理不允許有“某個(gè)特定時(shí)間和頻率點(diǎn)上的能量”概念。不確定性原理：若當(dāng)│t│→∞時(shí)，，則

只有當(dāng)x(t)是高斯函數(shù)，即

時(shí)，若要準(zhǔn)確求得任何信號在(t，f)處的能量密度，必須測量信號在(t，f)點(diǎn)某一無限小的二維鄰域內(nèi)的能量。這就要求所加的二維窗函數(shù)x(t)的Δx和ΔX同時(shí)無限小，而據(jù)上述定理，這是不可能的。因此，準(zhǔn)確表示信號在(t，f)點(diǎn)的能量密度的時(shí)頻表示是不存在的。所有的時(shí)頻表示，只能不同程度地近似表示信號在(t，f)處的能量密度，即只同時(shí)具有有限的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。

8.4.3瞬時(shí)頻率

1.瞬時(shí)頻率的定義具有有限能量的復(fù)信號s(t)＝A(t)e-φ(t)(A(t)為實(shí)函數(shù))。定義s(t)的相位函數(shù)φ(t)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為s(t)的瞬時(shí)頻率，即

8.4現(xiàn)代信號分析方法與處理技術(shù)s(t)的頻窗中心f0滿足

瞬時(shí)頻率按能量時(shí)間密度加權(quán)平均值為頻窗中心，或稱平均頻率。

（2）解析信號實(shí)際信號一般為實(shí)信號，其相位函數(shù)恒等于零。可定義實(shí)信號x(t)對應(yīng)的復(fù)信號s(t)為解析信號s(t)的瞬時(shí)頻率和平均頻率為原實(shí)信號的瞬時(shí)頻率和平均頻率。（3）單分量信號

單分量信號是在任意時(shí)刻只有一個(gè)頻率或一個(gè)頻域窄帶的信號。時(shí)頻分析是采用二維窗函數(shù)的方法，將多分量信號分離為單分量信號。8.4.4非平穩(wěn)隨機(jī)信號非平穩(wěn)隨機(jī)信號是統(tǒng)計(jì)特征時(shí)變的隨機(jī)信號。

1.統(tǒng)計(jì)特征非平穩(wěn)隨機(jī)信號的概率密度p(x，t)是時(shí)間的函數(shù)。在t=ti點(diǎn)，其概率密度仍滿足

定義均值mx(t)、均方值Dx(t)和方差ex2(t)

定義自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)