2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編：直線和圓

2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編

直線和圓

一、單選題

1.（2024北京海淀初三一模）如圖.A8經(jīng)過圓心O,8是。。的一條弦，CD1AB,8C是。。的切

線.再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，便得AD=3C.

條件①：8平分A3

條你②：OB=&A

條件③：AD2=AOAB

則所有可以添加的條件序號是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

2.（2024北京人大附中初三一模）如圖，正方形邊長為°,點E是正方形ABCD內(nèi)一點，滿足

ZAEB=90°,連接CE.給出下面四個結(jié)論：①AE+CEN垃a;②CEW貶二!③/BCE的度數(shù)最大

2

值為60。；④當(dāng)CE=a時，tanZABE=^.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號為（）

A.①②B.①③C.①④D.①③④

二、填空題

3.（2024北京石景山初三一模）如圖，AB是。。的直徑，尸是AB延長線上一點，PC與相切于點

4.（2024北京燕山初三一模）如圖，是OO的直徑，點C在。。上，過點8作OO的切線與直線AC交

于點O.若NO=50。，貝ijNBOC=°.

三、解答題

5.（2024北京燕山初三一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對于。G和線段給出如下定義：如果線段

上存在點P,Q,使得點尸在。G內(nèi)，且點。在。G外，則稱線段4B為。G的“交割線段”.

（1）如圖，O。的半徑為2,點A（0,2）,8（2,2）,C（-l,0）.

①在AABC的三條邊AB,BC,AC中，的“交割線段”是二

②點M是直線上的一個動點，過點M作MNLx軸，垂足為N,若線段MN是O。的“交割線段”，求點

M的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

（2）已知三條直線y=3,y=-x,y=-2x+3分另I］相交于點。，E,F,eT的圓心為（0,。，半徑為2,若

△DEF的三條邊中有且只有兩條是eT的“交割線段”，直接寫出r的取值范圍.

6.（2024北京大興初三一模）如圖，過OO外一點A作OO的切線，切點為點B,BC為的直徑，點

。為。。上一點，且連接CO,AD,線段AO交直徑BC于點E,交。。于點尸，連接3人

(1)求證：EF=BF-,

(2)若sinA=g,6>E=|,求O。半徑的長.

7.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初三一模）如圖，A8是OO的直徑，C是上一點，連接AC,BC.

cD

(1)使用直尺和圓規(guī)，在圖中過點A作。。的切線AP,補全圖形(點P在AB上方，保留作圖痕跡)；

4

(2)點。是弧BC的中點，連接。。并延長，分別交BC,融于點E,F,若BC=8,cosZPAC=-,求線

段。尸的長.

8.(2024北京門頭溝初三一模)如圖，在"LBC中，ZC=90°,/C43的平分線交CB于點。，過點。作

。。，。交川于點。.

(1)求證：直線CD是以點。為圓心，為半徑的。。的切線；

3

(2)如果：sinZCAB=-,BC=3,求。O的半徑.

9.(2024北京豐臺初三一模)如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，是直徑，C是8￡)的中點，過

點C作。。的切線CE交4)的延長線于點E.

(1)求證：CELAE；

(2)連接50,若3c=6,AC=8,求8。的長.

10.(2024北京平谷初三一模)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知O。和平面上一點尸，若切O。于點4

P3切。。于點8,且90o〈NAPB<180。，則稱點P為。。的伴隨雙切點.

（1）如果。。的半徑為2

①下列各點耳（-1,0）,6（-2,2）,8（3,3）,尺（-1,-2）是。。的伴隨雙切點的是；

②直線y=x+b上存在點尸為。。的伴隨雙切點，則6的取值范圍______；

（2）已知點E（l,2）、F（0,-2）,過點尸作y軸的垂線/，點C（〃?,0）是x軸上一點，若直線/上存在以CE為直

徑的圓的伴隨雙切點，直接寫出m的取值范圍.

11.（2024北京豐臺初三一模）在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，的半徑為1,對于O。的弦和OO外一

點C,給出如下定義：若直線C4,CB都是。O的切線，則稱點C是弦的“關(guān)聯(lián)點”.

（1）已知點A（T。）.

①如圖1,若OO的弦=在點。卜1,6），C2（-l,l）,C3卜1,一百）中，弦A3的“關(guān)聯(lián)點”是

②如圖2,若點2-半，點C是。。的弦A8的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出0c長；

I22J

（2）已知點。（3,0）,線段E尸是以點。為圓心，以1為半徑的。。的直徑，對于線段跖上任意一點S,存

在。。的弦AB,使得點S是弦A3的“關(guān)聯(lián)點”.當(dāng)點S在線段EF上運動時，將其對應(yīng)的弦長度的最大

值與最小值的差記為f,直接寫出才的取值范圍.

