廣東名校2025屆高三最后一模數學試題含解析

廣東名校2025屆高三最后一模數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結果是（）A． B． C． D．3．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個三等分點，則（）A． B． C． D．4．設，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④5．已知函數的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為，則（）A． B． C． D．6．在正方體中，點，，分別為棱，，的中點，給出下列命題：①；②；③平面；④和成角為.正確命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．37．總體由編號01，,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．018．某調查機構對全國互聯網行業(yè)進行調查統(tǒng)計，得到整個互聯網行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯網行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結論中不正確的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A．互聯網行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯網行業(yè)中從事技術崗位的人數超過總人數的C．互聯網行業(yè)中從事運營崗位的人數90后比80前多D．互聯網行業(yè)中從事技術崗位的人數90后比80后多9．空氣質量指數是反映空氣狀況的指數，指數值趨小，表明空氣質量越好，下圖是某市10月1日-20日指數變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數值的中位數略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數）的天數占C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好10．某中學有高中生人，初中生人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．12．已知函數，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若恒成立，則的取值范圍是___________.14．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.15．邊長為2的正方形經裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分，將所留部分折成一個正四棱錐.當該棱錐的體積取得最大值時，其底面棱長為________.16．某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為，現按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級為12人，則抽取的樣本容量為________人.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面四邊形中，，，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.18．（12分）已知動圓Q經過定點，且與定直線相切（其中a為常數，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C．（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？（2）設點P的坐標為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，，直線過點，且與拋物線交于，兩點．（1）求拋物線的方程及點的坐標；（2）求的最大值．20．（12分）已知各項均為正數的數列的前項和為，滿足，，，，恰為等比數列的前3項．（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和為；若對均滿足，求整數的最大值；（3）是否存在數列滿足等式成立，若存在，求出數列的通項公式；若不存在，請說明理由．21．（12分）已知函數（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅲ）若數列的前項和，，求證：數列的前項和.22．（10分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若函數的最大值為，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【點睛】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關系，以及充要條件的判斷，考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題，關鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結論.2、B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計算能力，屬于基礎題.3、B【解析】

連接、，即可得到，，再根據平面向量的數量積及運算律計算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個三等分點，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B【點睛】本題考查平面向量的數量積及其運算律的應用，屬于基礎題.4、C【解析】

根據線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯②：因為，，所以或，因為，所以，故②對③：或，故③錯④：如圖因為，，在內過點作直線的垂線，則直線，又因為，設經過和相交的平面與交于直線，則又，所以因為，，所以，所以，故④對.故選：C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎題.5、A【解析】

畫出函數的圖像，函數對稱軸方程為，由圖可得與關于對稱，即得解.【詳解】函數的圖像如圖，對稱軸方程為，，又，由圖可得與關于對稱，故選：A【點睛】本題考查了正弦型函數的對稱性，考查了學生綜合分析，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.6、C【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數.【詳解】設正方體邊長為，建立空間直角坐標系如下圖所示，，.①，，所以，故①正確.②，，不存在實數使，故不成立，故②錯誤.③，，，故平面不成立，故③錯誤.④，，設和成角為，則，由于，所以，故④正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.7、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數劃去大于20的數分別為：08,02,14,07,01，所以第5個個體是01，選D.考點：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數表法，考查學習能力和運用能力.8、D【解析】

根據兩個圖形的數據進行觀察比較，即可判斷各選項的真假．【詳解】在A中，由整個互聯網行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯網行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，所以是正確的；在B中，由整個互聯網行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯網行業(yè)崗位分布條形圖得到：，互聯網行業(yè)從業(yè)技術崗位的人數超過總人數的，所以是正確的；在C中，由整個互聯網行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯網行業(yè)崗位分別條形圖得到：，互聯網行業(yè)從事運營崗位的人數90后比80后多，所以是正確的；在D中，互聯網行業(yè)中從事技術崗位的人數90后所占比例為，所以不能判斷互聯網行業(yè)中從事技術崗位的人數90后比80后多．故選：D.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計圖表中餅狀圖和條形圖的性質等基礎知識的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.9、C【解析】

