2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】簡單的三角變換(1)-教學設計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題簡單的三角變換（1）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.進一步熟悉各組公式的內在聯(lián)系，了解各組公式的功能及變形；2.能利用公式完成簡單的三角變換，為函數(shù)研究提供依據(jù)，提升數(shù)學推理的素養(yǎng).教學重點：整合各組公式的內在聯(lián)系，把握公式的重要變形.教學難點：認識三角恒等變換的特點.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘7分鐘7分鐘3分鐘1分鐘復習公式，引出課題分析例1，總結特點分析例2，感受化歸思想分析練習1，鞏固新知小結知識布置作業(yè)學生活動我們先來復習一下在三角恒等變換這一節(jié)中我們學習的公式：我們先利用單位圓和兩點間距離公式推出了，然后將代換為得到，然后又結合誘導公式進一步推出了，，然后又將兩式相除得到，，最后將式子中的得到了二倍角公式，，；學習了和（差）角公式、二倍角公式以后，我們就有了進行三角恒等變換的新工具，從而使三角恒等變換的內容、思路和方法更加豐富.有了和（差）角公式和二倍角公式，進而可以解決三個角的和與差的問題，多個角的和差問題，多倍角的問題等，既然倍角解決了，那么你能嘗試半角嗎？教師活動例1試以表示.問題1：本題要求用角的余弦值表示角的三角函數(shù)值，那么角與角有什么關系呢？學生活動分析：根據(jù)角是角的二倍角，因此可以將二倍角公式中的替換為，替換為，就能解決這個問題.解：是的二倍角，在倍角公式中，以代替，以代替，得，所以.在倍角公式中，以代替，以代替，得，所以.將上述兩式左右兩邊分別相除，得.教師活動例1我們得到了一組公式，我們來總結一下它們的特征：從結構上看，等式左邊都是三角函數(shù)的二次形式，而右邊都是一次形式，因此此組公式有升降次的作用；從角的特征來看，等式左邊都是，而右邊是，因此此組公式有升降角的作用.問題2：是的二倍角，也就是說是的半角，你能依此得到半角公式嗎？例1的結論還可以表示為：我們稱之為半角公式.公式中的號體現(xiàn)了三角函數(shù)的取值有正負，與同角函數(shù)關系式類似，具體取值與角所在的象限有關.因為不同的三角函數(shù)式不僅會有結構形式方面的差異，而且還會存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以進行三角恒等變換時，常常要先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適當?shù)墓?這是三角恒等變換的一個重要特點.教師活動例2求證：（1），（2）.問題3：（1）式子中所包含的各個角有怎樣的關系？你能得到什么樣的啟示？根據(jù)（1）式子中存在兩角及它們的和與差（反之也是），式子結構從積到和差（反之也是），式子結構從二次到一次（反之也是），要消除這種差異，你可以從哪個角度入手呢？學生活動選擇和（差）角公式可以解決（1）題.證明：（1）根據(jù)公式，，兩式相加，得，所以.問題4：（2）中式子兩邊在結構形式上與（1）有什么不同？根據(jù)兩個式子的結構特點，（1）是將正余弦之積化為兩正弦之和，（2）是將兩正弦之和化為正余弦之積，而且對比角的關系，且，因此考慮到它們之間的聯(lián)系，采取換元法進行證明.（2）令+=，=φ，則，代入（1）得：∴.教師活動本題（1）的證明把看作x,將看作y,把等式看作x,y的方程，則問題轉化為解方程組求x.（2）的證明用到了換元法，將+看作，將看作φ，從而把包含，的三角函數(shù)式轉化為，φ的三角函數(shù)式.它們都體現(xiàn)了化歸思想.練習1：求證：.學生活動證明：根據(jù)是的二倍角，因此本題可從二倍角公式入手，所以，，得證.小結：通過本節(jié)課的學習，你是否理解了三角恒等