《淺談化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透技巧》10000字（論文）

淺談化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透技巧目錄1引言 摘要：化歸數(shù)學(xué)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要思想，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)里.盡管中學(xué)數(shù)學(xué)教師越來(lái)越重視化歸數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透，但他們對(duì)化歸數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的運(yùn)用仍缺乏認(rèn)識(shí).本文先通過(guò)歸納整理化歸數(shù)學(xué)思想方法滲透在教學(xué)中的研究背景意義及方法，梳理出幾個(gè)主要化歸數(shù)學(xué)思想方法，然后給出化歸數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中引導(dǎo)途徑，最后根據(jù)以上內(nèi)容提供了具體教學(xué)案例.以更好認(rèn)識(shí)化歸數(shù)學(xué)思想及其在中學(xué)教學(xué)中滲透的重要性.關(guān)鍵詞：化歸數(shù)學(xué)思想；中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)滲透1引言關(guān)于化歸思想，其產(chǎn)生雖然不是源于數(shù)學(xué)，但它產(chǎn)生于人們固定思維形式——就是用已經(jīng)有且了解的方法解決當(dāng)前面對(duì)的新問(wèn)題.因此，由于數(shù)學(xué)本身公理化的方法，新概念總由已經(jīng)存在的概念來(lái)定義.并在此基礎(chǔ)上處理和解決各種嶄新、未知問(wèn)題.所以，化歸思想在數(shù)學(xué)里起著不可替代的地位，特別在中學(xué)數(shù)學(xué)里，化歸思想更起著舉足輕重的作用.1.1化歸數(shù)學(xué)思想的研究背景及意義在數(shù)學(xué)里，化歸是指將未解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為相對(duì)容易解決或已經(jīng)解決的問(wèn)題，最終領(lǐng)得原問(wèn)題解的過(guò)程.化歸數(shù)學(xué)思想方法支配著非常多數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)中最基本思想方法便是化歸數(shù)學(xué)思想方法，這表現(xiàn)在它不僅注重揭示聯(lián)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換，還要求在轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)化過(guò)程里實(shí)現(xiàn)將問(wèn)題規(guī)范化的目的，并且化歸數(shù)學(xué)思想方法中轉(zhuǎn)變能滲透到大多數(shù)其他思維方法里.因此，化歸在中學(xué)里，是一種重要數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)方法.數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)變方法即化歸數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)思想方法的重要組成部分，在現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)各個(gè)部分中，均體現(xiàn)化歸思想.現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)里，越來(lái)越多的教師認(rèn)識(shí)到化歸的重要性，并且慢慢開(kāi)始重視在日常教學(xué)中運(yùn)用滲透化歸數(shù)學(xué)思想.不過(guò)，在日常教學(xué)中教師仍然讓學(xué)生們進(jìn)行死板記憶所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，沒(méi)有將一個(gè)概念的產(chǎn)生及發(fā)展的過(guò)程抽象和概括出來(lái)，在解答問(wèn)題時(shí)只重視得到結(jié)果，忽略對(duì)整個(gè)思路的分析及展示，無(wú)法將待解決問(wèn)題歸納轉(zhuǎn)化到化歸數(shù)學(xué)思想方法中.因此化歸數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)學(xué)生們無(wú)法了解，那對(duì)學(xué)生們化歸數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)無(wú)法達(dá)到預(yù)期效果.