12.（2024北京平谷初三一模）如圖，AABC內(nèi)接于OO,ZACB=45°,連接Q4,過B作。。的切線交

AC的延長線于點D.

O

A

BD

⑴求證：ZD=ZOAD；

3

（2）若BC=4a,tan￡）=-,求G>O半徑的長.

4

13.（2024北京房山初三一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，將中心為M的等邊三角形記作等邊三角形

M,對于等邊三角形〃和點尸（不與。重合）給出如下定義：若等邊三角形M的邊上存在點N,使得直

（1）如圖，等邊三角形M的頂點分別為點0（0,0）,A（3,君），B（3,-V3）.

①在點心（，￥],1|，一事]，以2,2）中，等邊三角形/的“相關(guān)切點”是」

②若直線y=x+b上存在等邊三角形”的“相關(guān)切點”，求b的取值范圍；

（2）已知點〃（相，根-2）,等邊三角形M的邊長為2石.若存在等邊三角形M的兩個“相關(guān)切點”E,F,使

得△OEF為等邊三角形，直接寫出機的取值范圍.

14.（2024北京東城初三一模）如圖，AB為。。的直徑，點C在。。上，ZEACZCAB,直線CDLAE

于點。，交A8的延長線于點?

（1）求證：直線8為。。的切線;

（2）當(dāng)tanF=g,CD=4時，求5F的長.

15.（2024北京燕山初三一模）如圖，A8為。。的直徑，弦過點A作。。的切線交BC的延長

線于點E.

⑴求證：ZE4D=ZE；

（2）若OO的半徑為5,AD=6,求CE的長.

16.（2024北京通州初三一模）如圖，A3為。。的直徑，過點A作。O的切線AAf,C是半圓A3上一點

（不與點48重合），連結(jié)AC,過點。作81.鉆于點E,連接8。并延長交40于點E

⑴求證：NCAB=ZAFB；

⑵若。。的半徑為5,AC=8,求DF的長.

17.（2024北京房山初三一模）如圖，是。。的直徑，點C是。。上一點，過點C作。。的切線8與

A3的延長線交于點D,過點、B作BE〃CD,BE與。。交于點E,連接AE,CE.

3

⑵若tanNACE="AE=3,求CE的長.

18.（2024北京大興初三一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點T?,0）,eT的半徑為1,過eT外一點

尸作兩條射線，一條是eT的切線，另一條經(jīng)過點T,若這兩條射線的夾角大于或等于45。，則稱點尸為

eT的“伴隨點”.

⑴當(dāng)7=0時，

①在4（1,0）,6（血,0）,鳥（-1,1）,8（1,-2）中，eT的“伴隨點”是.

②若直線丫=^彳+。上有且只有一個eT的“伴隨點”，求6的值；

⑵已知正方形￡FG〃的對角線的交點”（0,。，點+若正方形上存在eT的“伴隨點”，直接寫

出r的取值范圍.

19.（2024北京順義初三一模）如圖，是。。的直徑，AC=AD，8與A3交于點￡，。。的切線砥

交AD的延長線于點尸.

⑴求證：CD\\BF;

（2）連接尸。并延長，交。C的延長線于點G.若E為AO的中點，。。的半徑為4,求CG的長.

20.（2024北京朝陽初三一模）如圖，AB是。。的直徑，點C在。。上，。是8c的中點，AO的延長線

與過點8的切線交于點E,AO與BC的交點為尸.

⑵若0。的半徑是2,BE=3,求AF的長.

21.（2024北京西城初三一模）如圖，為。。的直徑，弦。0,45于點”，。。的切線CE與BA

的延長線交于點E,AF//CE,A戶與。。的交點為F.

C

⑵若0。的半徑為6,AH=2OH,求AE的長.

22.（2024北京海淀初三一模）如圖，AB.均為的直徑.點E在80上，連接AE,交CO于點

F,連OE,NEDB+NE4D=45。，點G在的延長線上，AB=AG.

cA

E

⑴求證：AG與O。相切；

(2)若BG=4A后，tanZEr>B=1,求所的長.

23.(2024北京人大附中初三一模)在平面直角坐標(biāo)系宜萬中，對已知的點A,B,給出如下定義：若點A

恰好在以3尸為直徑的圓上，則稱點P為點A關(guān)于點B的“聯(lián)絡(luò)點”

(1)點A的坐標(biāo)為(2，-1),則在點片。，2),-1J,鳥(-2,1)中，。關(guān)于點A的“聯(lián)絡(luò)點”是一(填字

母)；

(2)直線y=-gx+l與x軸，y軸分別交于點C,D,若點C關(guān)于點。的“聯(lián)絡(luò)點”尸滿足tan/CPD=g,求

點P的坐標(biāo)；

(3)eT的圓心在y軸上，半徑為0,點M為y軸上的動點，點N的坐標(biāo)為(4,0),在eT上存在點M關(guān)于

點N的“聯(lián)絡(luò)點”P,且APMN為等腰三角形，直接寫出T的縱坐標(biāo)t的取值范圍.

