《工程力學(xué)》課件第10章

第10章組合變形

10.1概述10.2拉伸（或壓縮）與彎曲組合10.3扭轉(zhuǎn)與彎曲組合10.1概述在實(shí)際工程中，桿件的受力變形情況種類很多，有不少桿件同時(shí)產(chǎn)生兩種或兩種以上基本變形。例如，圖10.1為工程中常見(jiàn)的鉆桿簡(jiǎn)圖，鉆桿受扭矩作用，同時(shí)鉆桿的自重沿軸向產(chǎn)生作用，所以鉆桿的變形既有軸向變形，又有扭轉(zhuǎn)變形。又如，圖10.2是機(jī)械設(shè)備中的傳動(dòng)軸，傳動(dòng)輪上的作用力使軸既產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，又有彎曲變形。這類由兩種或兩種以上基本變形組合的情況，稱為組合變形。本章主要介紹工程中常見(jiàn)的拉伸(或壓縮)與彎曲組合變形及彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形問(wèn)題。圖10.1圖10.2分析組合變形構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形問(wèn)題時(shí)，如果內(nèi)力、應(yīng)力和變形等與外力成線性關(guān)系，則在小變形條件下，可以應(yīng)用疊加原理。即先將外力進(jìn)行分解或簡(jiǎn)化，使簡(jiǎn)化后的每一種載荷只對(duì)應(yīng)著一種基本變形，再分別計(jì)算每一種基本變形下產(chǎn)生的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，然后將所得結(jié)果疊加，便可得到組合變形構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，其結(jié)果與各力的加載次序無(wú)關(guān)，這就是疊加原理。10.2拉伸(或壓縮)與彎曲組合

1.橫向載荷和軸向載荷共同作用如果桿件上既有垂直于軸線的橫向載荷，又有和軸線重合的軸向載荷，則桿將發(fā)生軸向拉伸(或軸向壓縮)與彎曲的組合變形，簡(jiǎn)稱為拉伸(或壓縮)與彎曲的組合變形。圖10.3所示為在橫向載荷和軸向載荷共同作用下的構(gòu)件，現(xiàn)以此為例說(shuō)明軸向拉伸(或壓縮)與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算方法。圖10.3

1)內(nèi)力分析拉伸(或壓縮)與彎曲組合的桿件，任意橫截面上的內(nèi)力有軸力FN(x)、剪力Fs(x)和彎矩Mz(x)，利用截面法(如圖10.4(a)所示)可以求得：FN(x)=F2Fs(x)=F1Mz(x)=F1×(l－x)圖10.4

2)應(yīng)力分析與軸力FN(x)對(duì)應(yīng)的拉伸正應(yīng)力為與彎矩Mz(x)對(duì)應(yīng)的彎曲正應(yīng)力為與剪力對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力忽略不計(jì)。將以上兩項(xiàng)正應(yīng)力疊加后，得到橫截面上任意點(diǎn)的總應(yīng)力為(10.1)式中A為橫截面面積，Iz為截面對(duì)z軸的慣性矩。

3)強(qiáng)度條件疊加后的正應(yīng)力分布如圖10.4(b)所示。顯然，危險(xiǎn)截面在固定端截面，最大拉應(yīng)力發(fā)生在固定端上邊緣各點(diǎn)，最大壓應(yīng)力發(fā)生在固定端下邊緣各點(diǎn)(當(dāng)σ′>σ″時(shí)，橫截面上將沒(méi)有壓應(yīng)力)。如果材料的拉、壓強(qiáng)度不相等，則這些點(diǎn)就都是危險(xiǎn)點(diǎn)，并且都是單向應(yīng)力狀態(tài)，可分別建立強(qiáng)度條件：σtmax≤［σt］σcmax≤［σc］如果材料的拉、壓強(qiáng)度相等，則這些點(diǎn)中應(yīng)力絕對(duì)值最大的點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)，強(qiáng)度條件為|σmax|<［σ］(10.3)(10.2)

【例10.1】由BC梁和BD桿構(gòu)成的起重架如圖10.5(a)所示。BC為20a號(hào)工字鋼梁，長(zhǎng)度l=2.8m，許用應(yīng)力[σ]=140MPa，作用在BC梁中點(diǎn)的載荷F=40kN。試校核BC梁的強(qiáng)度。圖10.5

