2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破：函數(shù)的概念與性質(zhì)（含答案及解析）

專題05函數(shù)的概念與性質(zhì)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)函數(shù)的考查，重點(diǎn)是函數(shù)的單2023?新高考I卷,4

調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性，需要森、指、對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2023?新高考I卷,10

關(guān)注周期性、對(duì)稱性、奇偶性結(jié)合在一2023?新高考n卷,4

起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相2022?新高考I卷，12

結(jié)合進(jìn)行考查。2023?新高考I卷,11

抽象函數(shù)的性質(zhì)

2.高考對(duì)函數(shù)的考查重點(diǎn)關(guān)注以基本初2024?新高考I卷,8

等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)2022?新高考n卷，8

為載體，對(duì)函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查，函數(shù)與不等式結(jié)合2024?新高考n卷，8

考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示2024?新高考I卷，6

方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024?新高考I卷，10

周期性）、圖像等。2024?新高考II卷，11

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。II

卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的。總體來(lái)說(shuō)函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情景

為主，備考應(yīng)以常見的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難

題，而且?？汲Ｐ?。函數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、賽函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和

性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本

質(zhì)，會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí)，指對(duì)運(yùn)算也是?？疾榈闹R(shí)

點(diǎn)，考生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。

（2）函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問(wèn)題是函數(shù)專題的重點(diǎn)考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用,

注重?cái)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點(diǎn)作好準(zhǔn)備工作。

試題精講

一、單選題

—x2—2ax—a.x<0

I.(2024新高考I卷-6)己知函數(shù)為〃x)=,,八，在R上單調(diào)遞增，則.取值的范圍是

[e+ln(^+l),x>0

()

A.(-?,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

2.(2024新高考I卷-8)已知函數(shù)為/(x)的定義域?yàn)镽,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時(shí)〃x)=x,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

3.(2024新高考n卷-8)設(shè)函數(shù)〃x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,則1+〃的最小值為()

111

A.—B.—C.-D.1

842

二、多選題

1.(2024新高考I卷-IO)設(shè)函數(shù)〃X)=(X-1)2(X-4),則()

A.x=3是/⑴的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)</(x2)

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，-4</(2x-l)<0D.當(dāng)一l<x<0時(shí)，/(2-x)>/(x)

2.(2024新高考II卷?“)設(shè)函數(shù)〃x)=2x3-3辦2+1,則()

A.當(dāng)“>1時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)。<0時(shí)，x=0是/(x)的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)為曲線V=〃x)的對(duì)稱中心

近年真題精選

一、單選題

1.(2023新高考I卷-4)設(shè)函數(shù)/(x)=2?e在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-?=,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+?)

22

2.2022新高考n卷-8)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+了)+“x-了)=J(l)=1,則￡f"

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

2-i

3.(2023新高考n卷-4)若/(x)=(x+a)lnr^^為偶函數(shù)，貝lja=().

A.-1B.0C.yD.1

二、多選題

1.(2022新高考I卷?12)己知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域均為R,記g(x)=7'(x),若/'g-Zx

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g［一￡|=°C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

2.(2023新高考I卷-10)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)

4=20xlg二，其中常數(shù)p°(A>0)是聽覺下限閾值，〃是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車1050?60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為口,2,P3,則().

A.px>P2B.22〉10。3

C.P3='OOPoD.P1WIOOP2

3.(2023新高考I卷?門)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(xy)=//(x)+x2/(y),則().

A./(0)=0B.〃1)=0

C.是偶函數(shù)D.x=0為的極小值點(diǎn)

強(qiáng)備知遲避圮

一、函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

(4)零次幕或負(fù)指數(shù)次幕的底數(shù)不為零；

(5)三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是￡火，且xwAx+5,左EZ

(6)已知/(X)的定義域求解/［g(x)］的定義域，或已知/［g(x)］的定義域求/(X)的定義域，遵循兩

點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則〕下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；

（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域.

二、基本初等函數(shù)的值域

（1）y=kx+b（k^Q）的值域是R.