通過(guò)對(duì)化歸的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行研究性的學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，因?yàn)樵谕ㄟ^(guò)對(duì)化歸的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行研究時(shí)，學(xué)生就可以充分地掌握其中所包括的基本規(guī)則，從而培養(yǎng)他們具有與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造力，化歸的數(shù)學(xué)思想方法也將更加有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)及遷移能力的改善和提高.教師在探求數(shù)學(xué)化歸思想在教學(xué)中滲透時(shí)，會(huì)更注意化歸數(shù)學(xué)思想方法在日常中的運(yùn)用，并能把化歸數(shù)學(xué)思想更好的融入中學(xué)教學(xué)里.因此通過(guò)研究化歸，對(duì)教師保證數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生提高平時(shí)學(xué)習(xí)效率和擺脫固定模仿等許多方面有不可忽視的意義.1.2化歸數(shù)學(xué)思想的研究現(xiàn)狀遠(yuǎn)在中國(guó)的古代，就有關(guān)于化歸數(shù)學(xué)思想的記載.在《九章算術(shù)》中，盡管寫(xiě)的比較抽象，但提到過(guò)有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，假如能把問(wèn)題中各種率之間關(guān)系找出來(lái)，在通過(guò)乘使之散，齊同使之通，那么問(wèn)題就可歸結(jié)為今有術(shù)求解.在其中寫(xiě)道的出入相補(bǔ)原理，就充分的體現(xiàn)了化歸數(shù)學(xué)思想；祖暅曾經(jīng)首先提出過(guò)這樣一條簡(jiǎn)單的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”其中,在這條簡(jiǎn)單的原理中“冪”所指的其實(shí)就是一個(gè)水平的切面的積，“勢(shì)”則實(shí)際上是用來(lái)表示其高.這條簡(jiǎn)單的原理其實(shí)意思就是：如果一個(gè)地方有兩個(gè)幾何體，它們的高相等，并且對(duì)于它們之間所有高相同的地方，其水平的切面都會(huì)有相同的面積，那么這兩個(gè)幾何體就能夠說(shuō)明它們具有相同的體積.其實(shí)這條幾何原理也許我們可以簡(jiǎn)單地理解成：如果將一些書(shū)物疊起來(lái)放在一個(gè)水平的桌面上，然后再動(dòng)動(dòng)手去推幾下就能夠改變這堆書(shū)物的外形，但是這堆書(shū)物的高度并沒(méi)有任何變化，所以這些書(shū)物的體積在變型之前都是完全相等的.祖暅不僅被認(rèn)為是最早提出這個(gè)幾何體原理的人，還順利地把這一幾何體原理運(yùn)用于對(duì)圓球體積進(jìn)行推理與計(jì)算.現(xiàn)在人們將此條原理統(tǒng)統(tǒng)地命名為祖暅原理.到如今，在任爽《中學(xué)數(shù)學(xué)中化歸思想的研究》中，她通過(guò)歷史發(fā)展的角度，將數(shù)學(xué)中的化歸思想分別進(jìn)行縱向和橫向的對(duì)照分析，給出了幾點(diǎn)我們?nèi)绾卧谥袑W(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)的提議：第一，教師應(yīng)不斷加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的記憶以完備知識(shí)框架；第二，在課堂教學(xué)里有意識(shí)進(jìn)行對(duì)學(xué)生解決待解問(wèn)題能力的培養(yǎng)；第三，理解和掌握一些以化歸數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)的數(shù)學(xué)答題方法.除此之外，楊文華在《化歸思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透》一文中，將化歸數(shù)學(xué)思想方法滲透應(yīng)用于立體幾何、解析幾何和代數(shù)等問(wèn)題中，使他學(xué)習(xí)并掌握了在中學(xué)教學(xué)中滲透化歸數(shù)學(xué)思想方法的一些知識(shí)和技巧：即一準(zhǔn)二快三巧，準(zhǔn)是對(duì)于概念、性質(zhì)記憶要正確；快的前提之一就是我們要掌握所需要使用的內(nèi)容，運(yùn)算技能也要熟練；巧就是通過(guò)一些合乎道理的轉(zhuǎn)化，巧妙的對(duì)其進(jìn)行了化歸.2化歸數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵與方法在中學(xué)數(shù)學(xué)里，化歸是解決某些問(wèn)題的重要手段和方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué).因此，要充分挖掘化歸具體含義及其所蘊(yùn)含的思維方法，且將化歸數(shù)學(xué)思想滲透于教學(xué)里，使學(xué)生既能了解知識(shí)，又能在掌握知識(shí)時(shí)學(xué)習(xí)化歸數(shù)學(xué)思想方法，并把這種思想能用于日常思考和分析里.2.1化歸數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵化歸數(shù)學(xué)思想方法就是對(duì)待需要解決的未解問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法，將待解決問(wèn)題化歸成相比較而言更方便解答或已經(jīng)解答出的問(wèn)題，使待解決的問(wèn)題得以解決的一種解題方法.