數(shù)學(xué)知識導(dǎo)航：向量的線性運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1向量的線性運(yùn)算知識梳理1.向量的概念與表示（1)向量：具有大小和方向的量稱為向量.看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向這兩個要素.(2)向量的模:向量的長度叫做向量的模,向量a的模記作｜a｜.（3）特殊的向量零向量：模是零的向量叫做零向量，記作0,其方向不確定，它可以朝向任意方向。單位向量：給定一個非零向量a，則與a同方向且長度為1的向量，叫做向量a的單位向量。（4）向量的表示方法幾何表示：用有向線段來表示。此時有向線段的方向表示向量的方向，線段的長度表示向量的模。字母表示：用單個斜黑體的小寫英文字母表示，通常印刷體如a、b、c、…，而手寫體用帶箭頭的小寫字母表示如、、、…,此時應(yīng)特別注意；字母上必須加箭頭；還可用兩個大寫英文字母表示，先寫始點(diǎn)，后寫終點(diǎn)，字母上面要帶箭頭.例如:始點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的向量表示為。2。向量間關(guān)系(1）相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量，即相等的向量.(2)相反向量：與向量a方向相反且等長的向量叫做a的相反向量，記作—a.（3)共線(平行)向量：通過有向線段的直線，叫做向量的基線。如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行.3。向量的加法（1)向量加法法則①三角形法則:根據(jù)加法的定義求兩個向量和的作圖法則,叫做向量求和的三角形法則.其具體做法是將向量b平移，使其起點(diǎn)與另一向量a的終點(diǎn)重合，則以a的起點(diǎn)為起點(diǎn),b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是向量a與b的和向量。②平行四邊形法則：已知兩個不共線向量a、b（如圖2—1-1)，作=a，=b，則A、B、D三點(diǎn)不共線,以、為鄰邊作平行四邊形ABCD，則對角線上的向量=a+b，這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則。圖2-1③多邊形法則:已知ｎ個向量，依次把這ｎ個向量首尾相接，以第一個向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),第ｎ個向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這ｎ個向量的和向量.這個法則叫做向量求和的多邊形法則。多邊形法則實(shí)質(zhì)就是三角形法則的連續(xù)應(yīng)用。（2）向量加法的幾何意義向量加法遵循三角形法則和平行四邊形法則，因此，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則就是向量加法的幾何意義.（3）向量加法的運(yùn)算律①交換律:a+b=b+a；②結(jié)合律:(a+b)+c=a+（b+c).4。向量的減法（1）向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算，求兩個向量的差要把兩個向量的起點(diǎn)放在一起，它們的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。(2）利用相反向量的定義：一個向量減去另一個向量等于加上另一個向量的相反向量。(3)向量減法的作圖法：一是利用向量減法的定義直接作圖，二是利用相反向量作圖。5。向量的數(shù)乘（1)實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個向量，記作λa，規(guī)定：λa的長度|λa｜=｜λ｜·｜a｜.若a≠0，當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時,λa的方向與a的方向相反.當(dāng)λ=0或a=0時,λa=0。（2）向量數(shù)乘的幾何意義：把向量a沿著a的方向或a的反方向擴(kuò)大或縮小。(3）向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，則①(λ+μ)a=λa+μa；②λ(μa)=（λμ)a；③λ（a+b）=λa+λb.6.向量的線性運(yùn)算(1）向量的加法、減法和向量數(shù)乘的綜合運(yùn)算，叫做向量的線性運(yùn)算.若一個向量c是由另一些向量的線性運(yùn)算得到的，我們就說這個向量c可以用另一些向量線性表示.(2）向量的線性運(yùn)算也叫向量的初等運(yùn)算.它們的運(yùn)算法則在形式上很像實(shí)數(shù)加法、減法、乘法滿足的運(yùn)算法則,但它們在具體含義上是不同的.