浙江省9+1高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期浙江省9+1高中聯(lián)盟高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并核對(duì)條形碼信息；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；4.參加聯(lián)批學(xué)校的學(xué)生可關(guān)注“啟望教育”公眾號(hào)查詢個(gè)人成績(jī)分析.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，且，則a等于（）A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參.【詳解】因?yàn)?，且，則,所以.故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱得出,再應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法及乘法計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故.所以.故選：A.3.若命題“，成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用判別式法求解.【詳解】解：因?yàn)?，成立，所以，解得，故選：B4.在中，D是BC上一點(diǎn)，滿足，M是AD的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量線性運(yùn)算相關(guān)計(jì)算方式計(jì)算即可.【詳解】由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為的半圓，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)側(cè)面展開圖面積等于半圓面積，求得底面半徑與母線長(zhǎng)，再利用勾股定理算得圓錐高.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓錐的底面半徑為r，因?yàn)閳A錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為的半圓，則，解得，則該圓錐的高為.故選：A.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，直線與其交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】首先解方程，結(jié)合圖象，求得方程的實(shí)數(shù)根，即可求解的值.【詳解】令，則，，，則，且，所以.故選：C7.已知函數(shù)，若，，，則有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得為偶函數(shù)，則，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，，，又當(dāng)時(shí)，由f′x>0，可得為單調(diào)遞增函數(shù)，即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)且定義域?yàn)镽，則，所以為偶函數(shù)，因?yàn)?，則，又，，，，，則，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋詾閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：B.8.已知函數(shù)（a，且）在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)換主參變量，利用點(diǎn)到直線的距離公式來求得的最小值.【詳解】依題意在區(qū)間上有零點(diǎn)，整理得在上有解，表示坐標(biāo)系中，直線（看成參數(shù)）上的點(diǎn)，所以表示原點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方，設(shè)，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：主參變量的轉(zhuǎn)換：將原始代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵步驟，確保每一個(gè)幾何量的合理轉(zhuǎn)換，能夠有效簡(jiǎn)化求解過程.距離公式的合理運(yùn)用：通過距離公式來計(jì)算直線與原點(diǎn)的最小距離，確保了推導(dǎo)過程的邏輯嚴(yán)密性和計(jì)算的準(zhǔn)確性.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.數(shù)據(jù)1，2，2，3，4，5的極差與眾數(shù)之和為7B.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，則C.X和Y是分類變量，若值越大，則判斷“X與Y獨(dú)立”的把握性越大D.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)極差和眾數(shù)的概念即可判斷A；根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可判斷C；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】A：該組數(shù)據(jù)的極差為4，眾數(shù)為2，所以該組數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)之和為6，故A錯(cuò)誤；B：由，得，解得，所以，故B正確；C：值越大，X和Y有關(guān)系的可能性就越大，則“X與Y獨(dú)立”的把握越小，故C錯(cuò)誤；D：由，得，所以，故D正確.故選：BD10.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.為等比數(shù)列 B.為等比數(shù)列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由題設(shè)得是首項(xiàng)、公比為3的等比數(shù)列，即可判斷A、B、C；應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和判斷D.【詳解】由題設(shè)，且，故是首項(xiàng)、公比為3的等比數(shù)列，所以，則，故不是等比數(shù)列，A錯(cuò)，B、C對(duì)；由，則，所以，所以，D對(duì).故選：BCD11.已知曲線C方程為：，，，過M的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)（A在B的上方），已知，，下列命題正確的是（）A.B.的最小值是2C.周長(zhǎng)的最大值是D若，將沿翻折，使面面，則折后【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，利用正弦定理，結(jié)合橢圓概念，即可判斷；對(duì)于B，由，利用三角恒等變換可得，再由基本不等式可得的最小值；對(duì)于C，由周長(zhǎng)，對(duì)于，利用基本不等式即可得到周長(zhǎng)的最大值；對(duì)于D，由直曲聯(lián)立可得，又，則折后，即可判斷D.【詳解】由已知，在中，已知，，由正弦定理得，又，即，所以，故A正確；由，得：，在中，，則，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取到最小值是2，故B正確；周長(zhǎng)，設(shè)Bx,y，，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值是，故C正確；設(shè)AB的方程是：與聯(lián)立得：，解得：（舍去）或，則點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)，，又在圓上，所以，又沿翻折后，平面平面，平面平面?，，則平面，又平面，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：B選項(xiàng)中利用三角恒等變換弦化切，再利用基本不等式求最值；C選項(xiàng)先利用橢圓定義和兩點(diǎn)間距離公式，再利用基本不等式求最值.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程的求法求得正確答案.【詳解】由得，即，焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為.