2023-2024學年北京豐臺區(qū)初三（上）期中數(shù)學試題及答案

試題PAGE1試題2023北京豐臺初三（上）期中數(shù)學一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1.下列四個品牌圖標中，是中心對稱圖形的是（）A.B.C.D.2.用配方法解一元二次方程x2-8x+3=0，此方程可化為（）A.(x-4)2=13 B.(x+4)2=13 C.(x-4)2=19 D.(x+4)2=193.圖中的五角星圖案，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后，能與自身重合，則的值至少是（）A.144 B.120 C.72 D.604.在平面直角坐標系中，將拋物線先向左平移個單位，再向下平移個單位，所得拋物線為（）．A. B.C. D.5.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，關(guān)于a、c的符號判斷正確的是（）A.， B.，C.， D.，6.雷達通過無線電的方法發(fā)現(xiàn)目標并測定它們的空間位置，因此雷達被稱為“無線電定位”．現(xiàn)有一款監(jiān)測半徑為的雷達，監(jiān)測點的分布情況如圖，如果將雷達裝置設(shè)在點，每一個小格的邊長為，那么能被雷達監(jiān)測到的最遠點為（）．A.點 B.點 C.點 D.點7.二次函數(shù)（）的圖象是拋物線，自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表：…………下列說法錯誤的是（）A.拋物線的開口向上B.拋物線的對稱軸是C.拋物線與軸的交點坐標為D.二次函數(shù)的最小值為8.兩塊完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，將三角板繞直角頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），如圖所示．以下結(jié)論錯誤的是（）A.當時，與的交點恰好為中點．B.當時，恰好經(jīng)過點．C.在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時刻，使得．D.在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.方程的解是_____．10.在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標為______．11.寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，2）的拋物線的解析式________________．12.如圖，將繞點點順時針旋轉(zhuǎn)得到，邊，相交于點，若，則________．13.在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，．則m_____n（填“＞”，“＝”或“＜”）．14.若函數(shù)y=x2﹣6x+m的圖象與x軸只有一個公共點，則m=_____．15.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，是的直徑，弦于點E，寸，寸，則直徑長為_______寸．16.我國三國時期的數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法．例如求方程的正數(shù)解的步驟為：（1）將方程變形為；（2）構(gòu)造如圖1所示的大正方形，其面積是，其中四個全等的矩形面積分別為，中間的小正方形面積為；（3）大正方形的面積也可表示為四個矩形和一個小正方形的面積之和，即；（4）由此可得方程：，則方程的正數(shù)解為．根據(jù)趙爽記載的方法，在圖2中的三個構(gòu)圖（矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點上）①②③中，能夠得到方程的正數(shù)解的構(gòu)圖是_____（只填序號）．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20題6分，第21-22題，每題5分，第23題6分，第24題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17.解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）18.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．求證：A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一個圓上．19.已知：關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，求此時方程的根．20.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）畫出二次函數(shù)的圖象；（3）當時，直接寫出x的取值范圍．21.如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90，且點B的坐標為（4，2）（1）畫出△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA1B1．（2）求點B旋轉(zhuǎn)到點B1所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）22.某學校要設(shè)計校園“數(shù)學嘉年華”活動的項目介紹展板．如圖，現(xiàn)有一塊長，寬的矩形展板，展示區(qū)域為全等的四個矩形，其中相鄰的兩個矩形展示區(qū)域之間及四周都留有寬度相同的空白區(qū)域．如果四個矩形展示區(qū)域的面積之和為，求空白區(qū)域的寬度．23.如圖，在等邊中，是的中點，過點作，且，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接交于點，連接．若，求的長．24.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象平移得到，且經(jīng)過點(1，2)．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）當時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．25.如圖，一位足球運動員在一次訓練中，從球門正前方8m的A處射門，已知球門高為2.44m，球射向球門的路線可以看作是拋物線的一部分．當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球的豎直高度為3m．現(xiàn)以O(shè)為原點，如圖建立平面直角坐標系．（1）求拋物線表示的二次函數(shù)解析式；（2）通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（3）若運動員射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則他應(yīng)該帶球向正后方移動米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方處．26.在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，設(shè)該拋物線的對稱軸為．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范圍．27.如圖，在正方形中，點P是線段延長線上一動點，連接，將線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，作直線交于點E．（1）依題意補全圖形；（2）求證：；（3）用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28.