試卷解析：廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研測(cè)試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則的子集個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】求出，利用子集的個(gè)數(shù)公式求解即可.【詳解】令，解得或，故，則的子集個(gè)數(shù)是個(gè).故選：D2.已知，則“”是“”的（）A充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得.【詳解】由函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故“”是“”的充要條件.故選：B.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合零點(diǎn)定理即可得出零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間.【詳解】由題意，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，，，，，∴零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是,故選：D.4.函數(shù)的部分圖象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】使用排除法，由奇偶性可排除B、D，由時(shí)，可排除C.【詳解】，又定義域?yàn)?，故函?shù)為偶函數(shù)，可排除B、D，當(dāng)時(shí)，，故可排除C.故選：D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得到，求出點(diǎn)在第三象限，得到AB錯(cuò)誤；并結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到，由余弦函數(shù)單調(diào)性得到.【詳解】因?yàn)?，，故點(diǎn)在第三象限，故，，AB錯(cuò)誤；，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故，，所以，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D6.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)后，解方程可得，由同角三角函數(shù)與角所在象限計(jì)算即可得.【詳解】，即，即，故或，由，故需舍去，即，又，故，則.故選：A.7.在當(dāng)今這個(gè)時(shí)代，的研究方興未艾．有消息稱，未來(lái)通訊的速率有望達(dá)到，香農(nóng)公式是通信理論中的重要公式，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S和信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的的大?。渲薪凶鲂旁氡龋舨桓淖儙扺，而將信噪比從3提升到99，則最大信息傳遞率C大約會(huì)提升到原來(lái)的（）（參考數(shù)據(jù)）A.倍B.倍C.倍D.倍【答案】B【解析】【分析】將及代入計(jì)算對(duì)應(yīng)的，再計(jì)算比例即可得.【詳解】，，則.故選：B.8.若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，，所?故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若集合，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，根據(jù)補(bǔ)集的概念可得與，根據(jù)集合間的關(guān)系以及集合的運(yùn)算法則，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】解一元二次不等式，得，所以；，由于，結(jié)合補(bǔ)集的定義，顯然，選項(xiàng)A不正確；同時(shí)可得，選項(xiàng)B正確；由于，且，可得，選項(xiàng)C正確；由于，且，可得，選項(xiàng)D正確；故選：BCD.10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，使，則下列函數(shù)中符合條件的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)特值以及基本不等式判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意得，故D選項(xiàng)不符合題意.故選：AC.11.如圖，一個(gè)半徑為的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間：（單位：s）之間的關(guān)系為下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.【詳解】由題意，一個(gè)半徑為的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，所以振幅且，可得，所以A、B正確；又由筒車的軸心O距離水面的高度為，可得，所以D錯(cuò)誤；根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，即，可得，所以C正確.A故選：ABC.12.已知函數(shù)，則（）A.B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，結(jié)合函數(shù)的圖象以及該函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和單調(diào)性依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由于，所以，即，如圖所示：對(duì)于選項(xiàng)A，，，不滿足，選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，結(jié)合圖象，的最小正周期為，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，由于，，的最大值為，選項(xiàng)D不正確；故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分．共20分.13.命題“”的否定是_________．【答案】“”【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即得.【詳解】命題“”的否定是“”.故答案為：“”.14.已知，則_________．【答案】##【解析】【分析】化簡(jiǎn)式子，結(jié)合已知條件即可求出的值.【詳解】由題意，，∴，，故答案為：.15.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，，則函數(shù)的值域是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，得到，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的值域，得到答案.【詳解】由函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，則，可得，因?yàn)?，可得，所以函?shù)的值域是.故答案為：.16.如圖，要在一塊半徑為6．圓心角為的扇形鐵皮POQ中截取兩塊矩形鐵皮ABCD和EFGC，使點(diǎn)A在弧PQ上，點(diǎn)B在半徑OQ上，邊CD與邊GC在半徑OP上，且點(diǎn)F為線段OB的中點(diǎn)．