24.(2024北京朝陽初三一模)如圖，是。。的一條弦，E是AB的中點，過點8作OO的切線交CE的

延長線于點D.

(1)求證：DB=DE；

⑵若AB=12,BD=5,求OO的半徑.

25.(2024北京東城初三一模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，O。的半徑為L對于線段PQ給出如下定義:

若線段尸。與。。有兩個交點M,N,且,PM=MN=NQ,則稱線段PQ是O。的“倍弦線”.

⑴如圖，點AB,C,。的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，在線段AB,CB,C。中，的“倍弦線”是；

⑵GO的“倍弦線”PQ與直線x=2交于點E,求點E縱坐標(biāo)力的取值范圍；

(3)若。。的“倍弦線”尸Q過點(1,0),直線y=x+8與線段尸。有公共點，直接寫出6的取值范圍.

26.(2024北京東城初三一模)如圖，A3是。。的直徑，C為圓上一點，。是劣弧BC的中點，DEJ.AB

于E,過點。作BC的平行線DM,連接AC并延長與ZW相交于點G,連接AD與交于點打.

⑴求證：GD是。。的切線；

(2)若C￡>=6,4￡>=8,求A”的值.

27.(2024北京東城初三一模)對于平面內(nèi)的點K和點L,給出如下定義：

若點Q是點L繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點。是點L關(guān)于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90。，則稱點。

是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點.如圖1,點。是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點.

(1)已知點4(4,0),在點Q(0,4),(2,26),0卜2,26),Q(20,-2行)中，是點A關(guān)于點0的銳角旋轉(zhuǎn)點

的是.

⑵已知點3(5,0),點C在直線>=2尤+6上，若點C是點8關(guān)于點。的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)b的取值范

圍；

(3)點。是x軸上的動點，0,0),E(/3,0),點網(wǎng)利〃)是以。為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足

n>0.若直線y=2x+6上存在點尸關(guān)于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出r的取值范圍.

參考答案

1.B

【分析】連接AC,OC,令A(yù)B,CD交于點E,由垂徑定理可知，CE=BE,ZAED=ZBEC=90。,則

AC=AD,若選條件①，可是=證△血）絲A5EC（SAS）,可得AD=3C,若選條件②，可知

OB=y/3OC,得COSNCOE=曳=3,設(shè)OA=OC=r,則02=6廠，OE=OCcosZCOE=—r'^^

OB33

BE=^r,AE=r+^r,則AEwBE,可得ADxBC,若選條件③，可知察=*，即可證

33OAAC

△C4Os△朋c,進而可證/。4c=/8,得AC=BC,可知AO=3C,即可判斷答案.

【詳解】解：連接AC,0C,令A(yù)B,C。交于點E,

「AB經(jīng)過圓心。，8是。。的一條弦，CD1AB,

：.CE=BE,ZAED=ZBEC=90°,

則AC=AD,

若選條件①，：8平分AB,

，AE=BE,

：.AAEg力EC（SAS）,

/.AD=BC,故①符合題意；

若選條件②，,??Q4=0C，

ZOAC=ZOCA,

???BC是。。的切線，

OCA.BC,

?：OB=/OA,則OB=6OC,

??cos——,

OB3

設(shè)OA=OC=r,貝1]08=后，OE=OC-cosZCOE=^-r

：.BE=OB-OE=4ir--r=^-r,AE=OA+OE=r+—r,

333

則AEwBE,

AAC^BC,即ADwBC,故②不符合題意；

若選條件③，VAD2=AOAB,即：AC2=AOAB

.ACAB

"OA~AC，

又：ACAO=Z.BAC

：.△CAOsABAC,

：.ZB=ZOCA,

又：ZOAC=ZOCA,

：.Z.OAC^ZB,

：.AC=BC,

：.AD=BC,故③符合題意；

綜上，所有可以添加的條件序號是①③，

故選：B.

【點睛】本題屬于幾何綜合題，考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的

判定及性質(zhì)，解直角三角形等知識點，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】如圖所示，連接AC交于"，取AB中點。，連接OC,先證明點E在以點。為圓心，AB為

直徑的圓上運動，當(dāng)AE、C三點共線，即點E運動到點H時AB+CE=AC,當(dāng)C、O、E三點共線

時，CE有最小值，據(jù)此可判斷①②；如下圖所示，當(dāng)CE與OO相切時/BCE有最大值，證明

OE1

RtAOBC^RtAOEC,得至（JCE=3C=a,ZOCE=ZOCB,貝!|tan/OCE=——=-,再證明

CE2

/ABE=ZBCO=ZOCE,得到tanZABE=tanZOCE=-,即可判斷③④.

