北京首都師范大學第二附屬中學2025屆高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷含解析

北京首都師范大學第二附屬中學2025屆高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出個數(shù)，，，，，，其規(guī)律是：第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，以此類推，要計算這個數(shù)的和．現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；2．在中，為邊上的中線，為的中點，且，，則（）A． B． C． D．3．的圖象如圖所示，，若將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象與的圖象重合，則可取的值的是（）A． B． C． D．4．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．5．設遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．6．已知，，則（）A． B． C． D．7．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內均勻投點，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．8．對于任意，函數(shù)滿足，且當時，函數(shù).若，則大小關系是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知全集，函數(shù)的定義域為，集合，則下列結論正確的是A． B．C． D．11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．12．已知為等差數(shù)列，若，，則()A．1 B．2 C．3 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____14．如圖，在矩形中，為邊的中點，，，分別以、為圓心，為半徑作圓弧、（在線段上）.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉一周，則所形成的幾何體的體積為.15．已知向量，，，則_________.16．設實數(shù)，滿足，則的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點是棱的中點，，.（1）若，證明：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.18．（12分）已知的內角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若的面積為，求的周長的最小值.19．（12分）已知在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，曲線與直線其中的一個交點為，且點極徑.極角（1）求曲線的極坐標方程與點的極坐標；（2）已知直線的直角坐標方程為，直線與曲線相交于點(異于原點)，求的面積.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若，設，證明：，，使.21．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，，求的值．22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設（），數(shù)列的前項和.若對恒成立，求實數(shù)，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

要計算這個數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【詳解】因為計算這個數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長應該為1，故判斷語句①應為，第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，這樣可以確定語句②為，故本題選A.【點睛】本題考查了補充循環(huán)結構，正確讀懂題意是解本題的關鍵.2、A【解析】

根據(jù)向量的線性運算可得,利用及，計算即可.【詳解】因為,所以，所以，故選：A【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的性質，屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，即可得出函數(shù)的解析式，然后求出變換后的函數(shù)解析式，結合題意可得出關于的等式，即可得出結果.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，，則，，取，，則，，，可得，當時，.故選：B.【點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式，同時也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.4、C【解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．5、A【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6、D【解析】

分別解出集合然后求并集.【詳解】解：，故選：D【點睛】考查集合的并集運算，基礎題.7、A【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎題.8、A【解析】

由已知可得的單調性，再由可得對稱性，可求出在單調性，即可求出結論.【詳解】對于任意，函數(shù)滿足，因為函數(shù)關于點對稱，當時，是單調增函數(shù)，所以在定義域上是單調增函數(shù).因為，所以，.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質比較函數(shù)值的大小，解題的關鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..9、C【解析】

由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，列出方程求出的值，即可求解雙曲線的離心率，得到答案．【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，可得，解得，此時雙曲線，則曲線的離心率為，故選C．【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質，準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．10、A【解析】

求函數(shù)定義域得集合M，N后，再判斷．【詳解】由題意，，∴．故選A．【點睛】本題考查集合的運算，解題關鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定．11、A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A，再根據(jù)求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結合五點法作圖求解.屬于中檔題.12、B【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出．【詳解】∵{an}為等差數(shù)列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故選：B．【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式求法，考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、80211【解析】

由，利用二項式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，屬于中檔題.14、【解析】由題意，可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成；其中，圓柱的底面半徑為1，母線長為2；體積為；兩個半球的半徑都為1，則兩個半球的體積為；則所求幾何體的體積為.考點：旋轉體的組合體.15、2【解析】

由得，算出，再代入算出即可.【詳解】，，，，解得：，，則.故答案為：2【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，向量垂直的性質，向量的模的計算.16、1【解析】

根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式，分析目標函數(shù)的幾何意義，然后判斷求出目標函數(shù)取得最優(yōu)解的點的坐標，即可求解．【詳解】作出實數(shù)，滿足表示的平面區(qū)域，如圖所示：由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越小，越大.由可得，此時最大為1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃知識的運用，考查學生的計算能力，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進而證得結論.(2)過作交于,由為的中點,結合已知有平面.則,可求得.建立坐標系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結果.【詳解】（1）證明：平面，平面，,又四邊形為正方形，.又、平面，且，平面..中，，為的中點，.又、平面，，平面.平面，平面平面.（2）解：過作交于，如圖為的中點，，.又平面，平面.，.所以,又、、兩兩互相垂直，以、、為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系.，，，設平面的法向量，則，即.令，則，..平面的一個法向量為.二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了空間線線、線面、面面位置關系，考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.18、（1）（2）【解析】

（1）因為，所以，由余弦定理得，化簡得，可得，解得，又因為，所以.（6分）（2）因為，所以，則（當且僅當時，取等號）.由（1）得（當且僅當時，取等號），解得.所以（當且僅當時，取等號），所以的周長的最小值為.19、（1）極坐標方程為，點的極坐標為（2）【解析】

（1）利用極坐標方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可；（2）只需算出A、B兩點的極坐標，利用計算即可.【詳解】（1）曲線C：(為參數(shù)，)，將代入，解得，即曲線的極坐標方程為，點的極坐標為.（2)由（1），得點的極坐標為，由直線過原點且傾斜角為，知點的極坐標為，.【點睛】本題考查極坐標方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學生的運算能力，是一道基礎題.20、（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；（2）問題轉化為，利用導數(shù)找到與即可證明.【詳解】（1）.①當時，恒成立，當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).②當時，，.當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).③當時，，則在上是減函數(shù).④當時，，當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）由題意，得.由（1）知，當，時，，.令，，故在上是減函數(shù)，有，所以，從而.，，則，令，顯然在上是增函數(shù)，且，，所以存在使，且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，所以，所以，命題成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及證明不等式的問題，考查學生邏輯推理能力，是一道較難的題.21、(1);(2).【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．進而得到角A；（2）結合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯(lián)立兩式得到．解析：（I）因為，所以，由正弦定理，得．又因為，，所以．又因為，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因為，解得.因為，所以.22、（1）（2），.【解析】