2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】基本不等式(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題基本不等式（1）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.初步理解基本不等式及其證明方法和幾何解釋；2.通過利用基本不等式求簡(jiǎn)單的最值問題，使學(xué)生理解利用基本不等式解決最值問題的方法；3.通過對(duì)基本不等式證明方法分析法的認(rèn)識(shí)以及利用基本不等式求簡(jiǎn)單的最值問題，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：理解基本不等式及其證明方法.教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的幾何解釋以及用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3分鐘問題引入教師:我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，他們?cè)诮鉀Q不等式問題時(shí)有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個(gè)問題.問題1：前面我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：?a,b∈R,有教師:請(qǐng)大家觀察,這個(gè)不等式左邊的平方結(jié)構(gòu)要求比較高，使用不方便，能否換成一個(gè)數(shù)，又因?yàn)樘鎿Q的是個(gè)平方數(shù)，所以應(yīng)該是個(gè)正數(shù)。那么這里特別地，如果a>0,b>0我們用a,b分別代替上式中的a,b可以得師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后回答。教師總結(jié)：對(duì)于?a>0,b>0,a+b≥2ab變形為ab≤a+b2=1\*GB3①當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．通常我們稱不等式=1\*GB3①為基本不等式.其中a+b2叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).6分鐘分析法證明問題2：前面，我們通過考察a2師生活動(dòng)：學(xué)生可能根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，用作差比較法證明上式.教師在肯定學(xué)生的做法之后，給學(xué)生簡(jiǎn)單介紹分析法并且引導(dǎo)學(xué)生用分析法寫出證明過程.教師:分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理）為止.分析法解題過程如下:要證ab≤a+b2=1\*GB3①只要證2要證=2\?GB3②，只要證2ab?a?b≤0.=3\*GB3要證=3\*GB3③，只要證?(a?b)2≤0=4\*GB3④要證=4\*GB3④，只要證(a?b)2≥0=5\*GB3⑤顯然，=5\*GB3⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，=5\?GB3我們可以看到，只要把上面的過程倒過來，就可以直接推出基本不等式了.追問（1）：請(qǐng)同學(xué)們想一想上述證明中每一步推理的依據(jù)是什么？教師引導(dǎo)由=2\*GB3②?=1\*GB3①，由=3\*GB3③?=2\?GB3②,由=4\*GB3④?=3\?GB3③，由=5\*GB3⑤?=4\*GB3④的依據(jù).教師總結(jié)：=2\*GB3②?=1\*GB3①（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向）=3\*GB3③?=2\?GB3②（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時(shí)加上正數(shù)（a+b），所得不等式與原不等式同向=4\*GB3④?=3\?GB3③（運(yùn)用完全平方差公式打開計(jì)=5\*GB3⑤?=4\*GB3④（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向）顯然，=5\*GB3⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，=5\?GB3追問（2）：上述證明方法叫做“分析法”，你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答.教師總結(jié)：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理）為止.追問（3）:根據(jù)我們的證明過程，說說分析法的證明格式是怎樣的？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答.教師總結(jié)：由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書寫過程中必須有相應(yīng)的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……”“只要證……”的格式，當(dāng)推導(dǎo)到一個(gè)明顯成立的條件之后，指出顯然……成立。下面我們一起來看問題3.5分鐘幾何解釋同學(xué)們,經(jīng)過從前面基本不等式的代數(shù)解釋,你是否能聯(lián)想到從幾何角度基本不等式也有背景對(duì)應(yīng)呢?下面我們一起來探究一下?問題3：在圖1中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過點(diǎn)C做垂直于AB的弦DE，連接AD,BD.你能在這個(gè)圖形中嘗試找出和所對(duì)應(yīng)的是哪條線段嗎?進(jìn)而得出基本不等式的幾何解釋嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考后回答，可證?ACD～?DCB,因而CD=ab。由于CD小于或等于圓半徑，用不等式表示為顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立.圖1教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：從條件和基本不等式出發(fā)，發(fā)現(xiàn)圓的半徑長(zhǎng)等于a+b2，CD=ab5分鐘簡(jiǎn)單應(yīng)用前面我們知道了基本不等式的內(nèi)容、證明方法和幾何解釋，下面我們利用基本不等式來解決一些簡(jiǎn)單的最值問題.請(qǐng)看下面的例題.例1已知x>0,求x+追問（1）：本題中要求最小值的代數(shù)式有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？是否可以利用基本不等式求x+1x師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答.教師總結(jié)：本題中要求的代數(shù)式是x與1x和的形式，而且x?1x=1，由于x+1x是x與解：因?yàn)閤>0，所以x+1x≥2x?因此所求的最小值是2.追問（2）：在上述解答過程中，是否必須說明“當(dāng)且僅當(dāng)x=1x，即師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答.教師總結(jié)：這是為了說明“2”是x+1那么請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胍幌?，?dāng)y0<2時(shí)，x+1師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答.教師總結(jié)：當(dāng)然是不能，因?yàn)閤+1x的最小值，就是要求出一個(gè)y0追問（3）：通過本例的解答，你能說說滿足什么條件能夠利用基本不等式求最小值呢？師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答.教師總結(jié)：如果兩個(gè)正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，可以求得它們的和的最小值.4分鐘簡(jiǎn)單應(yīng)用例2已知x，（1）如果積xy等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值（2）如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最小值師生活動(dòng)：師生一起分析后，鼓勵(lì)學(xué)生用自然語言把兩個(gè)問題連在一起說，能用自己的話表達(dá)也是對(duì)結(jié)論的進(jìn)一步理解。并書寫證明過程后展示，師生共同補(bǔ)充完善.證明：（1）因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以x+y2≥xy,當(dāng)積xy等于定值P時(shí)，x+y2≥P（2）當(dāng)和x+y等于定值S時(shí)，xy≤x+y2=S2,所以xy≤1追問：通過本題，你能說說用基本不等式能夠解決什么樣的問題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答.教師總結(jié)：滿足兩個(gè)正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，求它們的和的最小值，或者兩個(gè)正數(shù)的和為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，求它們的積的最大值的問題，能夠用基本不等式解決.2分鐘歸納小結(jié)同學(xué)們，我們知道，相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ).基本不等式是一種重要而基本的不等式類型,在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中也是一個(gè)非常重要的、基礎(chǔ)的內(nèi)容.今天我們學(xué)習(xí)了以下幾個(gè)重要的內(nèi)容：1、基本不等式