2

【詳解】解：如圖所示，連接AC交8。于“，取42中點O,連接OC,

???四邊形A3CD是正方形，

ZAfffi=90°；

,/ZAEB=90°,

...點E在以點。為圓心，A3為直徑的圓上運動,

ZAHB=90°,

...點H在圓。上，

AE+CE>AC=yflAB=-Jia-

...當(dāng)A、E、C三點共線，即點E運動到點》時，AE+CE=AC,故①正確;

:點E在以點。為圓心，48為直徑的圓上運動，

...當(dāng)C、0、E三點共線時，CE有最小值，

在RtZ^93C中，由勾股定理得"^+叱=止〃,

2

???然的最小值為立4-！〃=叵14,故②錯誤；

222

如下圖所示，當(dāng)CE與O。相切時/BCE有最大值，

'：OB=OE,OC=OC,

：.RtAOBC^RtAO￡C（HL）,

ACE=BC=a,ZOCE=ZOCB,

：.tanZOCE=—

CE2

???NOC￡w30。，

NBCEw60。,

???/BCE的度數(shù)最大值不是60。，故③錯誤;

VBC=EC,OB=OE9

OC垂直平分

J/ABE+ZBOC=ZBOC+ZBCO,

JZABE=ZBCO=ZOCE,

tan/ABE=tanZOCE=—,故④正確；

2

故選：C.

【點睛】本題主要考查了圓與正方形綜合，解直角三角形，勾股定理等等，根據(jù)題意得到點E的運動軌跡

是解題的關(guān)鍵.

3.25

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，如圖，連接OC,求解

NCOP=90。-40。=50。，再根據(jù)圓周角定理即可得答案.

【詳解】解：如圖，連接OC,

，NOCP=90°,ZCOP=90°-40°=50°,

：.ZA=-ZCOP=25°,

2

故答案為：25

4.80

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)

鍵.先根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑得到？河90?,根據(jù)直角三角形兩個銳角互余計算出

ZA=40°,然后根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】解：：A3是的直徑，8。為。。的切線，

/.AB_LBD,

：.?ABD90?,

ZD=50。，

ZA=40°,

/.ZBOC=2ZA=80°.

故答案為：80.

5.⑴①BC；②當(dāng)母或立<m<2

(2)3-2右<*1或2血4/<5

【分析】(1)先根據(jù)點A和點2的坐標(biāo)得到。。與相切，則線段上沒有點在。。外；再證明線段

AC上沒有點在。O外，線段上有點在。。內(nèi)，也有點在。O內(nèi)，即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)直線03在x軸上方與。。交于7,過點T和點8分別作無軸的垂線，垂足分別為G、H,設(shè)

T(t、0,利用勾股定理求出，=0,由函數(shù)圖象可知，當(dāng)點M在5T之間(不包括端點)，即0<〃?<2

時，線段跖V是。。的“交割線段”；由對稱性可得當(dāng)_2<m<_0時，線段初V是O。的“交割線段”；

(3)分圖2-1,圖2-2,圖2-3,圖2-4四種臨界情況，求出此時f的值，再結(jié)合圖形以及“交割線段''的定

義即可得到答案.

【詳解】(1)解：：4(0,2),3(2,2),

AOA=2,OA±AB,

二點A在。。上，

，。0與48相切，

?*.線段AB上沒有點在QO外，

二線段AB不是OO的“交割線段”，

,*■OC=1＜2,OB=V22+22=2丘＞2,

???點C在。。內(nèi)，點B在。O外，

線段AC上沒有點在。O外，線段BC上有點在。。內(nèi)，也有點在。。內(nèi),

；?線段AC不是?O的“交割線段”，線段BC^QO的“交割線段”，

故答案為：BC；

②如圖所示，設(shè)直線OB在x軸上方與。。交于T,過點T和點8分別作x軸的垂線，垂足分別為G、H,

設(shè)7”、。，

/.OH=BH=2,OG=TG=t,

：.此時點H剛好在。。上，且此時BH與。。相切；

,/QO的半徑為2,

OT=2,

?"+/=22,

解得/?=應(yīng)或/=-夜（舍去），

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)點M在2T之間（不包括端點），即&＜根＜2時，線段是。。的“交割線段”；