解

BC梁的受力圖如圖10.5(b)所示。設(shè)BD桿的拉力為FB，由力矩平衡方程∑MC=0，得FB×2.8×sin30°－40×1.4=0FB=40kN把FB分解為沿BC梁軸線的分量FBx和垂直于BC梁軸線的分量FBy:FBx=FBcos30°=34.6kNFBy=FBsin30°=20.0kN顯然BC梁是軸向壓縮與彎曲的組合變形。作BC梁的彎矩圖和軸力圖，如圖10.5(c)、(d)所示。從圖中可以看出，在BC梁的中間J截面上的彎矩為最大值，而各截面的軸力相同，故J截面為危險(xiǎn)截面。查型鋼表，20a號(hào)工字鋼的抗彎截面系數(shù)W＝237cm3，橫截面面積A=35.5cm2。在軸力及彎矩的共同作用下，在危險(xiǎn)截面J的上邊緣各點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)，其最大壓應(yīng)力為故BC梁滿足強(qiáng)度條件。

2.偏心載荷作用與桿的軸線平行但不重合的載荷稱為偏心載荷。由偏心載荷引起的變形稱為偏心拉伸或偏心壓縮。這實(shí)際是軸向拉伸(或軸向壓縮)與彎曲的組合變形?，F(xiàn)以矩形截面直桿為例，討論偏心拉壓?jiǎn)栴}。圖10.6(a)所示立柱，集中力F和軸線平行但是不重合，作用點(diǎn)J處坐標(biāo)為(yF，zF)，作用點(diǎn)距形心主軸y、z的垂直距離分別用ey、ez表示，稱為偏心距。若將力F向截面形心簡(jiǎn)化，可以得到等效力系：軸向力F及F對(duì)y、z軸的附加力偶矩Mey、Mez(圖10.6(b))。由此產(chǎn)生的內(nèi)力有軸力FN、彎矩My和彎矩Mz，數(shù)值分別為:FN=－FMy=Mey=F·e==F·zFMz=Mez=F·ey=F·yF圖10.6由偏心載荷引起的桿件各橫截面上的內(nèi)力是相同的，與內(nèi)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力可以分別按基本變形應(yīng)力計(jì)算公式求得:根據(jù)疊加原理，可得任意橫截面上任一點(diǎn)K(y、z)處的正應(yīng)力為(10.4)式中，iy、iz分別為截面對(duì)y、z軸的慣性半徑。為了確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，先要確定中性軸的位置。由中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力均為零的特點(diǎn)，可得中性軸方程為(10.5)可見(jiàn)，中性軸是一條不過(guò)截面形心的直線，它可能位于截面之內(nèi)，也可能位于截面之外，或與截面周邊相切，這取決于疊加后截面上正應(yīng)力的分布情況。偏心壓縮(或拉伸)桿任一橫截面均為危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)點(diǎn)位于距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處。對(duì)矩形截面，不難看出，任一橫截面的危險(xiǎn)點(diǎn)為圖10.6(b)中相應(yīng)的A點(diǎn)和C點(diǎn)位置，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)。其強(qiáng)度條件為：(10.6)(10.7)

【例10.2】圖10.7(a)是由鑄鐵制成的壓力機(jī)框架簡(jiǎn)圖，等直段AB的橫截面尺寸如圖10.7(b)所示，形心主軸y距左邊線的距離為z1=108.3mm，截面對(duì)y軸的慣性矩Iy=255×106mm4。材料的許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=80MPa。試校核框架AB

段的強(qiáng)度。圖10.7

解(1)受力分析。載荷F對(duì)AB段來(lái)講是偏心載荷，偏心距為e，則附加力偶矩Mey=F·e=F(400+z1)沿任意位置的1—1截面截開(kāi)機(jī)架,得分離體如圖10.7(c)所示。由分離體平衡條件得該截面的軸力和彎矩分別為：

FN=F=40kNMy=Mey=F(400+z1)=40×103×(400+108.3)×10－3=20.33kN·m由此可見(jiàn)，AB段屬于軸向拉伸與彎曲的組合變形。(2)應(yīng)力分析。

AB段橫截面面積為A=50×250+200×25+100×50=22500mm2

由公式(10.6)和(10.7)得，橫截面最大拉應(yīng)力為橫截面最大壓應(yīng)力為因此，框架AB段滿足強(qiáng)度條件。

【例10.3】受壓板寬度b=8mm，厚度t=10mm，上邊緣有一切槽如圖10.8所示；槽深a=20mm,F=40kN，板材料的許用應(yīng)力[σ]=150MPa。試校核板的強(qiáng)度。圖10.8

解(1)受力分析。由于板有切槽，外力F對(duì)切槽部分為偏心載荷，將產(chǎn)生偏心壓縮，偏心距e為將力F向切槽截面形心簡(jiǎn)化,得該截面上的軸力FN和彎矩Mz為FN=－F=－40kNMz=Fe=40×103×10×10－3=400N·m

