2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(2)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（2）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)，初步掌握不等式的基本性質(zhì)；2.通過梳理等式基本性質(zhì)中蘊(yùn)含的思想方法，體會運(yùn)算中的不變性在研究不等式中的作用；3.在利用不等式的性質(zhì)證明一些簡單命題的過程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)：兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)及其簡單應(yīng)用；探究不等式的基本性質(zhì)及證明.教學(xué)難點(diǎn)：類比等式的基本性質(zhì)及其思想方法，證明不等式的基本性質(zhì)教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動1分鐘5分鐘2分鐘5分鐘一.確定研究內(nèi)容，明確研究方法二．復(fù)習(xí)等式性質(zhì)，梳理思想方法三．探究不等式的性質(zhì)，體會類比探究方法四．不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用五、課堂小結(jié)、布置作業(yè)導(dǎo)入語：同學(xué)們大家好，通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道現(xiàn)實(shí)世界的大小關(guān)系包括相等關(guān)系和不等關(guān)系兩類，數(shù)學(xué)中用“等式”和“不等式”表達(dá)這兩類關(guān)系。上節(jié)課我們提到解不等式要用不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)到底都有哪些性質(zhì)呢？今天我們一起學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)。既然不等式和等式一樣，都是對大小關(guān)系的刻畫，我們就可以從等式的性質(zhì)及其蘊(yùn)含的思想方法中獲得啟發(fā)，來研究不等式的性質(zhì)。好，我們一起走進(jìn)“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”。問題1：請你回憶一下等式都有哪些性質(zhì)呢？性質(zhì)1：如果a=b,那么b=a．性質(zhì)2：如果a=b,b=c,那么a=c．【師生活動】學(xué)生思考得出，但不太容易。教師講解等式的這兩條性質(zhì)，我們無意識地在使用，但說不出來，因?yàn)樗鼈兲@然了，是相等關(guān)系本身蘊(yùn)含的，是它自身的特性。性質(zhì)3：如果a=b,那么.性質(zhì)4：如果a=b,那么.性質(zhì)5：如果a=b,,那么.【師生活動】這三條性質(zhì)學(xué)生是比較容易得到的。教師講解這3條性質(zhì)是從運(yùn)算角度提出的，即等式兩邊加、減、乘、除同一個數(shù)，等式仍然程成立。這3條性質(zhì)反應(yīng)了相等關(guān)系在運(yùn)算中保持不變性的特點(diǎn)。并且，性質(zhì)3中減法可以看成加法，即同時加-c。性質(zhì)5中的除法可以看成乘法，即同時乘.高中數(shù)學(xué)加減乘除的運(yùn)算更趨于一般性，所以可以將其合并。由于數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算有加法和乘法，所以這些性質(zhì)可稱為等式的基本性質(zhì)，數(shù)學(xué)基本運(yùn)算可派生出像乘方、開方等運(yùn)算的結(jié)論，就是一些常用的性質(zhì)。問題2：你能歸納一下等式基本性質(zhì)蘊(yùn)含了哪些思想方法嗎？【師生活動】學(xué)生思考總結(jié)，發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì)的方法有“相等關(guān)系自身的特點(diǎn)”和“相等關(guān)系對運(yùn)算保持不變”，教師強(qiáng)調(diào)：這兩個方面是研究等式基本性質(zhì)中體現(xiàn)的思想方法。問題3：初中我們通過由特殊到一般的方法，歸納過一些不等式的性質(zhì)，現(xiàn)在，你打算如何研究不等式的性質(zhì)？【師生活動】研究不等式的性質(zhì)可類比發(fā)現(xiàn)等式性質(zhì)及其蘊(yùn)含的思想方法追問：從什么視角來研究不等式的性質(zhì)？從不等式的“自身”和“運(yùn)算”兩個視角研究不等式的基本性質(zhì)問題4：類比等式的基本性質(zhì)蘊(yùn)含你的“自身特性”的思想方法，你能猜想并證明不等式的基本性質(zhì)嗎？性質(zhì)1：如果,那么;如果,那么．即：.【師生活動】學(xué)生類比得到性質(zhì)1.追問1：你打算如何證明？運(yùn)用數(shù)軸說明a,b的大小關(guān)系，此方法是從幾何角度分析代數(shù)性質(zhì)的，其直觀性較強(qiáng)，能幫助我們感受到此性質(zhì)反映了“不等式自身的特性”，但數(shù)學(xué)結(jié)論要從邏輯推理角度進(jìn)行嚴(yán)格的證明，能否進(jìn)行證明？（2）目前只能用兩個數(shù)學(xué)大小關(guān)系的基本事實(shí)，別無他法，學(xué)生分析。追問2：此性質(zhì)與等式性質(zhì)1有何異同？不等號是有方向的，實(shí)數(shù)位置對調(diào)后，符號也要對調(diào)追問3：你還有什么結(jié)論？通過性質(zhì)1的證明中的啟示，能否修正你的證明過程？學(xué)生分析得到性質(zhì)2性質(zhì)2：如果a＞b，b＞c,那么a＞c.即：a＞b，b＞ca＞c．【師生活動】分析：若要證明a>c,只需要證明a-c>0，學(xué)生容易想到與a-b>0,b-c>0建立聯(lián)系，考慮到a-c=(a-b)+(b-c),只要判斷此代數(shù)式的符號即可。追問：如何證明(a-b)+(b-c)>0？正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)。得證。教師：實(shí)數(shù)的一些基本事實(shí)在證明中有著重要的作用。