由對稱性可得當(dāng)-2〈-&時，線段是。。的“交割線段”；

綜上所述，當(dāng)-2＜加＜-應(yīng)或虛＜〃?＜2時，線段是。。的“交割線段”；

￡（-3,3）,

同理可得0（0,3）,*3,-3）；

如圖2-1所示，當(dāng)eT恰好經(jīng)過點。時,

/.TD=2,

r=2+3=5；

如圖2-2所示，當(dāng)eT恰好與所相切于H時，連接7W,

-/￡(-3,3),0(0,3),

DE=OD=3,DEI.OD,

?./DOE=45°,

由切線的性質(zhì)可得N7HO=90。，

ATOH是等腰直角三角形，

/.t=OT=y/2TH=242,

???當(dāng)2夜Vf<5時，DE,。尸是eT的“交割線段”，所不是eT的“交割線段”;

如圖2-3所示，當(dāng)eT恰好經(jīng)過點D時,

TD=2,

t=3—2=1；

如圖2-4所示，當(dāng)eT恰好與。尸相切于尸時，連接7P,設(shè)直線。方與x軸交于

/.DQ=ylOD2+OQ2=乎,

OQ

sinNODQ二=:B

~DQ~~T

由切線的性質(zhì)可得N7PD=90。，TP=2,

TPs/5

sinZTDP=

DT~5

：.DT=2出,

/.OT=DT-OD=2垂-3,

:.t=3-2后，

.?.當(dāng)3-2君＜/41時，EF,Db是eT的“交割線段”，DK不是eT的“交割線段”;

綜上所述，當(dāng)3-2不<fVI或2后Vf<5時，ADEF的三條邊中有且只有兩條是eT的“交割線段”.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三

角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于正確理解“交割線段”的定義，以及求出臨界情況下的臨界值.

6.(1)證明見解析

【分析】(1)由切線的定義可得出ZA+ZA￡B=90。，由直徑所對的圓周角等于90。得出

/CDE+/BDE=90。,由等邊對等角得出N3D4=N4,等量代換得出NCDE=NA￡B,由同弧所對的圓周

角相等得出NQ應(yīng)=NW,進而可得出=,由等角對等邊得出斯=3/.

(2)連接CP,先證明詼=3尸=竹，設(shè)BF=EF=AF=x,則A￡=2x,解直角三角形RbABE得出

21

BE=-x,再證明4CF=NA,得出sinA=sinZBCT=§,進一步得出5C=2O3=2(OE+BE),即

3x=2g+|xJ,解出x即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?"為。。的切線，

??.ZOBA=90°.

ZA+ZAEB=90°.

BC為的直徑,

ZCDB=90°.

，ZCDE-^-ZBDE=90°.

BD=BA9

ZBDA=ZA.

，ZCDE=ZAEB.

又"CDE=4CBF,

:.ZAEB=ZCBF.

：.EF=BF.

(2)連接C/.

vAB為。。的切線，

??.NONA=90。.

ZAEB+ZA=90°,NEBF+NFBA=90。.

..ZAEB=ZCBFf

ZFBA=ZA.

AF=BF.

AF=BF=EF.

設(shè)■二防=AF=x,貝ljAE=2x.

在RMABE中，

?A1

,/smA=-,AE=2x,

3

BE=-x.

3

???5C為直徑，

ZCFB=9Q°.

???Z.BCF=NBDA,ZBDA=ZA,

NBCF=ZA.

sinA=sinNBCF=—.

3

在RfABFC中,

,/BF=x,

BC=3x.

BC=2OB=2(OE+BE),

解得x=3.

9

。。半徑的長為5.

【點睛】本題主要考查了切線的定義，直徑所對的圓周角等于90。，同弧所對的圓周角相等，解直角三角

形的相關(guān)計算，等角對等邊等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.⑴見解析

⑵”

3

【分析】本題主要考查作垂線，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)：

（1）以點A為圓心，任意長為半徑畫弧交A3和54的延長線玩點為M,N,分別以N為圓心，大于

為半徑畫弧，將于兩點，過兩點作直線，則為OO的切線；

（2）由切線的性質(zhì)得NABC=NR4C,求出AB=10,由垂徑定理和勾股定理可求出OE=3,再證明

25

,可求出。/=5_,從而可求出DF的長

【詳解】（1）解：如圖，出為。。的切線：

(2)解：:AB是的直徑,

^ACB=90°,

：.ZC4B+ZCBA=90°,

*/E4為。。的切線，

BALPA,即NBAP=90°,

ABAC+APAC=90°,

.?.ZABC=ZPAC,

4

cosZABC=cosAPAC=—,

5

.BC4

,,南一仁，

又5c=8,

AAB=10,

:.OD=OA=OB=5,

ID是5c的中點，

，ODABC,

BE=LBC=4,

2

?，?0E=y/0B2-BE2=V52-32=4

/OAF=ZOEB=90°,ZAO尸=/EOB,

QEBS^OAF,

OEOB

~OA~~OF

3__5_

5-OF5

Z)F=OD+OF=5+—=——

33

8.(1)見詳解

20

(2)—

9

【分析】(1)根據(jù)“平行線+角平分線”得等腰三角形即可證明；

(2)先由銳角三角函數(shù)求出AB=5,由sinNC4B=sin/BOD=畀=],設(shè)&)=34,08=5%,則

OB5

OD=4x,則得到9%=5,即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?OD，3C,

???ZODB=90°,

:.ZODB=ZC=90°,

.\OD\\ACf

:.ZCAD=ZADO,

?.?AD平分/C4B,

:.ZCAD=ZBAD,

:.ZDAO=ZADO,

OA=OD,

??,點0到直線CD的距離為d=OD,半徑為R=OA,

???直線8是以點。為圓心，為半徑的的切線;

(2)解：-.-OD//AC,

:.ZBOD=ZCAB,

.,一nBC3

ZC=90°,sinZCAB=——=-,

AB5

?/BC=3,

AB=5,

sinZCAB=sinZBOD=-=

OB5

.?設(shè)BO=3x,0B=5x,

在RtZXBDO中，DO=y/OB2-BD2=4x>

AO=OD=4x,

AB=9%=5,

5

:.x=—

9

A°=V

，。。的半徑為衣.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，等腰三角形的判定，熟練掌握切線

的判定定理是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

(2)80=9.6

【分析】(1)連接0C,由切線的性質(zhì)推出OCLCE,由圓周角定理得到N￡AC=NC4O,由等腰三角形

的性質(zhì)推出C4O=/4CO,得到/E4C=/ACO,推出C0//AE,即可證明CELAE；

(2)由圓周角定理得到NACB=NADB=90。，由勾股定理求出AB=10,證明AACESAABC可求出

CE=4.8,證明四邊形EZ>C是矩形得=EC=4.8,OCLBD,從而。尸〃AD,然后利用平行線分線

段成比例定理即可求解.

【詳解】(1)連接0C,

：CE為。。的切線，

OC1CE.

：.ZOCE=90°.

,rc是2。的中點,

?*-CB=CD，

：.ZEAC=ZCAO.

OA=OC,

:.CAO=ZACO,

：.ZEAC=ZACO.

C.COHAE,

???ZE+ZOCE=180°,

???/￡=90。，

：.CE±AE.

VBC=6,AC=8,

：.AB=10.

VZEAC=ZCAO,ZE=ZACB,

；?^ACEs小ABC.

.CEAC

**BC-AB*

ACE=4.8.

,?NE=NBDE=NECO=90。,

???四邊形￡。尸。是矩形.

：.DF=EC=4.8fOC±BD,

：.OF//AD,

.BDAB

..--=--=z,

DFAO

：.BD=2DF=9.6.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是

掌握圓周角定理.

10.（1）①與，8；②T46W4

（2）m>A/14+1或相V1-V14

【分析】（1）求出點尸為。。的伴隨雙切線的條件，①根據(jù)求出的條件進行判斷即可；②根據(jù)得出的條

件，判斷原點到直線的距離的關(guān)系，從而得出解；

（2）根據(jù)（1）得出點尸存在的條件，判斷以CE為直徑的圓的圓心和半徑的數(shù)量關(guān)系，從而得解.

【詳解】（1）解：①根據(jù)定義，由R4,抬是。。的切線，

NOAP=/OBP=90°,

VOA=OB,OP=OP,

：.AAOP^ABOP,

???ZAPO=ZBPO.

90°<ZAPS<180°,

A450<ZAPO<90°,

A—<sinZAPO<l.

2

：.2<OPM2近.

?.?點6(-1,0),鳥(-2,2),舄(3,3),舄(-1,-2),

；.OR=1,OP,=2V2,O￡=30,OP4=y/5,

?：2<OPM2五,

二點修巴是。。的伴隨雙切點.

故答案為：與舄；

②：直線y=x+。上存在點p為。。的伴隨雙切點.

圓心O到直線y=的距離不大于20.

設(shè)直線y=x+b與X軸，y的交點為C,D,過點。作OE1.CD于點E,如圖.

令x=0,貝1Jy=b,令y=o,貝!Jx=-%,

.?.點C(-6,0),0(0,6),

/.OC=OD=\^,

△(%)￡)為等腰直角三角形，

/?OE=^OC=^\b\,

：.豐網(wǎng)42友，

/.-4<Z?<4.

故答案為：-4<fe<4；

（2）設(shè)CE的中點為憶

???/”軸,尸過直線/,

直線/的表達(dá)式為產(chǎn)-2,

二圓心F到直線/的距離為1一（―2）=3,

由（1）可知3W&EF，

EF>-j2,

2

CE>3A/2）

BPy］（m-I）2+22>3>/2.

m>A/14+1或加41—A/14.