（2）y=62+6x+c（〃wo）的值域是：當(dāng)。〉0時(shí)，值域?yàn)椋?24。；”｝；當(dāng)。＜0時(shí)，值域?yàn)?/p>

（3）y=—（k^0）的值域是｛引夕士0｝.

（4）y=a*（a＞0且。W1）的值域是（0,+oo）.

（5）y=log。x（a＞0且aW1）的值域是及.

三、函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,區(qū)間

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值匕，與當(dāng)玉時(shí)，都有/區(qū)）＜/（2）,那么就說(shuō)了（X）在區(qū)間。上是

增函數(shù).

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值與，X?,當(dāng)不＜當(dāng)時(shí)，都有了區(qū)）＜〃七），那么就說(shuō)/（X）在區(qū)間。上

是減函數(shù).

①屬于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

②任意兩個(gè)自變量X1,X?且為＜￡；

③都有/（%1）＜/區(qū)）或/'（再）＞/（x2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）

函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

四、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)X，都有/（-x）=/（x）,那

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

么函數(shù)/（X）就叫做偶函數(shù)

奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/（-X）=-f（X）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)

判斷了(-x)與/(x)的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果/(-x)-〃x)=O或止2=I(/(X)NO),則函數(shù)/(X)

/(X)

為偶函數(shù);如果/(-x)+〃x)=O或』且=-l(〃x)wO),則函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

/(X)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,-X也

在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

五、函數(shù)的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.

⑶若/(x)=/(2a-x),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=o對(duì)稱.

⑷若/(x)+/(2a-x)=2b,則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.

六、函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有/(x+T)=/(x),那

么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱7為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(%)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做/(%)的最小正周期.

七、常見的寨函數(shù)圖像及性質(zhì)

_1_

y=x23-1

函數(shù)y=xy=xy=x2y=x

y

VVV1

圖象(1/

TV0x

定義域RRR{xx>0}{xxw0}

值域R3玲0}R3玲0}{y|yw0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(-co,0)上單調(diào)遞在(-00,0)和

在R上單在R上單調(diào)遞在［0,+oo)上單調(diào)

單調(diào)性減，在(0,+8)上單(0,+oo)上單調(diào)遞

調(diào)遞增增遞增

調(diào)遞增減

公共點(diǎn)(1,1)

八、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

1、指數(shù)

⑴根式的定義：

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的"次方根，其中(〃>1,neN*),記為五'，〃稱為根指數(shù)，。稱為

根底數(shù).

(2)根式的性質(zhì)：

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的“次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的"次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的“次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是幕運(yùn)算優(yōu)(aw0)中的一個(gè)參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，幕

運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)塞的分類

〃個(gè)

①正整數(shù)指數(shù)幕〃=a7］二二②零指數(shù)塞。。=1("0);

③負(fù)整數(shù)指數(shù)累aF=g(awO,〃eN*)；④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募沒有意義.

(5)有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)

①屋優(yōu)=屋+"(。>0,m,n&Q).②(屋)"=屋"0>0,m,〃e。)；

@(ab)m=ambm(a>0,b>0,m&Q).④)叱=/(a>Q，m,〃e0).

2、指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<4<1a>\

圖

1

象

-o]；彳

~o\1X

性①定義域R,值域(0,+8)

質(zhì)②°。=1,即時(shí)x=0,尸1,圖象都經(jīng)過(guò)(0，1)點(diǎn)

③a』，即x=l時(shí)，N等于底數(shù)。

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤x<0時(shí)，ax>1;%>0時(shí)，0<ax<1x<0時(shí)，0<罐<1；%>0時(shí)，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

九、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算

1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果優(yōu)=N(a>0且。*1),那么數(shù)x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log.N,讀

作以。為底N的對(duì)數(shù)，其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見對(duì)數(shù)：

①一般對(duì)數(shù)：以。(。>0且為底，記為log〉讀作以。為底N的對(duì)數(shù);

②常用對(duì)數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對(duì)數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①log：=0；log：=l；其中。>0且awl；

