試卷解析：廣東省廣州市鐵X中學(xué)、廣州外X語(yǔ)學(xué)校、廣X附中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年上學(xué)期期末三校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)命題學(xué)校：廣州XXX學(xué)校命題人：XXX審題人：XXX本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】由可得：，所以，由可得：，所以，故，所以.故選：A.2.若復(fù)數(shù)為方程(，)的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的虛根成共軛復(fù)數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)閮筛楣曹棌?fù)數(shù)，所以另一根為.故選：A.3.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．4.已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】圓的方程可化為，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離，此時(shí)直線與圓相切，故充分性成立；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，所以，故必要性成立，所以“”是“直線與圓相切”的充要條件.故選：C.5.已知球的半徑，平面經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，且與所成的線面角為，則平面截球的面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作于，可得，，結(jié)合球的性質(zhì)求截面圓半徑.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作于，則點(diǎn)為截面圓的圓心，由題意可知：球的半徑，，則，可得截面圓半徑，所以截面圓面積為，故選：D.6.已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)能作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)切線求得，利用的最小值是得出關(guān)于的齊次不等式，從而得出關(guān)于的齊次不等式，得出離心率的范圍．【詳解】如圖，，又，所以，而是圓切線，則，在中，，因此有，從而，而，所以，在雙曲線上，因此，所以，，從而，，即，故選：B．7.若函數(shù)在區(qū)間恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法結(jié)合三角函數(shù)圖象的列出限制條件可得答案.【詳解】令,則等價(jià)于有兩個(gè)根，由于時(shí)，有兩個(gè)根；∴原題等價(jià)于與有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖，則且，所以.故選：B.8.已知點(diǎn)，是拋物線上上不同的兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，且滿足，弦的中點(diǎn)到直線的距離記為，若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用拋物線定義，將距離轉(zhuǎn)化為，由余弦定理得到，，之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)整理代入不等式，再分離參數(shù)求最值即可.【詳解】拋物線，方程可化為，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，如圖過(guò)作，由拋物線定義可知，，點(diǎn)到直線的距離，在中，，由余弦定理得，由不等式得，設(shè)則由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即取最小值.故要使不等式恒成立，則，則的取值范圍為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.“”是“與的夾角為鈍角”的充要條件D.若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)，利用向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算；B項(xiàng)，利用向量共線的坐標(biāo)條件求解；C項(xiàng)，由共線反向特例可知；D項(xiàng)，結(jié)合數(shù)量積與單位向量表示投影向量即可.【詳解】選項(xiàng)A，若，則，又，則，則，故，A項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，若，則，解得，B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，若，則，其中當(dāng)時(shí)，與共線且反向，此時(shí)與的夾角為鈍角，故與的夾角為鈍角，即“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件，C項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若，則，又，則，則在上的投影向量的坐標(biāo)，故D正確.故選：ABD.10.已知圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值可能取值為（）A.B.C.D.6【答案】BC【解析】【分析】因?yàn)樗械街本€的距離為1的點(diǎn)都在兩條件與已知直線平行的直線上，則可數(shù)形結(jié)合將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與兩條直線有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題.【詳解】圓方程可化為，的圓心，半徑為，則圓心到直線的距離，平面內(nèi)，若點(diǎn)到直線的距離為1，則點(diǎn)在與直線平行且距離為的兩條直線上，如圖，要使圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則兩平行直線與圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，則，解得，即，解得.故選：BC.11.已知10個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)方差為，平均數(shù)；最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，若，則（）A.剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變B.C.剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)大于與原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)D.【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，求出一個(gè)人組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可知；選項(xiàng)B，由平均數(shù)計(jì)算公式分別計(jì)算可得；選項(xiàng)C，利用百分位數(shù)計(jì)算步驟分別求解比較即可；選項(xiàng)D，利用方差公式可證明.【詳解】設(shè)這個(gè)樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為，選項(xiàng)A，這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變，A正確；選項(xiàng)B，由得，由得，由得，故，又，則，所以有，故B正確；選項(xiàng)C，由為整數(shù)，則剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，由不是整數(shù)，則原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，因?yàn)?，則，故兩個(gè)下四分位數(shù)可能相等，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由B知，，則，，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.12.已知是等差數(shù)列前項(xiàng)和，滿足，設(shè)，數(shù)列的前和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.使得成立的最大的值為4044C.D.當(dāng)時(shí)，取得最小值【答案】BCD【解析】【分析】A項(xiàng)，由關(guān)系可得；B項(xiàng)，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及性質(zhì)探究的符號(hào)變化可得；C項(xiàng)，利用由等差數(shù)列性質(zhì)及不等式性質(zhì)可得；選項(xiàng)D，先由數(shù)列各項(xiàng)前負(fù)后正的符號(hào)規(guī)律，確定各項(xiàng)的正負(fù)規(guī)律，可得的最小值在或處取到，再用作差比較法可證明最小.【詳解】選項(xiàng)A，由得，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由得，，又，則，又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以公差，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，且，故使得成立最大的值?044，故B正確；選項(xiàng)C，由等差數(shù)列性質(zhì)知，則，且，所以由不等式性質(zhì)可得，即，故C正確；選項(xiàng)D，由，數(shù)列的前和為，由上已知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；則有；當(dāng)時(shí)，，則有；當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，，則有；故的最小值在或處取到，又，由，且，所以，則，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題的一般方法有以下兩類(lèi)：（1）先求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再通過(guò)的符號(hào)研究數(shù)列的單調(diào)性求最值，或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求解；（2）不求數(shù)列的前項(xiàng)和，通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的符號(hào)變化規(guī)律找到所有的正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng).如：利用條件來(lái)找最大時(shí)可能的項(xiàng)數(shù)，利用條件來(lái)找最小時(shí)可能的項(xiàng)數(shù).需要注意的是，由于首項(xiàng)的特殊性（無(wú)前一項(xiàng)），最值也可能在處就取到.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式并將所求寫(xiě)成齊次式形式，再將弦化為切即可.【詳解】.故答案為：14.若點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為求直線上點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方的最小值，由點(diǎn)到直線距離可得解.【詳解】表示點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，又點(diǎn)在直線上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方的最小值，，即.所以得最小值為.故答案為：.15.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，，都有成立，則________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，即函數(shù)的周期，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，則，又，都有，令，則，即，所以，都有，即，所以，即函數(shù)的周期，則，由，令，可得，所以，則，所以，則.故答案為：016.在正三棱錐中，底面的邊長(zhǎng)為4，E為AD的中點(diǎn)，，則以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】首先證明兩兩垂直，再求出所對(duì)應(yīng)的圓心角，則計(jì)算出其弧長(zhǎng)，即可得到交線長(zhǎng).【詳解】記CD中點(diǎn)為F，作平面BCD，垂足為O，由正三棱錐性質(zhì)可知，O為正三角形BCD的中心，所以O(shè)在BF上，因?yàn)槠矫鍮CD，所以，由正三角形性質(zhì)可知，，又，平面ABO，所以平面ABO，因?yàn)槠矫鍭BO，所以，又平面ACD，所以平面ACD，因?yàn)槠矫鍭CD，所以由正三棱錐性質(zhì)可知，兩兩垂直，且，則，如圖，易知以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線，是以D為圓心，AD為半徑的三段圓弧，則，，則其圓心角分別為，所以其交線長(zhǎng)為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定與性質(zhì)得到兩兩垂直，再求出所對(duì)應(yīng)的三段弧長(zhǎng)即可得到交線長(zhǎng).四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.（1）求第七組的頻率；（2）估計(jì)該校的800名男生的身高的中位數(shù)；（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為，，事件，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)第六組的頻數(shù)求得第六組頻率，再結(jié)合頻率和為，即可求得第七組頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求解方法，即可求出中位數(shù)；（3）根據(jù)事件的定義，結(jié)合古典概型的概率求解方法，列式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】第六組的人數(shù)為4人，故第六組頻率為；故除第七組外的頻率之和為：，故第七組頻率為：.【小問(wèn)2詳解】有圖可得：前3組的頻率之和為：；前組的頻率之和為：；設(shè)中位數(shù)為，則，解的，故該校的800名男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為.【小問(wèn)3詳解】根據(jù)題意可得：第六組有名男生，第八組有名男生；第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，若要滿足，則需抽取的人分別來(lái)自于第六組和第八組，故.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角，結(jié)合向量夾角公式，即可求解點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)面距離的向量法即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谡叫沃校校值酌?，平面，所以，又，平面所以平面，又平面，所以，又，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以有，又，平面，所以平面，又平面，所以；【小問(wèn)2詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸，建系如圖，則,0,,,0,,,0,,，設(shè)點(diǎn),3,，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，由于直線與平面所成角的正切值為，故直線與平面所成角的正弦值為所以直線與平面所成角的正弦值為：，化簡(jiǎn)可得，即，所以或（舍，即點(diǎn),3,，所以，，，所以點(diǎn)到平面的距離．19.記的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.（1）求A；（2）若，是邊上一點(diǎn)，且是的平分線，.求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由三角恒等變換求解；（2）設(shè)，利用由余弦定理求得，從而由正弦定理求得（用表示），再代入余弦定理的結(jié)論中求得值．小問(wèn)1詳解】由正弦定理及已知得，或，又，所以，所以，從而，所以；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，，，又是角平分線，所以，又，則，記，因?yàn)?，所以，所以，，則，由正弦定理得，所以，所以，解得，即．20.已知圓心在直線上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與直線相切的圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)于圓上的任意一點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）使得恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)在圓上以及相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及點(diǎn)點(diǎn)距離公式，求出圓的半徑和圓心，即可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，定點(diǎn)，不同時(shí)為，根據(jù)為常數(shù)），可得，進(jìn)而整理可得，即可得的坐標(biāo)．小問(wèn)1詳解】圓心在直線，故設(shè)圓心為，半徑為，則，解得，所以圓的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，且，即，設(shè)定點(diǎn)，,不同時(shí)為，為常數(shù)）．則,兩邊平方，整理得代入后得恒成立化簡(jiǎn)得所以，解得或(舍去）即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.21.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求.【答案】21.證明見(jiàn)解析22.【解析】【分析】（1）由與之間的關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得結(jié)果；（2）