故答案為：13.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得，結(jié)合展開式的通項(xiàng)運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，解得，則的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14.一只盒子中裝有4個(gè)形狀大小相同的小球，小球上標(biāo)有4個(gè)不同的數(shù)字.摸球人不知最大數(shù)字是多少，每次等可能地從中摸出一個(gè)球，不放回.摸球人決定放棄前面兩次摸出的球，從第3次開始，如果摸出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于前面摸出的球上的數(shù)字，就把這個(gè)球保存下來，摸球結(jié)束，否則繼續(xù)摸球.問摸球人最后保存下來是數(shù)字最大的球的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出標(biāo)有數(shù)字的4只球排序情況，標(biāo)有數(shù)字最大的球分為第3次摸到和第4次摸到兩種情形，結(jié)合古典概型即可得結(jié)果.【詳解】標(biāo)有數(shù)字的4只球排序共有種情況.要摸到標(biāo)有數(shù)字最大的球，有以下兩種情況：①標(biāo)有數(shù)字最大球第3次摸到，其他的小球隨意在哪個(gè)位置，有種情況.②標(biāo)有數(shù)字最大的球第4次摸到，標(biāo)有數(shù)字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有種情況.故所求概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.（1）求角A；（2）若，的面積為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用邊化角及和差公式、輔助角公式即可求解；（2）由面積公式和正弦定理即可求解.【小問1詳解】由條件得，從而.所以，由正弦定理得，故.從而，得，故.所以.【小問2詳解】設(shè)的面積為，則.16.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合垂直關(guān)系求出值.（2）分類討論判斷值的正負(fù)情況，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，得，所以.小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程中，，若，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，則，關(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.17.如圖，三棱錐中，，平面平面，平面平面.（1）證明：平面；（2）若為鈍角，且二面角的大小為，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面PAC，利用線面垂直的性質(zhì)可得、，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）法一：如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得平面PAC，得，設(shè)，，則，根據(jù)建立方程，解之即可求解.法二：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角建立關(guān)于的方程，結(jié)合三角恒等變換的化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【小問1詳解】如圖，在平面ABC內(nèi)取點(diǎn)O，過O作于M，過O作于N，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAC，又平面PAC，，同理可證，又，平面ABC，平面ABC；【小問2詳解】法一：如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，過H作于點(diǎn)Q，連接BQ，平面ABC，平面ABC，，又，平面PAC，平面PAC，則為二面角的平面角，即設(shè)，，則，，所以，又，所以，所以，由得，整理得，又，解得或（舍去），綜上.法二：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，易知平面PAC的法向量為，設(shè)面PAB的法向量為，則，，則，整理得，由，得，解得或（舍），綜上，.18.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為：，定點(diǎn)，B是圓C上任意一點(diǎn)，線段BF的垂直平分線l和半徑BC相交于點(diǎn)T.（1）求點(diǎn)T的軌跡W的方程；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)F的一條直線，斜率不為0，交曲線W于P、Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別與直線交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線FM與直線FN的斜率之積為常數(shù).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義可知點(diǎn)T的軌跡為橢圓，然后求得，即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得到的縱坐標(biāo)，然后代入斜率公式計(jì)算，即可證明.【小問1詳解】由題意：點(diǎn)T在線段BF的垂直平分線上，則，可得.由橢圓定義可得，點(diǎn)T的軌跡是以，F(xiàn)1,0為焦點(diǎn)的橢圓，且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，，所以點(diǎn)T的軌跡W的方程為【小問2詳解】由（1）知A?2,0，F(xiàn)1,0，設(shè)直線，Px1聯(lián)立消去x，整理得，則，根據(jù)題意可設(shè)，，則由，可得，同理可得，所以直線FM與直線FN的斜率之積，.所以直線FM與直線FN的斜率之積為定值.19.一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)（a，）可以寫成，其中r是復(fù)數(shù)的模，是以x軸非負(fù)半軸為始邊，射線OZ為終邊的角，稱為復(fù)數(shù)的輔角.我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輔角稱為輔角主值，通常記作argz，如，，.發(fā)現(xiàn)，就是說兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)輔角的和.考慮如下操作：從寫有實(shí)數(shù)0，1，的三張卡片中隨機(jī)抽取兩張，將卡片上的兩個(gè)數(shù)依次作為一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.設(shè)n為正整數(shù)，重復(fù)n次上述操作，可得到n個(gè)復(fù)數(shù)，將它們的乘積記為.（1）寫出一次操作后所有可能的復(fù)數(shù)；（2）當(dāng)，記的取值為X，求X的分布列；（3）求為實(shí)數(shù)的概率.【答案】（1）1，i，，，，（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直接得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得X的取值為1，，2，3，，4，然后分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)概率，即可得到分布列；（3）根據(jù)題意，由條件可得或，分別得到一次操作后得到的復(fù)數(shù)的輔角主值，然后在次操作中，分別設(shè)得到i，的次數(shù)為，的次數(shù)為，的次數(shù)為，即可得到，然后得到與之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】一次操作后可能的復(fù)數(shù)為：1，i，，，，，【小問2詳解】一次操作后復(fù)數(shù)的模所有可能的取值為是：1，1，，，2，2由，故X的取值為1，，2，3，，4，，.，，，所以X的分布列為X1234P【小問3詳解