【點睛】本題是一道圓的綜合問題，考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等，準(zhǔn)確的理解新定義

是解題的關(guān)鍵.

11.⑴①G，G；②”.

3

巫一晅M叵<

532

【分析】（1）①已知A3線段長，求出0C的長度，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式求出。G，

0C2,0c3,再看與OC是否相等即可作出判斷;

②由A,8的坐標(biāo)求出AB,再求出。到的距離QD,進而求出0C；

（2）首先確定線段0S與AB長度間的關(guān)系，線段0S長度越長，線段A8長度越長；然后舉例線段所，

確定線段。S最大值和最小值取值情況；改變線段所的位置，確定線段0S最大值和最小值的變換情況;

當(dāng)線段所是水平線段時，，取最大值；當(dāng)線段所是豎直線段時，r取最小值，由此可解決問題.

【詳解】（1）解：先探究A3長度確定時，0C的長度，如圖,

CB是。。的切線，切點分別為A,B,

??.由切線長定理，得。4LAC,OB1BC,AB1OC,

:.^OAC^Z^ODA,

OCOAOCr

-----=------，即nn——二——，

OAODr0D

?vAB=y[3,r=l

2

OC]=JF+(6)2=2,

22

OCX—A/1+1=w2,

2

OC3=/+(用=2,

??.弦AB的“關(guān)聯(lián)點”是G，G，

故答案為：G和。3；

@OC=-y/3.

3

(17

理由：由A(—1,O),B

2

.10C越大，越大；0C越小，A3越小;

以線段石尸為例，如圖：

當(dāng)48最小時，0smin=。尸，

當(dāng)。Smax由0E變?yōu)椤?,

OE<OEX,

451m以，

..ABmax<1

當(dāng)OSmin由。尸變?yōu)椤６?/p>

OF>OF{,

..ABmin>A與min，

.?"=ABmax-ABmjn,4=A5lmax一Alimin，

=OF=2fOSmax=OE=4f

而.瓜

改變線段所的位置到當(dāng)巴，如圖:

0E>0E2,

A^max>A^max,

當(dāng)。由o尸變?yōu)?G時，

\'OF<OG,

,e,in2in，

A5m<45m

-

?."=A5111ax-A5min，％2=A^2maxA與min

OS^n=OD=3,OSm^=OE^OF=^0,

亞

。吃X5

._3A/104A/2

.t■—--------------------------------

m,n53

綜上，巫一這q叵一B

532

【點睛】本題是一道圓的綜合題，考查對新定義的理解，切線長定理，相似三角形，勾股定理，準(zhǔn)確理解

“關(guān)聯(lián)點”，能靈活運用線段AB與0C的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

12.⑴見解析

(2)20

【分析】(1)連接。3,根據(jù)圓周角定理可得NAO3=90。，然后利用平行線的性質(zhì)即可解答；

(2)過點B作于點H,直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，得BH=HC=4,再證明

/MB”=NQ4M="即可.

【詳解】(1)證明：連接。3,

BO是。。的切線,

.-.ZOBD=90°,

ZACB=45°,

:.ZAOB=NOBD=90。,

:.OA//BD,

：.ZD^ZOAD；

(2)解：過點8作于點H,

：ZACB=45°,5c=4夜，

:.ZACB=ZHBC,

..BH=HC,BH2+HC2^BC2,

:.BH=HC=4,

?.?ZHBM+ZBMH=90°,

ZOAM+ZAMO=90°,ZBMH=ZAMO,

:.ZMBH=ZOAM=ZD,

3

,/tanD=—,

4

3

4

:.MH=3,BM=5,

設(shè)。。的半徑為X,

:.OM-x—5,

/cOMx-5八3

/.tanAOAM----=------=tanD=—,

OAx4

解得x=20,

半徑的長20.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)，掌握切線的判定方法和性質(zhì)，圓周角定理正確解

答的關(guān)鍵.

13.⑴①《，P2；②一旦一。WbW啦—k

一22

⑵2WmW1+V7或1-V7W/W0.

