2024-2025學年高一【數學(人教A版)】基本不等式(1)-教學設計

（二）教學設計

課程基本信息課例編號學科數學年級高一學期第一學期課題基本不等式（1）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.初步理解基本不等式及其證明方法和幾何解釋；2.通過利用基本不等式求簡單的最值問題，使學生理解利用基本不等式解決最值問題的方法；3.通過對基本不等式證明方法分析法的認識以及利用基本不等式求簡單的最值問題，發(fā)展學生的邏輯推理、數學運算和數學建模的素養(yǎng).教學重點：理解基本不等式及其證明方法.教學難點：基本不等式的幾何解釋以及用基本不等式解決簡單的最值問題.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘問題引入教師:我們知道，乘法公式在代數式的運算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，他們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個問題.問題1：前面我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：?a,b∈R,有教師:請大家觀察,這個不等式左邊的平方結構要求比較高，使用不方便，能否換成一個數，又因為替換的是個平方數，所以應該是個正數。那么這里特別地，如果a>0,b>0我們用a,b分別代替上式中的a,b可以得師生活動：學生獨立計算后回答。教師總結：對于?a>0,b>0,a+b≥2ab變形為ab≤a+b2=1\*GB3①當且僅當a=b時，等號成立．通常我們稱不等式=1\*GB3①為基本不等式.其中a+b2叫做正數a,b的算術平均數，ab叫做正數a,b的幾何平均數．基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.6分鐘分析法證明問題2：前面，我們通過考察a2師生活動：學生可能根據兩個實數大小關系的基本事實，用作差比較法證明上式.教師在肯定學生的做法之后，給學生簡單介紹分析法并且引導學生用分析法寫出證明過程.教師:分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理）為止.分析法解題過程如下:要證ab≤a+b2=1\*GB3①只要證2要證=2\?GB3②，只要證2ab?a?b≤0.=3\*GB3要證=3\*GB3③，只要證?(a?b)2≤0=4\*GB3④要證=4\*GB3④，只要證(a?b)2≥0=5\*GB3⑤顯然，=5\*GB3⑤成立，當且僅當a=b時，=5\?GB3我們可以看到，只要把上面的過程倒過來，就可以直接推出基本不等式了.追問（1）：請同學們想一想上述證明中每一步推理的依據是什么？教師引導由=2\*GB3②?=1\*GB3①，由=3\*GB3③?=2\?GB3②,由=4\*GB3④?=3\?GB3③，由=5\*GB3⑤?=4\*GB3④的依據.教師總結：=2\*GB3②?=1\*GB3①（根據不等式性質，兩邊同乘以一個正數，所得不等式與原不等式同向）=3\*GB3③?=2\?GB3②（根據不等式性質，兩邊同時加上正數（a+b），所得不等式與原不等式同向=4\*GB3④?=3\?GB3③（運用完全平方差公式打開計=5\*GB3⑤?=4\*GB3④（根據不等式性質，兩邊同乘以一個負數，所得不等式與原不等式反向）顯然，=5\*GB3⑤成立，當且僅當a=b時，=5\?GB3追問（2）：上述證明方法叫做“分析法”，你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？師生活動：學生討論后回答.教師總結：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理）為止.追問（3）:根據我們的證明過程，說說分析法的證明格式是怎樣的？師生活動：學生思考后回答.教師總結：由于分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書寫過程中必須有相應的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……”“只要證……”的格式，當推導到一個明顯成立的條件之后，指出顯然……成立。下面我們一起來看問題3.5分鐘幾何解釋同學們,經過從前面基本不等式的代數解釋,你是否能聯(lián)想到從幾何角度基本不等式也有背景對應呢?下面我們一起來探究一下?問題3：在圖1中，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C做垂直于AB的弦DE，連接AD,BD.你能在這個圖形中嘗試找出和所對應的是哪條線段嗎?進而得出基本不等式的幾何解釋嗎？師生活動：教師引導學生思考后回答，可證?ACD～?DCB,因而CD=ab。由于CD小于或等于圓半徑，用不等式表示為顯然，當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時，上述不等式的等號成立.圖1教師引導學生總結：從條件和基本不等式出發(fā)，發(fā)現圓的半徑長等于a+b2，CD=ab5分鐘簡單應用前面我們知道了基本不等式的內容、證明方法和幾何解釋，下面我們利用基本不等式來解決一些簡單的最值問題.請看下面的例題.例1已知x>0,求x+追問（1）：本題中要求最小值的代數式有什么結構特點？是否可以利用基本不等式求x+1x師生活動：學生思考后回答.教師總結：本題中要求的代數式是x與1x和的形式，而且x?1x=1，由于x+1x是x與解：因為x>0，所以x+1x≥2x?因此所求的最小值是2.追問（2）：在上述解答過程中，是否必須說明“當且僅當x=1x，即師生活動：學生討論后回答.教師總結：這是為了說明“2”是x+1那么請同學們再想一想，當y0<2時，x+1師生活動：學生思考后回答.教師總結：當然是不能，因為x+1x的最小值，就是要求出一個y0追問（3）：通過本例的解答，你能說說滿足什么條件能夠利用基本不等式求最小值呢？師生活動：學生討論后回答.教師總結：如果兩個正數的積為定值，當這兩個數相等時，可以求得它們的和的最小值.4分鐘簡單應用例2已知x，（1）如果積xy等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值（2）如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積xy有最小值師生活動：師生一起分析后，鼓勵學生用自然語言把兩個問題連在一起說，能用自己的話表達也是對結論的進一步理解。并書寫證明過程后展示，師生共同補充完善.證明：（1）因為x，y都是正數，所以x+y2≥xy,當積xy等于定值P時，x+y2≥P（2）當和x+y等于定值S時，xy≤x+y2=S2,所以xy≤1追問：通過本題，你能說說用基本不等式能夠解決什么樣的問題嗎？師生活動：學生思考后回答.教師總結：滿足兩個正數的積為定值，當這兩個數取什么值時，求它們的和的最小值，或者兩個正數的和為定值，當這兩個數取什么值時，求它們的積的最大值的問題，能夠用基本不等式解決.2分鐘歸納小結同學們，我們知道，相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程、不等式的基礎.基本不等式是一種重要而基本的不等式類型,在中學數學知識體系中也是一個非常重要的、基礎的內容.今天我們學習了以下幾個重要的內容：1、基本不等式