把陌生題目轉(zhuǎn)化為自己熟悉的題目就使化歸數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)里的目的，還可以是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)換成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題、把要解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解出的題目.其實(shí)，在解決問(wèn)題時(shí)，目的就是要縮小待解決和已解決問(wèn)題之間的差別最終得到問(wèn)題答案.它就是將一個(gè)未知的知識(shí)逐步變?yōu)橐粋€(gè)已知的知識(shí),求解一個(gè)系統(tǒng)對(duì)另一個(gè)目標(biāo)體系不斷地靠近的過(guò)程.在大多數(shù)思想方法里都包含著化歸思想，處處都存在著化歸這種思想方法.而且，化歸思想方法不光是各種思考方式的基本，也是其他思想方式的靈魂.因此,化歸數(shù)學(xué)思想方法常被視為解決問(wèn)題的基礎(chǔ)方法.2.2化歸數(shù)學(xué)思想常見(jiàn)的方法要解決待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索過(guò)程通常便是利用已知某些條件將待解決問(wèn)題進(jìn)行一系列轉(zhuǎn)化歸結(jié)，最后達(dá)到將待解決問(wèn)題解出的目的，并且某些時(shí)候，如果進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，就能夠準(zhǔn)確并且迅速的解決待解決問(wèn)題.但實(shí)際上，學(xué)生經(jīng)常有這種感受：知道轉(zhuǎn)化，也想轉(zhuǎn)化，但卻無(wú)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.所以，要實(shí)現(xiàn)正確轉(zhuǎn)化，教師不光要引導(dǎo)學(xué)生掌握常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化手段、方法，還要引導(dǎo)他們總結(jié)轉(zhuǎn)化歸結(jié)方法，以提高平時(shí)的解題能力.以下給出幾種主要的化歸數(shù)學(xué)思想方法：換元法、轉(zhuǎn)化思維角度法、構(gòu)造法、分合法、特殊化手段.另外，還有很多種化歸手段，如把某些實(shí)際問(wèn)題通過(guò)利用數(shù)學(xué)理論轉(zhuǎn)化成具體數(shù)學(xué)問(wèn)題、映射法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等等，它們可以使問(wèn)題變得直觀、具體、簡(jiǎn)單，以達(dá)到解題的目的.總之，解決數(shù)學(xué)待解決問(wèn)題的原則，就是利用已知條件對(duì)待解決問(wèn)題進(jìn)行一系列恰當(dāng)變換歸結(jié)和解決，從而降低解決問(wèn)題難度，靈活的變換能產(chǎn)生方法和速度，熟練而恰當(dāng)?shù)淖儞Q能準(zhǔn)確解決問(wèn)題.事實(shí)上，將化歸數(shù)學(xué)思想滲透到待解決問(wèn)題的事例有很多，但其所包含的方法不是僅僅幾種類(lèi)型就可以概括了，日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要認(rèn)真考慮各種不同問(wèn)題，及時(shí)總結(jié)各種轉(zhuǎn)化歸結(jié)方法，這樣學(xué)生解決問(wèn)題的能力和靈敏性就會(huì)逐步提高了.2.2.1換元法對(duì)于換元法，是當(dāng)我們需要解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)已知條件特點(diǎn)性質(zhì)引入新變量，對(duì)待解決問(wèn)題進(jìn)行變換形成用新變量表達(dá)的問(wèn)題，并通過(guò)解決這個(gè)新問(wèn)題，以達(dá)到解決原本問(wèn)題的目的.其實(shí)，轉(zhuǎn)化才是換元的本質(zhì)，因此在進(jìn)行換元的關(guān)鍵就是要建立一個(gè)構(gòu)造元并重新設(shè)元，根據(jù)一個(gè)等量替代理論來(lái)變換所要研究的對(duì)象，將待解決的問(wèn)題融入到一個(gè)新對(duì)象所包含的知識(shí)背景中去進(jìn)行研究，這樣就可以讓復(fù)雜的問(wèn)題更加簡(jiǎn)單易于處理.在換元法里，可以化分為整、化高階為低階，而且換元法對(duì)于方程、函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角等諸多復(fù)雜問(wèn)題的理論研究里，也可以具有非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用.換元法包含形式有很多，但它們之間都有一共同原則，就是改變待解決問(wèn)題結(jié)構(gòu)以形成新問(wèn)題，讓待解決問(wèn)題變得可以被解決，且換元法是化歸數(shù)學(xué)思想里重要體現(xiàn).