②0叫,=雙(其中0>0且awl，N>0)；

③對(duì)數(shù)換底公式：1°8煞=器1；

④log”(MN)=log?M+log”N■

⑤log”空=log“M-log”N；

77

⑥logb"=—log。b(m,He7?)；

m

⑦Z=6和logJ=6；

⑧皿=康；

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=log.x(。>。且叫做對(duì)數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象

a>\0<q<1

lAlrr

\(1,0)…

圖象°Z(i,o)

定義域:(o,+CO)

值域：R

過(guò)定點(diǎn)(1，0),即x=l時(shí)，j=0

性質(zhì)

在(0,+8)上增函數(shù)在(0,+到上是減函數(shù)

當(dāng)0vx<l時(shí)，y<0,當(dāng)時(shí)，當(dāng)0<xvl時(shí)，歹〉0,當(dāng)N之1時(shí)，

y>0

十、函數(shù)與方程

1、函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)7=f(x),我們把使〃x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)了=的零點(diǎn).

2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=的圖像與x軸有公共點(diǎn)o函數(shù)y=〃x)有零點(diǎn).

3、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù))=/(x)在區(qū)間［a,6］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有那么函數(shù)>=/(%)

在區(qū)間(見6)內(nèi)有零點(diǎn),即存在ce(a,6),使得〃c)=0,c也就是方程=0的根.

4、二分法

對(duì)于區(qū)間［凡用上連續(xù)不斷且〃。/伍)<0的函數(shù)〃x),通過(guò)不斷地把函數(shù)/(x)的零點(diǎn)

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程

/(x)=0的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

5、用二分法求函數(shù)/(x)零點(diǎn)近似值的步驟

(1)確定區(qū)間可,驗(yàn)證/(b)<0,給定精度￡.

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)

(3)計(jì)算〃xj.若/(網(wǎng))=0,則不就是函數(shù)〃X)的零點(diǎn)；若/⑷?〃再)<0,則令6=天(此時(shí)零點(diǎn)

xoe(a,Xj)).^/(Z?)-/(X］)<O,則令a=西(此時(shí)零點(diǎn)x。e(%,6))

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡,即若卜-N<￡,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為。(或6)；否則重復(fù)第(2)—(4)

步.

用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.

【函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論】

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)乙是〃x)定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且再<%;

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)

間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若/(x)是增函數(shù)，則"(x)為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則-為增函數(shù)；

②若/(X)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(X)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函數(shù)；

③若〃x)>0且/(x)為增函數(shù)，則函數(shù)而為增函數(shù)，,為減函數(shù)；

“X)

④若/(x)>0且/(X)為減函數(shù)，則函數(shù)J/(x)為減函數(shù),——為增函數(shù).

/(X)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(x)是偶函數(shù)O函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱；

函數(shù)/(x)是奇函數(shù)O函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

(3)若奇函數(shù)y=〃x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足/(x)=/(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)

區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(%)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)〃x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記

g(x)=1[/(x)+/(-x)]，A(x)=1[/(x)-/(-%)]，則/(x)=g(x)+A(x).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù),

如/(X)+g(x),/(x)-g(x),/(x)xg(x),/(x)+g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶=非奇非偶；

奇X")奇=偶；奇x(+)偶=奇；偶x(+)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)〃刈=掰(3)(/0)或函數(shù)/團(tuán)=掰(以1).

aa+\

②函數(shù)/(x)=±(ax'-ax).

③函數(shù)〃x)=log“=10g(1+或函數(shù)/(x)=log=log“(1一-—)

x-mlix-mflx+mx+m

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)小i+看人。)或函數(shù)

偶函數(shù)：①函數(shù)/(工)=±(/+°7).

②函數(shù)〃%)=1。&(。'"+1)-當(dāng)?