結合題意，根據題目中的天的指數值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數值中高于的天數為，即占總天數的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質量越來越好，從第天到第天空氣質量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數在以下，中旬大部分指數在以上，所以該市月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數據的分析，讀懂題意是解題關鍵，并能運用所學知識對命題進行判斷，本題較為基礎.10、B【解析】

利用某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比，本題是一道基礎題.11、A【解析】

根據雙曲線方程（），確定焦點位置，再根據漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線（），所以，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.12、B【解析】

對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數，由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數性質解不等式，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求導得到，討論和兩種情況，計算時，函數在上單調遞減，故，不符合，排除，得到答案?！驹斀狻恳驗椋裕驗?，所以.當，即時，，則在上單調遞增，從而，故符合題意；當，即時，因為在上單調遞增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，則在上單調遞減，從而，故不符合題意.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，轉化為函數的最值問題是解題的關鍵.14、【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：【點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題.15、【解析】

根據題意，建立棱錐體積的函數，利用導數求函數的最大值即可.【詳解】設底面邊長為，則斜高為，即此四棱錐的高為，所以此四棱錐體積為，令，令，易知函數在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐體積的求解，涉及利用導數研究體積最大值的問題，屬綜合中檔題.16、【解析】

根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論.【詳解】設抽取的樣本為，則由題意得，解得.故答案為：【點睛】本題考查了分層抽樣的知識，算出抽樣比是解題的關鍵，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據同角三角函數式可求得，結合正弦和角公式求得，即可求得，進而由三角函數（2）設根據余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，結合三角形面積公式可求得的最大值，即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】（1），則由同角三角函數關系式可得，則，則，所以.（2）設在中由余弦定理可得，代入可得，由基本不等式可知，即，當且僅當時取等號，由三角形面積公式可得，所以四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查了正弦和角公式化簡三角函數式的應用，余弦定理及不等式式求最值的綜合應用，屬于中檔題.18、（1），拋物線；（2）存在，.【解析】

（1）設，易得，化簡即得；（2）利用導數幾何意義可得，要使，只需.聯立直線m與拋物線方程，利用根與系數的關系即可解決.【詳解】（1）設，由題意，得，化簡得，所以動圓圓心Q的軌跡方程為，它是以F為焦點，以直線l為準線的拋物線.（2）不妨設.因為，所以，從而直線PA的斜率為，解得，即，又，所以軸.要使，只需.設直線m的方程為，代入并整理，得.首先，，解得或.其次，設，，則，..故存在直線m，使得，此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，涉及拋物線中的存在性問題，考查學生的計算能力，是一道中檔題.19、（1），；（2）1．【解析】

（1）根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；（2）設直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【詳解】（1）∵點F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，P（2，y0）是拋物線上一點，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x，∵點P（2，n）（n＞0）在拋物線C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴設直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是y2+4my﹣4＝0的兩個不同實根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，（），（x2﹣2，），（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m）2+1．∴當m時，取最大值1．【點睛】本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．20、（2），（2），的最大整數是2．（3）存在，【解析】

（2）由可得（），然后把這兩個等式相減，化簡得，公差為2，因為，，為等比數列，所以，化簡計算得，，從而得到數列的通項公式，再計算出，，，從而可求出數列的通項公式；（2）令，化簡計算得，從而可得數列是遞增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值為，所以可得答案；（3）由題意可知，，即，這個可看成一個數列的前項和，再寫出其前（）項和，兩式相減得，，利用同樣的方法可得.【詳解】解：（2）由題，當時，，即當時，①②①-②得，整理得，又因為各項均為正數的數列．故是從第二項的等差數列，公差為2．又恰為等比數列的前3項，故，解得．又，故，因為也成立．故是以為首項，2為公差的等差數列．故．即2，4，8恰為等比數列的前3項，故是以為首項，公比為的等比數列，故．綜上，（2）令，則