換元計(jì)算方法中最主要的換元方法方式是:局部進(jìn)行換元、三角進(jìn)行二次換元、均值進(jìn)行換元等等.比如，當(dāng)遇到x＋y=S這種形式時(shí)，我們可以利用換元法中的均值換元形式，設(shè)x=S/2+t,y=S/2-t解決問(wèn)題等.在采用換元法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題時(shí),應(yīng)該嚴(yán)格遵守運(yùn)算簡(jiǎn)單、利于標(biāo)準(zhǔn)化的基本原則,并且記住在換元后再次選取一個(gè)新的變量范圍,且新變量的范圍還得與原來(lái)變量所取值的范圍相適應(yīng).換元法最神奇的一點(diǎn)就是可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.比如原來(lái)一層套一層的運(yùn)算，直接計(jì)算的話非常復(fù)雜，甚至無(wú)法下手.但是經(jīng)過(guò)換元之后，復(fù)雜計(jì)算就變?yōu)榻?jīng)常見(jiàn)到的加減乘除四則混合運(yùn)算，換元法可以脫離線性思維的局限，讓藝術(shù)的美感顯露在數(shù)學(xué)中.2.2.2轉(zhuǎn)化思維角度法轉(zhuǎn)化思維角度，顧名思義，是一種轉(zhuǎn)換視角思維.如果從發(fā)展的角度看問(wèn)題，從多角度觀察同一個(gè)現(xiàn)象，就會(huì)對(duì)這個(gè)事物有更全面的認(rèn)識(shí)；如果從多層次、多方面、多角度思考同一個(gè)問(wèn)題，可能會(huì)得到一個(gè)更完整的解決方案.在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，主要有符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言.我們常常需要將一種語(yǔ)言“翻譯”成另一種語(yǔ)言來(lái)解決所要解決的問(wèn)題，以揭示命題實(shí)質(zhì)特點(diǎn)，最后找回可以解決待解決問(wèn)題的辦法.因此，當(dāng)用常規(guī)思維難以解決某些問(wèn)題時(shí)，要考慮從其他角度來(lái)研究這問(wèn)題.就像一些三角題和代數(shù)題中常含有潛在的幾何背景，當(dāng)我們通過(guò)利用其背景圖形某些性質(zhì)去進(jìn)行分析時(shí)，它能使較抽象的概念和復(fù)雜的定量關(guān)系變得幾何直觀，從而使待解決問(wèn)題的思路和結(jié)論便于找到.如果已知x,y滿(mǎn)足式子(x-2)2-y2=3，求y/x最大值.雖然題目的給出形式是代數(shù)形式，但其背后卻存在著較為明顯的幾何背景，即我們可以利用將代數(shù)語(yǔ)言變換為幾何語(yǔ)言的方法，解決此問(wèn)題.設(shè)y/x=K，即y=Kx，問(wèn)題被我們轉(zhuǎn)化為：要去找一點(diǎn)p，它不僅要在圓上，還滿(mǎn)足它與原點(diǎn)連線斜率最大.做op切圓于點(diǎn)p，則Kop最大(如圖2.1)，又因?yàn)閠anθ=3?，所以原問(wèn)題中y/x最大就為3?.像上面這個(gè)題目，我們通過(guò)將代數(shù)問(wèn)題“翻譯”成幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換思維，極大的簡(jiǎn)化了的題目的步驟、降低了解題的難度.2.2.3構(gòu)造法構(gòu)造法，就是根據(jù)題目中一個(gè)已知條件或者說(shuō)明結(jié)論的基礎(chǔ)和其本質(zhì)、特征作為依據(jù)，構(gòu)造出一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，且這個(gè)新的模型必須符合一個(gè)新的條件或者說(shuō)明結(jié)論，最后通過(guò)運(yùn)用構(gòu)造得出的新數(shù)學(xué)模型去分析求解一個(gè)原本問(wèn)題的一種方法.它在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有著很寬泛的應(yīng)用.構(gòu)造可以劃分為：數(shù)列的構(gòu)造、圖形的構(gòu)造、反例的構(gòu)造、結(jié)論的構(gòu)造、數(shù)學(xué)關(guān)系的構(gòu)造(例如：方程的構(gòu)造、函數(shù)的構(gòu)造、不等式的構(gòu)造等)、復(fù)數(shù)或者向量的構(gòu)造等.如果已知a，b，c是三個(gè)實(shí)數(shù)，且它們滿(mǎn)足c2-ab-16，b=8-a這兩個(gè)關(guān)系，則證明a與b相等.因?yàn)檫@個(gè)題目里有三個(gè)未知數(shù),但由于只有兩個(gè)方程,所以我們可以首把c消除,這樣就把一個(gè)已知三元方程變換成關(guān)于ab的一元二次方程,又由于已有的條件當(dāng)中都包含了ab和a+b，我們馬上也能聯(lián)想到韋達(dá)定律,那么我們就可以直接采用這點(diǎn)來(lái)做構(gòu)造法,把已經(jīng)知道的等式組合，來(lái)構(gòu)造成一元二次方程,這樣就開(kāi)始可以用來(lái)去解a,b了.首先構(gòu)造一個(gè)方程x2-8x+(c2+16)=0，且這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)解分別為a、b，解得x=4，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根4，因此得到a與b相等.