③函數(shù)/(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xwR)周期

/(x+7)=/(x)T

/(x+r)=-/(x)2T

〃x+T)=I；/(x+T)=-1

IT

/(x)/(x)

/(x+T)=/(x-r)2T

f(x+T)-T)4T

1/(a+x)=/("x)

2(6-〃)

[f(b+x)=f(b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

1/(x)為偶函數(shù)2a

[f(a+x)=-f{a-x)

2(6-Q)

f(b+x)=-f(b-x)

[f(a+x)=-f(a-x)

2a

〃x)為奇函數(shù)

7(a+x)=/(a-x)

4(6-〃)

f(b+x)=-f(b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

[/(x)為奇函數(shù)4Q

[f(a+x)=-f(a-x)

4Q

/(x)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=〃x)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且T=2(6-〃)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(b,c)(a<b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2(6-a);

(3)若函數(shù)y=〃x)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心(6,0)(。<6)，則函數(shù)y="X)是周期函數(shù)，且

T=4(%-a).

5、對(duì)稱性技巧

(1)若函數(shù)歹=/(%)關(guān)于直線％=a對(duì)稱，則f(a+x)=f(a-x).

(2)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，則f{a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函數(shù)y=/(。+%)與、=/(a-x)關(guān)于V軸對(duì)稱，函數(shù)y=/(a+%)與y=關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）若〃x）=」^sinx為偶函數(shù)，貝!|“=（）

1+e

A.1B.0C.-1D.2

2.（2024?湖南邵陽(yáng)?三模）是“函數(shù)=（。>0且。片1）在R上單調(diào)遞減”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）地震震級(jí)通常是用來(lái)衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯?

里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為/=1&4-1四，其中M表示某地地震的里氏震級(jí)，A

表示該地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅，4表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中,

某地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,則該地這次地震

的里氏震級(jí)約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2”0.3）

A.6.3級(jí)B.6.4級(jí)C.7.4級(jí)D.7.6級(jí)

4.（2024?河北?二模）已知函數(shù)y=/（x-l）為奇函數(shù)，則函數(shù)>=/（x）+l的圖象（）

A.關(guān)于點(diǎn)（U）對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)（1,-1）對(duì)稱

C.關(guān)于點(diǎn)（-U）對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

x-lax,x>1

5.（2024?陜西渭南?二模）已知函數(shù)〃x）=a,,是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

—x-l,x<1

12

A.（0,1）B.嗚C.（0,1）D.（0,1]

6.（2024?湖北?二模）已知函數(shù)/（x）=log5（優(yōu)-2）在[1,+⑹上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.（1,+<?）B.[In2,+oo）C.（2,+co）D.[2,+co）

2X

7.（2024?寧夏銀川?三模）已知函數(shù)/（x）=￥、，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.函數(shù)單調(diào)遞增B.函數(shù)值域?yàn)椋?,2）

C.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于（0,1）對(duì)稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于（U）對(duì)稱

8.（2023?遼寧葫蘆島?二模）已知函數(shù)/（x）=/-x+l,則（）

A./（x）有一個(gè)極值點(diǎn)

B./（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)（0,1）是曲線>=/（x）的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

9.(2024?寧夏銀川?三模)已知函數(shù)/(6=丁-7/+14%-.有3個(gè)零點(diǎn)為，X2,x3(x,<x2<x3),有以下

四種說(shuō)法：

①占>0

②》3<4

③存在實(shí)數(shù)Q，使得不，X2,七成等差數(shù)列

④存在實(shí)數(shù)Q，使得不，X?,七成等比數(shù)列

則其中正確的說(shuō)法有()種.

A.1B.2C.3D.4

(。-1丫--,X<1

4(。的值域?yàn)?。?則。的取值范

10.(2024?河北保定?三模)已知/(x)h>1)Zc[-,+oo),

a

XH-----1,X>1

、X

圍是()

35537

A.[-,2]B.C.[-,2)D.[-,2]

11.(2024?河南?三模)設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,.n=〃x-l)+l為奇函數(shù)，y=/(》-2)為偶函數(shù)，若

“2024)=1,則〃-2)=()

A.1B.-1C.0D.-3

12.(2024?四川三模)己知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間[T。]上單調(diào)遞增，且滿足〃4-x)=/(x),

=則()

A.￡/■㈤=0B./(0.9)+/(1.2)>0C./(2.5)>/(log280)D./(sinl)</fln^

k=\\)