設(shè)，兩塊矩形鐵皮的面積之和為S，則S的最大值為_________，此時(shí)_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】根據(jù)題意，得到矩形的面積為，矩形的面積為，進(jìn)而化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，以及基本關(guān)系式和正切的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意知，一塊半徑為6，圓心角為的扇形鐵皮，可得且，在直角中，，所以，所以，所以矩形的面積為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以矩形的面積為，所以兩塊矩形鐵皮的面積之和為：，其中，且，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，即，所以，因?yàn)?，所以，即，解得或（不合題意，舍去），綜上可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：9；【點(diǎn)睛】知識(shí)方法點(diǎn)撥：求解三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的處理策略：1.若已知三角函數(shù)模型，根據(jù)給定的三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解自變量的意義，以及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2、把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵在于正確理解題意，合理建模.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）求不等式的解集．【答案】17.18.或【解析】【分析】（1）借助基本不等式即可得；（2）解一元二次不等式即可得【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最大值為；【小問(wèn)2詳解】，，即，解得或，又，故或，即不等式的解集為或.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由輔助角公式化簡(jiǎn)后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得；（2）由題意結(jié)合象限可得、，借助二倍角公式即可得的值.【小問(wèn)1詳解】，則，即函數(shù)的最小正周期為；【小問(wèn)2詳解】，故，又，故，.19.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．【答案】（1）為奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出定義域，計(jì)算出，得到答案；（2）利用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取點(diǎn)，作差，判號(hào)，下結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù)，理由如下：定義域?yàn)镽，又，故為奇函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，且，則，因?yàn)?，且，所以，?dāng)時(shí)，，即，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，故單調(diào)遞增，20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）借助三角恒等變換公式將化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)后結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得；（2）平移后得到的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，令，則，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，且最小值為.即在區(qū)間上的最小值為.21.某地建設(shè)了一個(gè)文化館，該文化館對(duì)外開放后第1年參觀人數(shù)為12萬(wàn)人，第2年參觀人數(shù)為14萬(wàn)人．某課外興趣小組綜合各種因素進(jìn)行預(yù)測(cè)：①該文化館每年的參觀人數(shù)會(huì)逐年增加；②該文化館每年參觀人數(shù)都不超過(guò)16萬(wàn)人．該興趣小組想找一個(gè)函數(shù)來(lái)擬合該文化館對(duì)外開放后第年與當(dāng)年參觀人數(shù)y（單位：萬(wàn)人）之間的關(guān)系．（1）若選函數(shù)，試確定的值，并判斷該函數(shù)是否符合預(yù)測(cè)①與預(yù)測(cè)②；（2）若選函數(shù)，要使得該函數(shù)同時(shí)符合預(yù)測(cè)①與預(yù)測(cè)②，試確定的取值范圍．【答案】（1），函數(shù)符合預(yù)測(cè)①與預(yù)測(cè)②，證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）分別將“第1年參觀人數(shù)為12萬(wàn)人，第2年參觀人數(shù)為14萬(wàn)人”代入解析式，可求得的值，進(jìn)而判斷函數(shù)是否符合預(yù)測(cè)①與預(yù)測(cè)②即可；（2）同樣把“第1年參觀人數(shù)為12萬(wàn)人，第2年參觀人數(shù)為14萬(wàn)人”代入解析式，可求得，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分兩種情況判斷函數(shù)是否符合預(yù)測(cè)①與預(yù)測(cè)②，進(jìn)而求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由于函數(shù)，第1年參觀人數(shù)為12萬(wàn)人，即；第2年參觀人數(shù)為14萬(wàn)人，即；聯(lián)立可得：，所以，設(shè)，，且，得，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合預(yù)測(cè)①，同時(shí)，，符合預(yù)測(cè)②；【小問(wèn)2詳解】由于函數(shù)，第1年參觀人數(shù)為12萬(wàn)人，即；第2年參觀人數(shù)為14萬(wàn)人，即；聯(lián)立可得：，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若符合預(yù)測(cè)①，則或，當(dāng)時(shí)，，符合預(yù)測(cè)①，此時(shí)，，，，再符合預(yù)測(cè)②，只需即可，由，且，得：；當(dāng)時(shí)，，符合預(yù)測(cè)①，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同時(shí)，，解方程，可得，其中，，，即當(dāng)時(shí)，，不符合預(yù)測(cè)②；綜上所述，的取值范圍是：.22.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減．（1）求證：；（2）求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．【答案】22.證明見(jiàn)解析23.24.【解析】【分析】（1）借助賦值法令即可得；（2）借助賦值法可得為周期為的周期函數(shù)、并可計(jì)算出、、、，結(jié)合周期性即可得.（3）借助賦值法令，可將原不等式轉(zhuǎn)化為，解出可得的