運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行分析和解題時(shí)，必須具備豐富的數(shù)學(xué)常識(shí)，足夠的邏輯聯(lián)想能力，獨(dú)特的觀察、機(jī)敏的邏輯思考能力.不過(guò)，如果我們掌握了運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，有利于增強(qiáng)靈活運(yùn)用和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)的能力，提升了分析和求解這個(gè)問(wèn)題方面的水平，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力和邏輯思維能力.2.2.4分合法分合法，就是在我們需要解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，把解答問(wèn)題中某個(gè)對(duì)象看作成一個(gè)整體，之后根據(jù)我們需要解決這個(gè)問(wèn)題合理的需要，把這個(gè)整體再重新分解出來(lái)形成一個(gè)可以便于我們求解的幾個(gè)部分，然后將各個(gè)部分所計(jì)算和求得的結(jié)果，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐帕泻徒M合，使原本待解決的難題能夠得到分析和求解的一種數(shù)學(xué)問(wèn)題的方式.其實(shí)，在我們解題過(guò)程中，有些時(shí)候也會(huì)分解問(wèn)題過(guò)程中的已知條件，然后將符合各部分的條件的對(duì)象的集合求出，那么這個(gè)時(shí)候時(shí)候，符合各個(gè)部分條件的那些對(duì)象的集合的交集就是要求得的解；但有的時(shí)候，是將問(wèn)題直接作為要分解的對(duì)象，即是把整體分解成局部的和；還有的時(shí)候，是將問(wèn)題看作是某一整體的其中一部分，這時(shí)就是把局部分解成整體和另一個(gè)局部的差.在分合法中，主要分為形體分割法、軌跡交會(huì)法、補(bǔ)集法等.例如，通過(guò)形體分割法，相對(duì)復(fù)雜的圖案面積能利用已掌握的扇形、三角形等基本圖形面積公式計(jì)算，弓形面積就等于所在扇形面積減三角形面積.如果關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1|<a的解集是φ，則a的取值范圍是？首先根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，我們可以知道|x+2|+|x-1|表示的是數(shù)軸上的點(diǎn)x到-2與1的距離之和，并且其距離最小值為3，我們可以利用補(bǔ)集法反向考慮這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)楫?dāng)a>3時(shí)，解集就不能為φ，所以如果解集是φ，那么a取值范圍應(yīng)為a≤3.日常對(duì)分合法進(jìn)行應(yīng)用練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維以及逆向思維能力有積極作用，如果靈活掌握此方法，可以提高學(xué)生的解題能力.2.2.5特殊化手段特殊化，是從考慮一組給定的集合到該集合一個(gè)較小子集或僅一個(gè)對(duì)象的過(guò)渡.如果我們的問(wèn)題比較困惑或者是難以解決，我們就可以通過(guò)將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行特殊化的方法和手段，得出一般性的分析和結(jié)論并最終得到這個(gè)問(wèn)題的正確答案，對(duì)癥下藥以得出這個(gè)問(wèn)題的正確答案.特殊化比較常用的有特殊圖像、特殊函數(shù)、特殊點(diǎn)法等.例如下面這個(gè)問(wèn)題，常數(shù)a、b、c是否存在，且可以使等式1.22+2.32+…n·(n+1)2=n(n+1)/12·(an2+bn+c)對(duì)一切自然數(shù)都可以完全成立？其實(shí)這個(gè)問(wèn)題是一道開(kāi)放型題目，a、b、c很難直接被我們求出，因此我們考慮運(yùn)用特殊取值法，又由n的任意性，取n=1，2，3帶入原式，組成方程組后，可以通過(guò)上述方程組，求得a，b，c值，又因?yàn)榍蟮玫闹挡⒉痪哂幸话阈?，所以最后我們還要通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明等式成立，即最后又將問(wèn)題由特殊到一般的轉(zhuǎn)化.通過(guò)將一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行特殊化，其解題的困難大大降低，然后通過(guò)分析得出的結(jié)論，可以讓其在解題的過(guò)程中變得更加簡(jiǎn)潔和自然.這個(gè)特殊化的意義就是可以廣泛地適用于不同的題型里，尤其特別是像比較客觀的題目，將這個(gè)題目進(jìn)行特殊化可以有效地避免繁瑣的邏輯思考和計(jì)算.通過(guò)對(duì)這個(gè)題目進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的特殊化分析和解答，還可以拓寬解題的思路，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).3化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透技巧“滲透”的形式是“教者有意，學(xué)者無(wú)心”，通過(guò)結(jié)合具體內(nèi)容知識(shí)，不斷反復(fù)向?qū)W生介紹化歸數(shù)學(xué)思想，并通過(guò)不斷積累和應(yīng)用，不斷提升學(xué)生對(duì)其認(rèn)識(shí)和理解.