13.(2024?四川?三模)定義在R上的函數(shù)>=/(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且函數(shù)

y=g(2x-i)+i為奇函數(shù)，則函數(shù)了=/(無(wú))圖象的對(duì)稱中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

二、多選題

14.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'。)=X3+蘇+bx+c下列結(jié)論中正確的是()

A.若/'(x0)=0,則%是/(x)的極值點(diǎn)

B.3x0eR,使得/(%)=0

C.若%是/(x)的極小值點(diǎn)，則/(x)在區(qū)間(-8,%)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)了=/(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

15.(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))笳，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子

組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生尸衰變，其半衰期是12.43年.樣本中笳的質(zhì)量N隨時(shí)間”單位:年)的衰變規(guī)律

滿足N=N0-2一瑪，其中乂表示氤原有的質(zhì)量，貝|()(參考數(shù)據(jù):lg220.301)

N

A.Z=12.43log2—

B.經(jīng)過(guò)24.86年后，樣本中的次元素會(huì)全部消失

C.經(jīng)過(guò)62.15年后，樣本中的能元素變?yōu)樵瓉?lái)的《

D.若x年后，樣本中氤元素的含量為0.4N。，貝隈>16

16.(2024?福建廈門?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃x+y)=竽+孚，且/⑴=1,貝U

()

A./(0)=0B./(-l)=e2

C.e"(x)為奇函數(shù)D./(x)在(0,+⑹上具有單調(diào)性

17.(2024?江西南昌?三模)已知函數(shù)/(x)=加+次+cx+d(aR0),若y=|/(x)-21的圖象關(guān)于直線x=1

對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是()

A.>="(工)|的圖象也關(guān)于直線》=1對(duì)稱8.V=/(x)的圖象關(guān)于(1,2)中心對(duì)稱

C.a+b+c+d=2D.3。+6=0

18.(2024?浙江紹興?二模)已知定義在R上的函數(shù)/'(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足

/(4-x)=/(x),/(2—x)=—/(x),貝ij()

10

A.￡〃左)=0B./(0.9)+/(1.2)<0

k=l

c./(2.5)>/(log280)D./(sinl)</^ln1^|

19.(2024?湖北?二模)我們知道，函數(shù)V=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=〃x)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。,6)成中心對(duì)稱圖形的充要

4

條件是函數(shù)y=/(x+a)-6為奇函數(shù).已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有()

A.函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0,2]

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)稱圖形

C.函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱

D.若函數(shù)g(x)滿足〉=g(x+l)-l為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)A》)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為

2024

4(%，K)(i=1,2,…,2024),則Z(%+%)=4048

Z=1

20.(2024?湖北荊州?三模)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+jO+Ax-yh/amy),"1)=1,

則()

A./(O)=2B.〃無(wú))關(guān)于(3,0)中心對(duì)稱

C./(x)是周期函數(shù)D.7(x)的解析式可能為/(xHZcosgx

21.(2024?江蘇宿遷?三模)已知定義在R上不為常數(shù)的函數(shù)/⑸滿足/(2x)+/(x+y)/(x-y)=0,則

()

A./(0)=-1B.，3)=[/⑴FC./(%)/(-%)=2D./?+/(-%)<-2

22.(2024?湖南衡陽(yáng)?三模)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,若函數(shù)g(x+D-1是奇函數(shù)，函數(shù)“x+D

是偶函數(shù)，/(3)=1,且”x)-g(l+x)=2.則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x)圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱

B.函數(shù)g(x)為偶函數(shù)

C.4是函數(shù)g(x)的一個(gè)周期

36

D.(后)=36

k=\

23.(2024?河北邢臺(tái)一模)已知函數(shù)〃尤)和函數(shù)g(x)的定義域均為R,若/'(2x-2)的圖象關(guān)于直線》=1

對(duì)稱，g(x)=/(x+l)+x—l,g(x+l)+/(-x)=x+2,且/⑼=0,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)為偶函數(shù)

B.g(x+4)=g(x)