(2)應(yīng)力分析，強(qiáng)度校核。在切槽橫截面上，與軸力FN對(duì)應(yīng)的是均勻分布的壓應(yīng)力，與彎矩Mz對(duì)應(yīng)的最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力分別位于切槽截面的上、下邊緣各點(diǎn)。故危險(xiǎn)點(diǎn)在切槽截面上層邊緣各點(diǎn)。切槽段橫截面面積為A=t(b－a)=10×(80－20)=600mm2抗彎截面系數(shù)為將已知數(shù)據(jù)代入強(qiáng)度條件，得危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力為故壓板滿足強(qiáng)度條件。從以上兩例可以看出，偏心拉、壓中的偏心距越大，彎曲應(yīng)力所占比例就越高。因此,要提高偏心拉、壓桿件的強(qiáng)度，就應(yīng)盡可能減小偏心距或盡量避免偏心受載。對(duì)圖10.9中的三組承載構(gòu)件，(a)圖都有明顯的偏心拉伸區(qū)段，而(b)圖則較為合理。圖10.910.3扭轉(zhuǎn)與彎曲組合桿件在扭轉(zhuǎn)外力偶矩和橫向力共同作用時(shí)，將產(chǎn)生彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形?，F(xiàn)以圖10.10(a)所示曲拐為例，介紹彎曲與扭轉(zhuǎn)組合時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算方法。設(shè)AB為圓截面桿，直徑為d，BC桿與AB桿成直角，C點(diǎn)作用鉛垂力F。將F向AB桿B端截面形心簡(jiǎn)化，得到橫向力F和附加力偶矩Me(圖10.10(b))。橫向力F使軸產(chǎn)生彎曲變形，扭轉(zhuǎn)力偶矩Me使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。所以，AB

桿為彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。圖10.10

AB桿的彎矩圖和扭矩圖如圖10.10(c)、(d)所示，由圖可知，固定端A截面為危險(xiǎn)截面。A截面的彎矩和扭矩分別為：

M=Fl

T=Me=Fa

A截面的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力的分布圖如圖10.11(a)所示。顯然，危險(xiǎn)點(diǎn)為截面鉛垂直徑兩端的i點(diǎn)和j點(diǎn)，其單元體分別如圖10.11(b)、(c)所示。由應(yīng)力計(jì)算公式得i

點(diǎn)的正應(yīng)力與切應(yīng)力為(a)式中，分別是圓軸的抗彎截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)。危險(xiǎn)點(diǎn)i和j都處于平面應(yīng)力狀態(tài)，由式(9.4)得主應(yīng)力為(b)圖10.11對(duì)塑性材料，可按第三或第四強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。若按第三強(qiáng)度理論分析，則強(qiáng)度條件為σr3=σ1－σ3≤［σ］將(b)式代入上式，得(10.8)將(a)式中的σ和τ代入上式，并注意到圓截面的Wt=2W，于是得出圓截面桿彎扭組合變形下的第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為(10.9)若按第四強(qiáng)度理論，其強(qiáng)度條件為以(b)式代入上式，經(jīng)簡(jiǎn)化后得(10.10)將(a)式代入上式，得到圓截面桿彎扭組合變形下的第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為(10.11)上述強(qiáng)度條件中的(10.8)和(10.10)兩式,適用于圖10.11(b)、(c)所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，其中的σ和τ可正可負(fù)，并且不用考慮是由何種變形引起的；而(10.9)和(10.11)兩式則僅適用于彎扭組合下的圓形截面桿件。

【例10.4】一皮帶輪軸如圖10.12(a)所示。皮帶拉力F1=8kN，F(xiàn)2=4kN，皮帶輪直徑D=500mm，a=500mm，軸材料的許用應(yīng)力［σ］=80MPa。試按最大切應(yīng)力理論確定軸的直徑。

解(1)受力分析。將皮帶輪上的拉力向AB軸的截面形心平移，可得軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖10.12(b)，C

截面處的扭轉(zhuǎn)力偶矩與右端的扭轉(zhuǎn)外力偶矩相等，即mC=me，數(shù)值為軸在橫向力和扭轉(zhuǎn)外力偶矩的共同作用下，將發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。圖10.12

(2)分析內(nèi)力，確定危險(xiǎn)截面。軸的扭矩圖和彎矩圖如圖10.12(c)、(d)所示。顯然危險(xiǎn)截面為C截面，該截面的扭矩和彎矩分別為：TC=me=1kN·m

(3)強(qiáng)度計(jì)算。

AB桿為彎扭組合下的圓截面桿件，可以直接使用第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件(10.9)式：將代入上式，得因此，軸的直徑可取d=74mm。

【例10.5】砂輪軸如圖10.13(a)所示。B輪直徑D1=400