不過(guò)以上提到的“反復(fù)”，并不代表說(shuō)話時(shí)的重復(fù)解釋說(shuō)明，反復(fù)的目的其實(shí)是在學(xué)生頭腦里產(chǎn)生對(duì)于化歸的“思維定勢(shì)”.3.1引導(dǎo)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)中得概念和定理蘊(yùn)藏著豐富的化歸數(shù)學(xué)思想方法.然而事實(shí)上，概念的分析形成和對(duì)定理方法證明的過(guò)程中大部分均是化歸數(shù)學(xué)思想方法的典型實(shí)際應(yīng)用，比如復(fù)數(shù)相等的概念包括了化歸數(shù)學(xué)思想，即根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，當(dāng)實(shí)部、虛部分別分離情況下，復(fù)數(shù)范圍問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍問(wèn)題去進(jìn)行處理.在進(jìn)行概念和定理學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生們就可以在此過(guò)程中形成一套固定且標(biāo)準(zhǔn)化的問(wèn)題解決模式和方法，并且這是化歸過(guò)程中的化歸目標(biāo)，因此，要把數(shù)學(xué)模型在教學(xué)中不斷鞏固，為學(xué)生可以找到化歸策略奠定基礎(chǔ).因此，教師將基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)在課堂上講授給每一個(gè)學(xué)生時(shí)，不能僅是把所有的知識(shí)都灌輸給每一個(gè)學(xué)生，而是要求教師應(yīng)該盡量充分調(diào)動(dòng)他們邏輯思維的主動(dòng)性，使他們能夠可以在課堂中總結(jié)出化歸的規(guī)律、理解其實(shí)質(zhì)，提高他們的綜合數(shù)學(xué)和邏輯能力.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很多定義概念都包括著化歸思想.例如，在中學(xué)數(shù)理幾何中“弦切角定理”的證明中，關(guān)于夾弧AB的弦切角∠CAB與圓周角∠ADB之間的關(guān)系（如圖3.1），若直接驗(yàn)證其是否為相等，會(huì)比較困難，所以我們不能直接去證明；但是如果當(dāng)弦AB為圓的直徑時(shí)，可以比較簡(jiǎn)單的證明所得結(jié)論.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，通過(guò)作直徑AE的方法，將這個(gè)問(wèn)題化歸成一個(gè)特殊情形，并且結(jié)合定理同弧所對(duì)的圓周角相等，便很容易得出結(jié)果.第二章所提到的特殊化法就滲透在此問(wèn)題所運(yùn)用的化歸思想中，其蘊(yùn)含了由一般化性變化為特殊性的思想，即特殊化往往主要表現(xiàn)在范圍的收縮或局部限制，即從一個(gè)更加大規(guī)模問(wèn)題向一個(gè)更加小規(guī)模問(wèn)題進(jìn)行過(guò)渡，或從某一類(lèi)型問(wèn)題向其某一子類(lèi)型問(wèn)題進(jìn)行過(guò)渡.并且在這個(gè)問(wèn)題的證明過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫\(yùn)用了化歸數(shù)學(xué)思想方法，讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單且可證.教師在平時(shí)教學(xué)活動(dòng)中，要不斷激發(fā)學(xué)生去大膽進(jìn)行猜想，從特殊入手，去探尋解決問(wèn)題有效方式和方法.3.2引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想在數(shù)百年的數(shù)學(xué)發(fā)展中，關(guān)于很多問(wèn)題的解決，都已經(jīng)有了固定的模式和套路.但數(shù)學(xué)是變化無(wú)窮的學(xué)科，因此在我們跟學(xué)生探求問(wèn)題答案的過(guò)程中，很多情況下都需要運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想，把一些較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題去解決.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)一般的方法可以證明出某些結(jié)論，比如角相等、線段相等、線段垂直等.但有些結(jié)論比較特殊，但我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為一般結(jié)論來(lái)證明.比如在幾何題中的關(guān)鍵是添加正確的輔助線，是解題難點(diǎn)，像函數(shù)y=f(x)圖像與方程f(x)