C.若〃x)在區(qū)間(0,1)上的解析式為/(x)=log2(x+l),則〃x)在區(qū)間(2,3)上的解析式為

/(x)=l-log2(x-l)

20

D.￡g(0=210

i=\

專題05函數(shù)的概念與性質(zhì)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)函數(shù)的考查，重點(diǎn)是函數(shù)的單2023?新高考I卷,4

調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性，需要森、指、對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2023?新高考I卷,10

關(guān)注周期性、對(duì)稱性、奇偶性結(jié)合在一2023?新高考n卷,4

起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相2022?新高考I卷，12

結(jié)合進(jìn)行考查。2023?新高考I卷,11

抽象函數(shù)的性質(zhì)

2.高考對(duì)函數(shù)的考查重點(diǎn)關(guān)注以基本初2024?新高考I卷,8

等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)2022?新高考n卷，8

為載體，對(duì)函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查，函數(shù)與不等式結(jié)合2024?新高考n卷，8

考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示2024?新高考I卷，6

方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024?新高考I卷，10

周期性）、圖像等。2024?新高考II卷，11

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。II

卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的。總體來(lái)說(shuō)函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情景

為主，備考應(yīng)以常見的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難

題，而且常考常新。函數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、賽函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和

性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本

質(zhì)，會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí)，指對(duì)運(yùn)算也是?？疾榈闹R(shí)

點(diǎn)，考生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。

（2）函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問(wèn)題是函數(shù)專題的重點(diǎn)考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用,

注重?cái)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點(diǎn)作好準(zhǔn)備工作。

試題精講

一、單選題

—x2—2ax—a.x<0

I.(2024新高考I卷-6)己知函數(shù)為〃x)=,,八，在R上單調(diào)遞增，則.取值的范圍是

[e+ln(^+l),x>0

()

A.(-?,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因?yàn)?(%)在R上單調(diào)遞增，且x20時(shí)，/(x)=e'+ln(x+l)單調(diào)遞增，

-一^—>0

則需滿足2x(7),解得TWaWO,

-a<e°+In1

即a的范圍是

故選：B.

2.(2024新高考I卷—8)已知函數(shù)為/⑴的定義域?yàn)镽,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時(shí)/'(x)=x,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得到/(1)=1,”2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)〃x)=x,所以〃1)=1,〃2)=2,

又因?yàn)?(x)>〃x-l)+〃x-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(II)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,7(13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知"20)>1000,則B正確；

且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

3.(2024新高考I倦-8)設(shè)函數(shù)〃尤)=(尤+a)ln(x+6),若/(x)20,則/+/的最小值為()

D.1

【答案】C

【分析】解法一：由題意可知：/(X)的定義域?yàn)?-6,+"),分類討論-。與-a1-6的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分

析判斷，即可得6=a+l,代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+6)的符號(hào)，進(jìn)而可得x+a

的符號(hào)，即可得b=a+1,代入可得最值.

【詳解】解法一：由題意可知：/(?的定義域?yàn)?-A+8),

令x+a=O解得x=-a；令ln(x+6)=0解得x=l-6；

若-aW-b,當(dāng)xe(-6,l-6)時(shí)，可知x+a>0,ln(x+6)<0,

此時(shí)〃x)<0,不合題意；

若一b<-a<l-b,當(dāng)xe(-a,l-b)時(shí)，可知x+a>O,ln(x+b)<0,

此時(shí)〃x)<0,不合題意；

若-a=l-6,當(dāng)》€(wěn)(-6,1-6)時(shí)，可知x+a<0[n(x+6)<0,此時(shí)/(x)>0；

當(dāng)xe[l-6,+co)時(shí)，可知x+aN0,ln(x+6)N0,此時(shí)/(x)20；

可知若-a=1-6,符合題意；

若一a>l-6,當(dāng)xe(l-b,-a)時(shí)，可知x+a(0,ln(x+6》0,

此時(shí)〃x)<0,不合題意；

綜上所述：-a=l-b,即6=<2+1,

貝！]/+/="+(〃+1)2=21+工1+，2!，當(dāng)且僅當(dāng)a=-1,6=]時(shí)，等號(hào)成立