讓學(xué)生體會代數(shù)證明的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。證明：由兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)知:問題5：類比等式性質(zhì)中蘊(yùn)含的“運(yùn)算中的不變性”的思想方法，你能猜想并證明不等式的基本性質(zhì)嗎？性質(zhì)3：如果,那么.【師生活動】猜想“不等式在加法運(yùn)算中保號性”，即“如果a+c>b+c”,在前兩個性質(zhì)證明的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠分析要證a+c>b+c,只要證（a+c）-(b-c)與0的大小關(guān)系，也就是a-b與0的大小關(guān)系，得出如下證明：證明：由a>b,得a-b>0,所以（a+c)-(b+c)>0,即a+c＞b+c.追問1：用文字語言怎樣表達(dá)此性質(zhì)？不等式的兩邊都加上同一個實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向。文字語言表達(dá)具有“直白”的特點(diǎn)，有助于理解其本質(zhì)，即反映了本燈飾在加法運(yùn)算中的“保號性”，減法與加法在運(yùn)算中是一致的，加法是基本運(yùn)算，進(jìn)行此性質(zhì)為基本性質(zhì)。追問2：兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系還可以形象地在數(shù)軸上表達(dá)出來，你能從幾何意義的角度對這個性質(zhì)進(jìn)行解釋嗎？可以用運(yùn)動方，表達(dá)實(shí)數(shù)c的正負(fù)。幾何語言的表達(dá)具有“直觀”的特點(diǎn)，建議學(xué)生經(jīng)常從集合視角發(fā)現(xiàn)或解釋一些代數(shù)問題，能實(shí)現(xiàn)更直觀地認(rèn)識問題，更深刻的理解問題。追問3：是否還有其他結(jié)論？猜想：不等式在乘法運(yùn)算中的規(guī)律性，即不等式兩邊同乘同一個實(shí)數(shù)的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)追問4：是否還有其他結(jié)論？性質(zhì)4：如果a＞b,c>0,那么ac＞bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.問題6：不等式的兩邊同乘一個數(shù)，為何要分類討論？【師生活動】此結(jié)論在于比較與的大小，由兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，即判斷與0的大小關(guān)系，這顯然與條件中的有關(guān)，自然能考慮通過，從而判斷此式的正負(fù)。由于，的正負(fù)由的正負(fù)決定，從而需要分析討論。追問1：用文字語言怎樣表述此性質(zhì)？不等式兩邊同乘一個正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向文字語言具有“直白”的特點(diǎn)，此性質(zhì)反應(yīng)了“不等式在乘法運(yùn)算中的規(guī)律性”乘法與除法合并為乘法，高中數(shù)學(xué)對運(yùn)算的認(rèn)識更趨于一般性，乘法是基本運(yùn)算，此性質(zhì)仍為基本性質(zhì)。問題7：加法乘法是數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算，因此上述四條性質(zhì)是不等式的基本性質(zhì)。不等式與等式基本性子的共性與差異有哪些？【師生活動】兩者都具有“自身特性”和“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性”。由于不等號具有方向性，“自反性”和“兩邊同乘負(fù)數(shù)時，不等號變號”是不等式表現(xiàn)出的特性。問題8：利用不等式的基本性質(zhì)，你還可以猜想并證明不等式的其他性質(zhì)嗎？【師生活動】性質(zhì)3：如果,那么.追問：在基本性質(zhì)3中，不等式的兩邊同加同一個實(shí)數(shù)。如果兩邊同加不同的實(shí)數(shù)，即不等式兩邊分別加上不相等的兩個數(shù)，能得到什么不等關(guān)系呢？性質(zhì)5：如果,那么.即：大數(shù)加大數(shù)，大于小數(shù)加小數(shù)問題9：你會幾種證明方法？【法1】：分析:若要證明a+c＞b+d，只需要證明，由已知a-b>0,c-d>0,由“正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)”這一基本事實(shí)，猜想得證由“正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)”這一基本事實(shí)，猜想得證?！痉?】分析：若要證明a+c＞b+d，需要構(gòu)造a+c和b+d相關(guān)的不等式，聯(lián)想不等式基本性質(zhì)，可有以下證明由性質(zhì)3，得a+c＞b+c，b+c>b+d;由性質(zhì)2，得a+c>b+d.問題10：在基本性質(zhì)4中，不等式的兩邊同乘同一個實(shí)數(shù)，如果乘不同的實(shí)數(shù)，你有何結(jié)論？【師生活動】猜想：如果,那么；追問：在不等式的基本性質(zhì)中，乘法運(yùn)算不具備“保號性”，主要原因是負(fù)數(shù)的影響，你認(rèn)為上述猜想是否正確？不等式基本性質(zhì)4中強(qiáng)調(diào)，兩邊同乘負(fù)數(shù)不等號要變反向。所以此問題中，乘法不一定具備“保號性”，與性質(zhì)4進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)對于正數(shù)乘法是具有“保號性”的，這是縮小范圍修正錯誤的方法。性質(zhì)6：如果那么.這個定理如何證明，請大家課下完成。追問：如果性質(zhì)6中a=c,b=d，你有何新的結(jié)論？如果，那么.推廣性質(zhì)7：如果那么【師生活動】它是性質(zhì)6的特例，“不等式在運(yùn)算中的不變性，規(guī)律性”為研究抓手，我們還能推導(dǎo)出很多不等關(guān)系，希望同學(xué)們多發(fā)現(xiàn)、提出和證明。上節(jié)課所學(xué)的兩個實(shí)數(shù)大小的基本事實(shí)與本節(jié)課所得到的的7條不等式的性質(zhì)使我們今后解決不等式問題的基本依據(jù)，下面我們就來看看如何借助