【分析】（1）①根據(jù)新定義即可求解；

②找到關(guān)鍵點先求出此時6的值，然后即可求解；

（2）由加（根加-2）可知，點在y=x-2直線上，再根據(jù)新定義分四種情況畫出圖即可；

本題考查了圓的切線，勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）①如圖，

根據(jù)題意，直線。尸與以為半徑的0"相切，

由圖可知，等邊三角形M的“相關(guān)切點”是小鳥,

故答案為：6、6;

②根據(jù)題意，滿足題意的P點是以(1,0),半徑為1的弧上，如圖,

若直線y=X+6上存在等邊三角形M的“相關(guān)切點”，如圖,

??KI=-\/2，

OK=OS=42-1,即b=^/^二T，

.Ml力

：.PL=—,KL=J

22

2

此時

的取值范圍為6<&<^-i；

22

(2)如圖，此時aOE腹中/EOM=30°,ZOEM=90°,

解得：m=1+V7（負(fù)值舍去）,

如圖，此時△困/中NEOM=30。，ZOEA/=90°,,

5~^c

此時OM=4,m2+（m-2）2=42,

解得：m=l-幣（正值舍去），

如圖，

解得：〃7=2或相=0（舍去）,

此時OM=2,m2+（m-2）2=22,

解得：m=2（舍去）或加=0,

綜上可知：2WmWl+S或l-V7WmW0.

14.⑴見解析

⑵10-2有

【分析】（1）連接。C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/C4O=/ACO,求得ND4c=NACO,根據(jù)平行線

的性質(zhì)得到OCLO尸，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）設(shè)OC=x,則Cb=2x,AO=OB=x,根據(jù)勾股定理得到y(tǒng)l0C2+CF2=y[5x＞根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接。C,BC

E

?：OA=OC,

:.ZCAO=ZACO,

?/ZEAC=ZCAB,

.\ZDAC=ZACO,

???OC\\AD,

,:CDAD,

:.OC±DF,

???OC是。o的半徑，

???直線8為oo的切線；

(2)解：tanb=，,

2

oc1

,??二_一,

CF2

設(shè)OC=x,貝!JC尸=2%,AO=OB=x,

:.OF=^OC1+CF2=45x^

?，?OC\\AD,

:.AAFD^AOFC,

.CF_OF

,DF-AF?

.2x_V5x

2x+4小x+x

x=2^/5，

.?.BF=OF-OB=U)-2逐.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的

判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

15.⑴見詳解

9

(2)_

2

【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識

點是解題的.

(1)先證明A石〃C。，則NBCD=NE,由50=50，得至！JNBA。=NBCD,繼而求證；

(2)連接AC,A3為。。的直徑，CD1AB,貝!JAC=AT)=6,ZACB=ZACE=90°f先求

BC=7AB2-AC2=8，再證明△E4CS&4BC即可.

【詳解】（1）證明：???AE1是。。的切線，為。。的直徑,

E

D

：.ZEAB=90°,

VCD1AB,

???N1=NE4B=9O。，

:、AE//CD,

:.ZBCD=ZE,

,?*BD=BD，

：?/BAD=/BCD,

:.ZBAD=ZE.

(2)解：如圖，連接AC,

???43為。0的直徑，CDYAB,

：.AC=AD=6,ZACB=ZACE=9Q°f

I半徑為5

???AB=1Q,

???BC=y/AB2-AC2=8,

???ZACE=ZEAB=90°,

：.ZE+ZEAC=ZE4C+ZC4B=90°,

：.NE=/CAB,

在RtAE4C和RtAACB中，

ZACE=ZBCA=90°,/E=/CAB,

:.^,EAC^^ABC,

.ECAC

**AC-BC?

.“AC2369

??EC-----=——=—.

BC82

16.（1）證明見解析

32

Q）DF=3

【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理，掌握切線的性質(zhì)和判斷方

法，垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)以及圓周角定理即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理進行計算即可.

【詳解】（1）證明：〈AM是的切線，

/.ZBAM=90°,

???8_1至于點石，

/.ZCEA=90°,

:.CD//AF,

:.ZCDB=ZAFB,

?//CDB=/CAB,

:.ZCAB=ZAFB.

（2）解：連結(jié)A。，

:.AC=AD=S,

???。。的半徑為5,

.-.AS=10,

:.BD=6,

???川是。。的直徑，

/.ZBDA=90°,

:.ZBAD=ZAFB,

.,.tan/BAD=tanZAFB,

ADBD

一而一法’

.-.AD2=DFBD,

17.(1)見解析

(2)C￡=V5

【分析】(1)根據(jù)M=得出NACE=NABE,根據(jù)班〃CD,得出NABE=NO,即可證明結(jié)

論；

(2)連接0C,交BE于點F,根據(jù)切線的性質(zhì)得出90。，證明O9為△/1￡?的中位線，得出

OF=^AE,解直角三角形得出BE=4,AB=5.最后根據(jù)勾股定理求出匿=戶幣=內(nèi).

【詳解】⑴證明：:淞=淞，

；.ZACE=ZABEf

又,：BE〃CD,

ZABE=ZD.

：.NACE=ND.

(2)解：連接OC,交BE于點、F,如圖所示：

A

???8是OO的切線，切點為C,

：.ZOCD=90°,

BE//CD,

：.ZOFB=ZOCD=90°,

：.BELOC,

/為班