在平面直角坐標系中，給出如下定義：將圖形M繞直線上某一點P順時針旋轉(zhuǎn)，得到圖形，再將圖形關(guān)于直線對稱，得到圖形N．此時稱圖形N為圖形M關(guān)于點P的“二次變換圖形”．已知點．（1）若點，直接寫出點A關(guān)于點P的“二次變換圖形”的坐標；（2）若點A關(guān)于點P的“二次變換圖形”與點A重合，求點P的坐標；（3）若點，半徑為1．已知長度為1的線段，其關(guān)于點P的“二次變換圖形”上的任意一點都在上或內(nèi)，直接寫出點B的縱坐標的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1.【答案】B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，即可進行解答．【詳解】解：A、C、D找不到一個點，使A、C、D繞該點旋轉(zhuǎn)后能與原來的圖形重合，故A、C、D不是中心對稱圖形，不符合題意；B能找不到一個點，使B繞該點旋轉(zhuǎn)后能與原來的圖形重合，故B是中心對稱圖形，符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．2.【答案】A【分析】移項后兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,寫成完全平方式即可.【詳解】x2-8x=-3，x2-8x+16=-3+16，即（x-4）2=13，故選A．【點睛】本題考查了運用配方法解方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.3.【答案】C【分析】五角星圖案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是，并且圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合．【詳解】解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．4.【答案】C【分析】依據(jù)題意，根據(jù)拋物線的頂點式平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，從而判斷得解．【詳解】解：由題意，根據(jù)二次函數(shù)圖象的幾何變換規(guī)律，∵拋物線先向左平移個單位，再向下平移個單位，∴所得拋物線為，故選：．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握并理解圖象的平移變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5.【答案】C【分析】根據(jù)開口方向可得a的符號，根據(jù)拋物線與y軸的交點可得c的符號．【詳解】解：由圖象可知：拋物線開口向下，故，又∵交y軸于正半軸，∴，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的開口向上，；對稱軸在y軸左側(cè)，a，b同號；拋物線與y軸的交點即為c的值．6.【答案】B【分析】以為圓心為半徑作，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，觀察圖象可知，能被雷達監(jiān)測到的最遠點為點．故選：．【點睛】此題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．7.【答案】D【分析】依據(jù)題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，得出答案．【詳解】解：由表格可得，該函數(shù)的對稱軸是直線，∴選項正確；又由表格可以發(fā)現(xiàn)在對稱軸左邊隨的增大而減小，在對稱軸的右邊隨的增大而增大，∴拋物線開口向上，故選項正確；又當時，，∴拋物線與軸交于點，故選項正確；用排除法，可得選項錯誤，故選：．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．8.【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出等邊三角形，判斷出正確，假設(shè)，則可推出，可得與已知矛盾，判斷出錯誤，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于求出與的夾角為，判斷出正確．【詳解】解：∵直角三角板和重合在一起，∴，，：當時，°，設(shè)與交點為，如圖所示，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即與的交點為的中點，故正確；：當時，，∵，∴以點、、構(gòu)成的三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴恰好經(jīng)過，故正確；在旋轉(zhuǎn)過程中，，又∵，∴，∴，∴，∴，故錯誤；：如圖，設(shè)直線與直線交于，∵，，∴，同理可得，又∵，∴，∴，∴在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在，故正確；故選：．【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】【分析】方程兩邊直接開平方即可求得答案．【詳解】解：∵∴，故答案為：．【點睛】此題考查了用直接開平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是理解平方根的定義．10.【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可直接得到答案．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．11.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，寫出一個的解析式即可【詳解】解：根據(jù)題意，故符合題意故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題考查了二次函數(shù)各系數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.【答案】【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形全等，再根據(jù)外角定理求解．【詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和外角定理是解題的關(guān)鍵．13.【答案】＜【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：由題意，∵拋物線的對稱軸為直線，開口向上，∴和點都在對稱軸的右側(cè)，當時，y隨x的增大而增大．∵，∴，故答案為：＜．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象的與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.【答案】9【詳解】由題意得△=0，即（-6）2-4m=0，解得m=9，故答案為9.15.【答案】26【分析】證明E為的中點，可得，設(shè)，則，，由勾股定理得：，可得，再解方程可得答案．【詳解】解：∵弦，為的直徑，∴E為的中點，又∵（寸），∴（寸），設(shè)（寸），則（寸），寸，由勾股定理得：，即，解得，∴（寸），故答案為：26．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練的利用垂徑定理解決問題是關(guān)鍵．16.【答案】②【分析】按照例題正數(shù)解的步驟：方程可變形為，即可得出方程，則方程的正數(shù)解為，再結(jié)合圖形判斷即可．【詳解】解：方程可變形為，構(gòu)造的大正方形，其面積是，其中四個全等的矩形面積分別為，中間的小正方形面積為；大正方形的面積也可表示為四個矩形和一個小正方形的面積之和，即；由此可得方程：，則方程的正數(shù)解為，能夠得到方程的正數(shù)解的構(gòu)圖是②，故答案為：②．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、矩形面積的計算、正方形面積的計算等知識，正確理解求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20題6分，第21-22題，每題5分，第23題6分，第24題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17.【答案】x1＝1，x2＝﹣3．【分析】先計算判別式發(fā)值，然后利用求根公式解方程．【詳解】△＝22﹣4×（﹣3）＝16>0，x＝，所以x1＝1，x2＝﹣3．【點睛】本題考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．18.【答案】詳見解析【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，進而說明OA=OB=OC=OD即可證明．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD∴OA=OB=OC=OD，∴A、B、C、D四點在以O(shè)圓心發(fā)同一個圓上．.【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形、矩形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的對角線互相平分且相等，圓的半徑相等．19.【答案】（1）（2）和【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，計算即可得出m的取值范圍；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出，將其代入方程，再解一元二次方程即可．【小問1詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，解得：，∴m的取值范圍為；【小問2詳解】解：由（1）可知：m為正整數(shù)，，∴原方程為，即，解得：，，∴當m為正整數(shù)時，此時方程的根為和．【點睛】本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）熟練掌握一元二次方程求解．20.【答案】（1）；（2）見解析（3）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）先確定圖象的頂點，再按照列表，描點，連線的步驟即可畫出二次函數(shù)的圖象；（3）先求出圖象與軸的交點，再根據(jù)圖象可得：當時，直接寫出的取值范圍【小問1詳解】∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為：；【小問2詳解】∵，∴此二次函數(shù)圖象的頂點為，列表：..．..．..．..．描點，連線得函數(shù)圖象如下：【小問3詳解】由圖象可知，當時，的取值范圍為：．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與軸的交點，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，畫函數(shù)圖象，掌握待定系數(shù)法和畫二次函數(shù)圖象的基本方法是解題的關(guān)鍵．21.【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.（2）先求出OB的長，再根據(jù)弧長公式計算即可.【詳解】解：（1）如圖所示，△OA1B1即為所求．（2）∵OB＝＝，∠BOB1＝90°，∴點B旋轉(zhuǎn)到點B1所經(jīng)過的路線長為．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖和弧長的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長公式是解題關(guān)鍵.22.【答案】【分析】設(shè)空白區(qū)域的寬度為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)空白區(qū)域的寬度為，根據(jù)題意可得，，解得（舍去），，答：空白區(qū)域的寬度應(yīng)是．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，正確的列出一元二次方程．23.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再由等邊三角形的性質(zhì)得，則，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理得，再證，則，然后由勾股定理即可得出的長．【小問1詳解】∵，且，四邊形是平行四邊形，等邊中，是的中點，，，平行四邊形是矩形；【小問2詳解】如圖，是等邊三角形，，是的中點，，，，在中，由勾股定理得：，，，由（1）可知，四邊形是矩形，，在和中，，，，．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)由平移得到可得出k值，然后將點（1，2）代入可得b值即可求出解析式；（2）由題意可得臨界值為當時，兩條直線都過點（1，2），即可得出當時，都大于，根據(jù)，可得可取值2，可得出m的取值范圍．【詳解】（1）∵一次函數(shù)由平移得到，∴，將點（1，2）代入可得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）當時，函數(shù)的函數(shù)值都大于，即圖象在上方，由下圖可知：臨界值為當時，兩條直線都過點（1，2），∴當時，都大于，又∵，∴可取值2，即，∴的取值范圍為．【點睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的平移，一次函數(shù)的圖像，找出臨界點是解題關(guān)鍵．25.【答案】（1）（2）不能，理由見解析（3）1【分析】（1）求出拋物線的頂點坐標，設(shè)出拋物線的頂點式，用待定系數(shù)法即可求出拋物線表示的二次函數(shù)解析式；（2）當時，求出的值再與2.44比較，即可知球能不能射進球門；（3）設(shè)小明帶球向正后方移動米，則可用含的式子表示移動后的拋物線解析式，把點代入求出得的值，即知當時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點正上方處．【小問1詳解】，拋物線的頂點坐標為，設(shè)拋物線為，把點代入得：，解得，拋物線的函數(shù)解析式為：；【小問2詳解】當時，，球不能射進球門．【小問3詳解】設(shè)小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為：，把點代入得：，解得（舍去）或，當時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點正上方處．故答案為：1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題解決．26.【答案】（1）；（2）．【分析】()依據(jù)題意，若，從而對稱軸是直線，進而可以得解；()依據(jù)題意，若，結(jié)合拋物線開口向上，從而拋物線與x軸必有一交點在和之間，即有，再由進而可以得解．【小問1詳解】由題意，若，∴對稱軸是直線，即；【小問2詳解】由題意，若，又拋物線開口向上，∴拋物線與軸必有一交點在和之間，又令，∴或∴，又∵，∴∴，∴．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握并靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27.【答案】（1）見解析（2）見解析（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形