=0的x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是方程的解，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果要確定函數(shù)過(guò)程中某些變量，能將它們轉(zhuǎn)換為求解這些變量所滿(mǎn)足的方程，將要解決的函數(shù)問(wèn)題用構(gòu)造函數(shù)圖像的方法，去形象的展現(xiàn)出來(lái)，然后通過(guò)求解方程得到最終解，這樣提升了問(wèn)題求解的效率.如果學(xué)生日常解題過(guò)程中能夠理解并運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想，許多問(wèn)題也就迎刃而解了.總之，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)把握好每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，讓化歸數(shù)學(xué)思想不斷滲透在教學(xué)過(guò)程里，讓學(xué)生開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)的感性認(rèn)識(shí)逐漸上升為理性認(rèn)識(shí)，以便能更靈活地對(duì)待數(shù)學(xué)難題.例如，解方程組x+ay+a2z=a3；x+by+b2z=b3；x+cy+c2z=c3.這時(shí)學(xué)生會(huì)首先想到直接用三元一次方程組消元法去解題(略).但教師還可以引導(dǎo)學(xué)生考慮另一種解法，學(xué)生可以將原方程組改寫(xiě)為a3-a2z-ay-x=0；b3-b2z-by-x=0；c3-c2z-cy-x=0.考慮到方程根的定義,可以把a(bǔ)，b，c看作關(guān)于t的三次方程t3-zt2-yt-x=0三個(gè)根.通過(guò)回憶韋達(dá)定理得：abc=x，ab+bc+ac=y，a+b+c=z.原方程組解便解出了，為：x=abc，y=ab+bc+ca，z=a+b+c.當(dāng)比較例題中兩種解法時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，第一種方法作是通用的一般方法，但解題過(guò)程非常麻煩，需要大量的計(jì)算，費(fèi)力還不能保證準(zhǔn)確率，所以這種方法舍去；第二種方法，構(gòu)造一個(gè)滿(mǎn)足待解決問(wèn)題條件的以t為自變量的三次方程，構(gòu)造元素是a，b，c構(gòu)造支架是由原方程轉(zhuǎn)化得到的關(guān)系式“t3-zt2-yt-x=0”.這第二種解法里，利用第二章提到的化歸數(shù)學(xué)思想方法中構(gòu)造法，將問(wèn)題中已知條件看為新問(wèn)題的元素，數(shù)學(xué)里一些關(guān)系式是新問(wèn)題的支架，在思維中“構(gòu)建”一種新建筑物的方法在化歸中具有一定意義.在解決問(wèn)題時(shí)，這種思維創(chuàng)造性活動(dòng)具有“構(gòu)造”特點(diǎn)，我們可以把它稱(chēng)為構(gòu)造性思維，運(yùn)用構(gòu)造性思維解題的方法，便就是構(gòu)造法.也就是說(shuō)，利用聯(lián)想和化歸思想去構(gòu)造一些輔助圖形模型、方程及函數(shù)，幫助解決原問(wèn)題，這種解題方法可以視為化歸中構(gòu)造解題方法.在利用化歸數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)題目的解決可以運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想方法，那么從題目初始分析，到解答過(guò)程，最后得出結(jié)果，都是不斷由繁到簡(jiǎn)，讓題目里關(guān)系都逐漸明了，學(xué)生在解題時(shí)可以感受到步驟變得清晰，且能夠按照邏輯一步一步得到問(wèn)題答案.因此，化歸數(shù)學(xué)思想在解題時(shí)是一種重要解題思維、一種基本思維策略.但是，要深入分析問(wèn)題，找到化歸方向，就要抓問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，注意考察問(wèn)題意義，抓問(wèn)題關(guān)鍵，而不是總想著一套解決問(wèn)題的模式.只有這樣，才能確定轉(zhuǎn)化突破口，找到轉(zhuǎn)換方法，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.即通過(guò)進(jìn)行這樣的螺旋上升變式過(guò)程，學(xué)生能逐漸體會(huì)到化歸數(shù)學(xué)思想的魅力.3.3引導(dǎo)學(xué)生在課后的知識(shí)歸納中運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想 在教材里，通過(guò)采用蘊(yùn)含信息披露的方法，將化歸數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)融入知識(shí)框架中.因此，教師很有必要在課后引導(dǎo)學(xué)生正確總結(jié)歸納和整理概括化歸數(shù)學(xué)思想.所以，教師首先應(yīng)該將概括化歸數(shù)學(xué)思想正確的融入到教學(xué)規(guī)劃中，引導(dǎo)學(xué)生有目的、有步驟的參與提煉和總結(jié)概括化歸數(shù)學(xué)思想過(guò)程，尤其在章節(jié)結(jié)束或單元知識(shí)復(fù)習(xí)中，概括性的指出支配具體知識(shí)的化歸數(shù)學(xué)思想方法，這樣既能不斷增強(qiáng)和提高學(xué)生運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)的思想和解決方法的意識(shí)，也能促使學(xué)生對(duì)更好運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題具體操作方法有更層次深理解，有利于培養(yǎng)和幫助學(xué)生形成獨(dú)立分析、活學(xué)活用所學(xué)知識(shí)和解決問(wèn)題的新思維能力.一般而言，歸納總結(jié)和運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想方法大致可劃分為兩個(gè)步驟:一是揭示化歸數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容原理和規(guī)律，即把新知識(shí)轉(zhuǎn)換為舊知識(shí)去研究和學(xué)習(xí)，把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已被解決的問(wèn)題去研究和解決；二是進(jìn)而闡述清楚化歸數(shù)學(xué)思想方法與具體知識(shí)之間相關(guān)的關(guān)系，即將化歸數(shù)學(xué)思想方法與具體知識(shí)的學(xué)習(xí)相結(jié)合進(jìn)行研究和實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)從個(gè)別認(rèn)識(shí)到一般認(rèn)識(shí)的上升.比如，解方程(x2-2)2+(x2-2)-2=0和(x+2)/(x-1)+(x-1)/(x+2)=5/2，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，相較于直接解出方程，運(yùn)用第二章提到的化歸數(shù)學(xué)思想方法里換元法，解決問(wèn)題更容易，即把x2-2、x+2、x-1各看為一個(gè)整體帶入原方程得到一個(gè)新方程，解出新方程那么原方程答案就解決出來(lái)了.在研究解決上述問(wèn)題之后基礎(chǔ)上，將那些已經(jīng)能夠充分利用換元法來(lái)解決的方程特點(diǎn)進(jìn)行理論推廣和分析，并由此概括出換元法可以把復(fù)雜方程轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單方程.即如果從簡(jiǎn)化的角度看，換元法是一種化歸方法，將無(wú)法處理的代數(shù)式化歸成我們熟悉的代數(shù)式，便可以將其納入已知領(lǐng)域進(jìn)行處理.所以學(xué)生可以清楚意識(shí)到，化歸數(shù)學(xué)思想方法也是利用換元法進(jìn)行來(lái)進(jìn)行的一種高度概括.由此可見(jiàn)，在進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過(guò)程中，教師需要不斷地總結(jié)化歸的數(shù)學(xué)方法和解題的一般性原理，善于挖掘教材中所包含的化歸數(shù)學(xué)思想，提煉其中所包含的思想.把這種化歸數(shù)學(xué)思想的課堂教學(xué)融入到每一個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生真正體會(huì)到這種化歸的數(shù)學(xué)思想所存在的形式和作用.并且能夠在對(duì)定律和公式的探究與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中深化歸思想，在數(shù)學(xué)概念的形成和實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決的過(guò)程中了解到化歸的數(shù)學(xué)思想，在對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納整合總結(jié)的過(guò)程中概括化歸的數(shù)學(xué)思想.使得學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到，在數(shù)學(xué)中，新往往是轉(zhuǎn)化為舊、復(fù)雜往往是轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單.4總結(jié)與反思本人通過(guò)以專(zhuān)家學(xué)者的相關(guān)理論為基礎(chǔ)來(lái)研究化歸數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透技巧，所以關(guān)于此方面收獲了很多，也發(fā)現(xiàn)了自己的不足之處.總結(jié)了大概幾點(diǎn)如下：首先，化歸數(shù)學(xué)的思想被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，重視這一理念在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，對(duì)于改變當(dāng)前重結(jié)論輕過(guò)程、重知識(shí)輕方法的教學(xué)現(xiàn)狀具有重要意義.其次，在將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與教學(xué)同時(shí)進(jìn)行，使其知識(shí)學(xué)習(xí)與能力培養(yǎng)相結(jié)合，需要一段時(shí)間訓(xùn)練和逐步滲透.教師不光培養(yǎng)