不過由于它們在形式上相類似，因此,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形方法在向量的線性運(yùn)算中都可以使用。7。平行向量基本定理定理：如果a=λb,則a∥b；反之，如果a∥b(b≠0)，則一定存在一個實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。8.軸上向量的坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算(1)規(guī)定了方向和長度單位的直線叫做軸.軸沒有規(guī)定原點(diǎn)，與我們以前學(xué)過的數(shù)軸不同。在軸上選一定點(diǎn)O作為原點(diǎn),軸就成了數(shù)軸。取單位向量e，使e的方向與軸l的方向相同，對軸上的任意向量a，一定存在唯一實(shí)數(shù)x，使a=xe；反之，任意給定一個實(shí)數(shù)x，總能在軸l上作一個向量a=xe，x叫做a在軸l上的坐標(biāo)(或數(shù)量)，向量e叫做軸l的基向量。（2)x的絕對值等于a的長；當(dāng)a與e同向時，x是正數(shù)；當(dāng)a與e反向時，x是負(fù)數(shù).實(shí)數(shù)與軸上的向量建立了一一對應(yīng)關(guān)系.(3）向量相等:設(shè)a=x1e,b=x2e,當(dāng)x1=x2時,a=b。即軸上兩個向量相等的條件是它們的坐標(biāo)相等。（4）兩個向量的和：設(shè)a=x1e，b=x2e，則a+b=(x1+x2）e.即軸上兩個向量和的坐標(biāo)等于兩個向量的坐標(biāo)的和.注意:①給定軸上向量的坐標(biāo)，求兩向量的和變成了實(shí)數(shù)的運(yùn)算；②向量的坐標(biāo)常用AB來表示，即=ABe.表示向量，而AB表示數(shù)量,且有AB+BA=0.(5)軸上向量的坐標(biāo)：在數(shù)軸x上,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則AB=x2—x1，即軸上向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo),在運(yùn)用此公式時要注意坐標(biāo)順序。(6)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式：在數(shù)軸x上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則|AB|=｜x2-x1|。知識導(dǎo)學(xué)學(xué)好本節(jié)一定要弄清概念，注意類比、比較地去學(xué)習(xí)概念；時刻注意向量與數(shù)量的區(qū)別；一個向量用其他向量的線性運(yùn)算來表示是解決一類問題的關(guān)鍵;注意轉(zhuǎn)化與化歸的思想應(yīng)用.疑難突破1。向量和有向線段有何區(qū)別與聯(lián)系？剖析：疑點(diǎn)是向量和有向線段還有區(qū)別嗎？其突破的方法是對概念的比較，通常是從概念的內(nèi)涵和外延上來討論.向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段。它們的聯(lián)系是：向量可以用有向線段來表示,這條有向線段的長度就是向量的長度，有向線段的方向就是向量的方向。它們的區(qū)別是:向量是可以自由移動的，故當(dāng)用有向線段來表示向量時，有向線段的起點(diǎn)是任意的。而有向線段是不能自由移動的，有向線段平移后就不是原來的有向線段了。有向線段僅僅是向量的直觀體現(xiàn),是向量的一種表現(xiàn)形式,不能等同于向量；有向線段有平行和共線之分，而向量的平行和共線是相同的，是同一個概念。2。平行向量基本定理有何應(yīng)用？剖析:難點(diǎn)是學(xué)習(xí)了平行向量基本定理后，對定理的應(yīng)用陷入茫然。難以突破是因?yàn)閷ζ叫邢蛄炕径ɡ淼睦斫獠粔驈氐住Ｏ旅娣炙姆矫鎭碛懻?。?)證明兩向量共線：證明a∥b轉(zhuǎn)化為證明a=λb(λ為實(shí)數(shù)）。例如：設(shè)=a，=b，=(a+b），求證:∥。證明：由題意，得=a-b，=(a+b)—b=(a-b),∴=。∴∥。（2）證明三點(diǎn)共線：證明點(diǎn)A、B、C共線，轉(zhuǎn)化為證明∥或∥或∥.例如：=2a+10b，=—2a+8b，=3a—3b，求證：A、B、D三點(diǎn)共線.證明：∵，∴=-2a+8b+3a—3b=a+5b∴=2?！唷?∴A、B、D三點(diǎn)共線.(3）證明兩直線平行：證明兩直線平行轉(zhuǎn)化為證明它們的方向向量共線.例如：如圖2—圖2-1-2求證：DE∥BC.證明：∵AD=xAB,AE=xAC，∴=x,=x.∴=x（)=x?！唷?。∴DE∥BC.(4)證明兩平行(或共線）線段間的長度關(guān)系: