春季人教版7年級數(shù)學(xué)教案

春季人教版7年級數(shù)學(xué)教案

第1講相交線與平行線

［教學(xué)內(nèi)容］

《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程》春季人教版，7年級第1講“相交線與平行線”.

［教學(xué)目標(biāo)］

知識技能：

1.在具體情境中了解鄰補(bǔ)角、對頂角，能找出圖形中的一個角的鄰補(bǔ)角和對

頂角，理解對頂角相等，并能運用它解決一些簡單問題；

2.掌握垂線的性質(zhì)，并會利用所學(xué)知識進(jìn)行簡單的推理，了解“三線八角”

并能在具體圖形中找出同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角；

3.掌握平行線的概念與平行公理，使學(xué)生理解平行線的性質(zhì)和判定的區(qū)別，

掌握平行線的三個性質(zhì)，并能運用它們作簡單的推理；

4.了解平移的概念，會進(jìn)行點的平移，理解平移的性質(zhì)，能解決簡單的平移

問題.

數(shù)學(xué)思考：

通過動手、操作、推斷、交流等活動，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)識圖能力,

推理能力和有條理表達(dá)能力.

問題解決：

經(jīng)歷從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方

法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法.

情感態(tài)度：

1.積極參與數(shù)學(xué)活動，充數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲；

2.感受成功的快樂，體驗獨自克服困難、解決數(shù)學(xué)問題的過程，有克服困難

的勇氣，具備學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

［教學(xué)重點與難點］

重點:平行線性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用，兩條平行線的距離，命題等概念

難點:平行線性質(zhì)和判定靈活運用

［教學(xué)準(zhǔn)備］

動畫多媒體課件

第一課時

教學(xué)過程:

學(xué)生方案

教學(xué)路徑

活動說明

一、課前談話：

師：同學(xué)們好，愉快的假期生活結(jié)束了，新的學(xué)期已向我們走

來，我是你們的*老師，在，我將帶領(lǐng)人家學(xué)習(xí)7年級春季課程.希

望大家在新學(xué)期的學(xué)習(xí)中能夠不斷的進(jìn)步.

師：課件展示小人在剪樹枝的畫面

一年之計在于春，很快樹木就要伴著春風(fēng)發(fā)芽了，這不瑪麗太創(chuàng)設(shè)

太正要修剪一下小樹希望來年它能夠更加茁壯成長，她手里面拿的情境激

是什么呢？發(fā)好奇

觀察剪刀

剪樹枝的

過程，引

入兩條相

交直線.

生：一把大剪刀.

師：這把剪刀的構(gòu)造可以看作是兩條相交的直線，如果在平面內(nèi)，學(xué)生討

兩條直線不相交，那么這兩條直線又是什么樣子的呢？論回答.師生

生：…平行.互動

師：什么樣的線平行，同學(xué)們來看看下面這個問題.

課件出示啟動性問題：

觀察下面每幅圖中的直線〃、b,它們分別平行嗎？你能驗證它

們是否平行嗎？下圖中以匕為藍(lán)色，其他線為紅色.

小亮：可以，利用直尺和三角板的推移驗證平行線.

小萍：動畫：再出紅線和三角板，

三隹板向上平移，

師：圖中有相交線也有平行線，關(guān)于相交線和平行線都有哪些

相關(guān)的知識呢？我們來看看知識回顧.

回顧

1.相交線

對頂角的性質(zhì)：對頂角■—.

垂線的性質(zhì)：過一點有且只有—卜條一直線與已知直線垂

直.

垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線

段Jft短__,簡單說成：垂線段最短.

(下一步出答案)

2.平行線及其判定

定義：在同一平面內(nèi)，的兩條直線叫做平行線.

平行公理：經(jīng)過直線外一點，』且只有——條直線與這條直線平

行.

判定：(1)一同位角____相等，兩直線平行.

(2)內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

(3)同旁內(nèi)向互補(bǔ)，兩直線平行.

性質(zhì)：（1）兩直線平行，—同位角相等.

（3）兩直線平行，—同旁內(nèi)角—互補(bǔ).

（下一步出答案）

3.命題、定理

命題：—判困L一件事情的語句叫做命題，命題由_旭設(shè)和結(jié)論—

兩部分組成，命題有真命題和假命題.

定理：正確性是經(jīng)過推理證實的，這樣得到的真命題叫做定理.

（下一步出答案）

4.平移

定義；把一個圖形整體沿著_^個方向—移動，會得到一個新

圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.圖形的這種移

動，叫做平移變換，簡稱平移.

性質(zhì)：新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，

若兩個點是對應(yīng)點，連接各組對應(yīng)點的線段_'?行且相等

（下一步出答案）

師：下面我們就一起來看幾道題目.

初步性問題

探究類型之一對頂隹與鄰補(bǔ)角

例1如圖，直線AB,。。相交于點。，B.ZDOE=ZBOD,。/平

分NAOE,若NAOC=28°,貝ijNEOF=.

師：指定學(xué)生讀題，并說說自己從題目和圖中獲得的信息.

生：（從圖中可以知道NAOC和NBOO是對頂角，所以/3OD二

NAOC.因為0尸平分N4OE,所以NEOF=NAOF=-Z

2

AOE...）

師：那么要求NEO凡我們需要求出哪個角？如何來求呢？

生：我們需要求出NAOE,而N4OE=180°-/BOE,而題目還

告訴了我們NOOE=NBO。，所以NBOE=2NBOD...

師：下面大家就獨立完成解答.

師：指定學(xué)生講解，集體核對答案.

解析：標(biāo)NDOE=N3OD=N4OC紅色，

VZDOE=ZBOD=ZAOC=2S°,下一步NBOE涂藍(lán)色

；.NBOE=/BOD+NDOE=56°,下一步NAOE涂綠色

??.NAOE=1800-ZBOE=180°-56°=124°.

（下一步）涂/EOF乙40E綠色，OFOA0E紫色

Y0/平分NAOE,

：.ZEOF=-ZAOE=Q2°.

2

答案：62°

師：在題中。尸和CO有什么關(guān)系？

生：OFLCD.

師總結(jié)：

1.互為鄰補(bǔ)角的兩個角的平分線互相垂直.

2.這個圖形是我們經(jīng)常會遇到的，綜合考察了角平分線的定義、對

頂角、互為鄰補(bǔ)角、余角等知識，大家一定要記住.

探究類型之二同位隹、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角

例2如圖，ABIICD,那么圖中共有同位角（）

A.4對B.8對C.16對D.32對

A\/B

D

N

師：如圖是一組平行線被兩條直線所截，為了便于確定哪兩條

直線被哪一條直線所截，我們需要將復(fù)雜的組合圖形分解成若干個

基本圖形，然后在基本圖形中去探究同位角的關(guān)系.

師：請同學(xué)們考慮下面兩個問題：

1.本題的圖形有幾條直線組成？（4條）

2.圖形可以分解為多少個基本圖形？（4個）

生：同桌之間交流討論，找一找，畫一畫.

師；找學(xué)生說說討論結(jié)果并點評，出示課件分析，講解此題.

解析：本題的圖形共有；I個基本圖形呢?

圖（1）有幾對同位角？動畫后出（4對）下一步

圖（2）有幾對同位角？動畫后出（4對）下一步

圖（3）有幾對同位角？動畫后出（12對）下一步

圖（4）有幾對同位角？動畫后出（12對）下一步

共有多少同位角？（32對）

答案：D

總結(jié)：為了便于確定哪兩條直線被哪一條直線所截，我們需要

將復(fù)雜的組合圖形分解成若干個基本圖形，這樣才能保證不重不漏

地準(zhǔn)確地辨別出同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角.分解復(fù)雜圖形時，一般

要看圖中共有多少條直線，哪兩條直線被第三條直線所截，由其位

置關(guān)系得到不同的基本圖形.

探究類型之三平行線的性質(zhì)與判定

例3如圖，直線將含有45°角的三角板ABC的直角頂點C

放在直線機(jī)上，若Nl=25°,則N2的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

C州

師：觀察圖形，同學(xué)們考慮N5與Nl、N2之間有什么關(guān)系？

生：……（NB=N1+N2,過B作直線〃力可證，如下圖.）

A

C用

證明：因為n〃l〃tn,

所以N4=N1,Z2=Z3.

所以N4+/3=N2+N1=NR

師：學(xué)生獨立完成解答，教師指定學(xué)生講解.

解析：過點B作直線〃〃/,標(biāo)N3Z4.

A

CM

過點8作直線〃如紹所示.

（下一步）曾勿〃m涂藍(lán)，N2=N3同色N4=N1同色

*.*/〃，n,n〃l〃m,

AZ4=Z1=25°,Z2=Z3.

VZABC=45°,

/.Z2=Z3=ZABC-Z4=45°-25°=20°.

答案：A

師總結(jié)：通過證明N1+N2=NB,觀察下面的圖形，你還能發(fā)

現(xiàn)什么？你能總結(jié)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

輔助線提示：過角作/、山的平行線.

（課件不出示，教師根據(jù)具體教學(xué)情況選擇補(bǔ)充講解）

:「

Z1+Z3=Z2+Z4,N2+N4=N1+N3+N5,

探究類型之四平行線的判定

例4如圖，下列條件中能判定直線/|/72的是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z5C.Zl+Z3=180°D.Z3=Z5

y\iih

師：教師指定學(xué)生說說判定平行線的方法.

生：...

師：難度不大，學(xué)生獨立完成解答，集體核對答案.

提示:分析圖形/|與/2之間有兩組同旁內(nèi)角.根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)

證明兩直線平行，

解析：涂h〃hN1+N3同色N2+N4同色

若Nl+N3=180°,N2+N4=180°,則“以

答案：C選項C畫J

類似性問題

1.如圖，48〃CD,ACJ_BC,/Cr5C,則圖中與NBAC互余的角有

（）

A.1個B.2個M/N

C.3個D.4個—SJ----------

F-------------*----------------D

師：同學(xué)們，思考一下什么樣的角互余呢？

生：兩角之和等于90°.

師：學(xué)生獨立完成解答，教師指定學(xué)生講解.

解析：三角形ABC涂淺色，NA4C涂紅、

/ABC,/BCD,NWBG涂藍(lán).

與NB4C互余的角有NABC,NBCD,4NBG.

2.如圖，l〃m,Zl=115°,Z2=95°,則N3=()

A.120°B.130°.

C.140°D.150°/________/

J

師：提示學(xué)生仿照例3作平行線的方法，獨立解決此題.

解析：如圖，過點A作〃M,（動畫）

（下一■步）N1+N2+N3涂同色

由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得Nl+N2+N3=360°,

Z3=360°-Zl-Z2=360°-115°-95°=150°.

答案：D

第二課時

教學(xué)過程:

學(xué)生方案

教學(xué)路徑

活動明

一.觀察圖形形成印象

生活中有許多美麗的圖案，請同學(xué)們欣賞下面圖案.

（教師可根據(jù)情況展示一些通過平移得到的圖案，課件不出示）老

師根據(jù)

實際情

況設(shè)計

此環(huán)節(jié).

觀察上面圖形，我們發(fā)現(xiàn)他們都有一個局部和其他部分重復(fù)，如果

給你一個局部，你能得到和他們重復(fù)的圖形嗎？

生：可以，通過平移就可以得到.

師：平移的圖形有什么性質(zhì)？

生：新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.

師：說的很好，那么利用平移怎么解決問題呢？看看我們的例

5.

二.提出新知實踐探索

探窕類型之五f多形的平移

例5夏季荷花盛開，為了便于游客領(lǐng)略“人從橋上過，如在河中

行”的美好意境；，某景點擬在如圖所示的長方形荷塘上架設(shè)

小橋.若荷塘周I長為280m,且橋?qū)捄雎圆挥?，則小橋總長為

______m.

師：圖形的平移不改變:大小和形狀，那么這道題該怎么解決呢？

學(xué)生獨立關(guān):成解答，設(shè)定時間看哪位學(xué)生在最短的時間

內(nèi)找到解題思路r,讓最快找到的學(xué)生說說解題思路.

提示：通過平移，把分散的橋集中到長和寬上.

解析：動畫將圖中小橋平移到長方形的長與寬上；

（下一步）

小橋總長為280+2=14。（m）.

答案：140

探究類型之六圖形的平移規(guī)律探索性問題

例6如圖，長方形43CD中，AB=6,第1次平移將長方形

ABCD沿AB的方向向右平不%5個單位，得到長方形

AI^ICIDI,第2次平移將長方形/IBICIDI沿AiBi的方

向向右平移5個單位，得至“￡方形A252c2。2…,第n

次平移將長方形i￡>,：1HiAn-\Bn-1的方向平移

5個單位，得到長方形A“8”CnDn（M>2）.

DDxCD2CI&C?iCn

AAiBAi%4m8n■]及

（1）求ABi和ABi的長.

（2）若AB〃的長為56,求n.

師：指定學(xué)生讀題并說說自己獲得的信息.

生：根據(jù)平移的性質(zhì)可知：

AB=A\8i=42&=?,,=A,Bi=6,

aa

AA\=A]A2=A2A3=*=An-\An=5f

BB\=B\B2=5253=,,,=Bn=5.

師：誰還有其他的發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)AIB=A2BI=?,,=AnBni=6-5=1.

師；知道這么多相等的線段，下面自己求一下A&和AB2的

長.

師：學(xué)生獨立計算ABx和A歷的長，教師指定學(xué)生講解，

其他學(xué)生指正補(bǔ)充.老師在黑板上寫出三種情況.

生1：A5i=AB+BBi=6+5=U,

4B2=AB+8BI+BIB2=6+5+5=16.

生2：AB\=AA\+AiBi=5+6=ll,

AB2=AA1+A1A2+A2B2=5+5+6=16.

生3：ABi=AAi+AIA2+A2BI=5+5+1=11,

AB2=AAI+A1A2+A2A3+A382=5+5+5+1=16.

師：通過比較三種方法，哪一種計算A&比較方便？

生：AB3=AB+BB]+BiB2+8283=6+5+5+5=21.

師：你們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)A8〃的長二平移次數(shù)X5+A8長.（如果學(xué)生

不能夠發(fā)現(xiàn)此規(guī)律，教師引導(dǎo)學(xué)生動手實際操作平移長方形

紙片）

師：那么問題（2）現(xiàn)在告訴了我們〃的長，讓我們

求〃的值，你會嗎？學(xué)生獨立完成第（2）問.

師：學(xué)生獨立完成解答，教師指定學(xué)生講解.

教總結(jié)：平移前后，兩圖形的大小不變，形狀不變，解

決這類問題時要注意探究規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律解答.

解析：動畫展示ABC。到AlBlClDl到AnBnCnDn.

根據(jù)平移的性質(zhì)可知：

AB=A\B\=AZB2=…=A,B）=6,

BBi=B、B2=B2B3h-=B“\B“=5.

答案：A3涂紅色BBT涂藍(lán)色

解：（1）產(chǎn)A8+88i=6+5=ll,

AB2=AB+BB\+BI62=64-5+5=16.下一步

（2）ABn=AB+BB1+B1B2+…+

下一步題目2框住

根據(jù)題意得5〃+6=56,解得H=10.

類似性問題

3.把三張大小相同的正方形卡片A、8、C疊放在一個底面為正方形

的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，若按圖（1）擺

放時，陰影部分的面積為，，若按圖（2）擺放時，陰影部分的面

積為S?,則S____S2（填“>”“V”或“二”）

1c」c

B

AL

B

（1）（2）

師：同學(xué)們回想一下例5,這個題該怎么解決？

生：…平移.

提示：（1）C向左平移到邊.（2）B向下平移到邊.

解析：

動畫將第一個圖形中。正方形向左平移，陰影移到右邊；

然后動畫將第二個圖形中8正方形向下平移，陰影移到上邊.

（下一步）

S\=Si.

4.如圖，AB〃CD,直線￡尸分別交A3、CD于點、E、尸，EG平分/

AEF,Zl=40°,求N2度數(shù).

_____EJD

AD

D

G7

師：難度不大，學(xué)生獨立完成解答，教師指定學(xué)生講解.

解析：N尸EG二NAEG=N1涂紅色

根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到：

NFEG=/AEG=NL

（F一步）

Z2=180°-ZAEF=180°-2ZAEG.

答案：

解：?；AB〃CD,/.ZAEG=Z1=40°.

9

：EG^ZAEFf：.ZFEG=ZAEG=40°.

.\Z2=180°-ZAEF

=180°-2Z1

=180°-2X40°

=100°.

5.某賓館重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳的主樓梯上鋪設(shè)某種紅

地毯，已知這種地毯售價為30元/n?,主樓梯寬2m,

其側(cè)面如圖所示.

(1)這個地毯的長是多少m?

(2)這個地毯的面積是多少n??

(3)購買地毯至少需要多少元？

師：根據(jù)例5的解題思路，誰說說這個題怎么做？

生：平移.

師：如何平移？

生：樓梯平移到A3和3。上.

師；剩下的學(xué)生嘗試獨立解答，教師指定完成的學(xué)生講解.

解析：出示動畫

答案：

解：(1)5.8+2.6=8.4(m).

(2)8.4X2=16.8(m2).

(3)16.8X30=504(元).

6.證明：平面上有5條直線，其中任意兩條都不平行，則在這5條

直線兩兩相交所成的角中，至少有一個角不超過36°.

師：學(xué)生分小組討論完成，師可巡視參與討論，學(xué)生沒有思路

時老師給予適當(dāng)?shù)奶崾?

提示：5條直線兩兩相交,不一定必須交于一點，但是任意一條直線

經(jīng)過平移之后,它與其他直線的交角大小保持不變(同位角或內(nèi)錯角

定理).因此可以把這些直線平移到一點.5條直線相交于一點,那么

這5條直線相交的10個角之和就為360度,那每個角至少平均都為

36度，如果有一個角大于36度,那么就一定有一個角小于36度，即

至少有一個角是要小于36度或等于36度.

證明：動畫作圖分步完成

蜜

動畫在黑色五邊形任取一點。，過。點作己知5條

直線的平行線小2h，/4,k，

在平面上任取一點。，過0點作已知5條直線的平

行線八，eh，","下一步

動畫將以。為頂點的周角分成10個彼此依次相鄰的

角，記為NQi,NQ,…，Z09,ZQio.

將以。為頂點的周角分成10個彼此依次相鄰的角，

記為NQi,NQ2,…，NQ%NQio.下一步

每個角N0G=1,2,…,9,10）都等于這5條直線中某

兩條直線相交所成的角，這10個角的和恰等于360°,

即NQI+NQ2+…+N09+NQIO=36O°,

若NQ、NQ、…、NQio均大于36°,貼左邊〉

360°,矛盾，故至少有一個角不超過36°.

課堂總結(jié)：

通過本次課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們都有哪些收獲？

（1）互為鄰補(bǔ)角的兩個角的平分線互相垂直.

（2）遇到復(fù)雜圖形找同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角時，一般要看圖中

共有多少條直線，哪兩條直線被第三條直線所截，由其位置關(guān)

系得到不同的基本圖形.這樣才能保證不重不漏地準(zhǔn)確地辨

別出同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角.

(3)平移前后，兩圖形的大小不變，形狀不變,

參考答案

類似性問題

1.C

2.D

3.=

,

4.解：：AB/7CD1AZAEG=Z1=40°.

TEG平分N4EF,/.ZFEG=ZAEG=40°.

AZ2=180°-ZAEF=1SQ°-2Z1=18O°-2X40°=100°.

5.解：(1)5.8+2.6=8.4(m).

(2)8.4X2=16.8(m2).

(3)16.8X30=504(元).

6.證明：如圖，在平面上任取一點。，過。點作已知5條直線的

平行線小eh，/4,k，將以。為頂點的周角分成10個彼此依

次相鄰的角，記為NQi,/Q2,…，NQ%NQio.

每個角ZG(/=1,2,…,9,1G)都等于這5條直線中某兩條直線相交

的一個角，這10個角的和恰等于360。，即NQI+NQ+???+NQ9

+NQo=360°,若NQ,NQ,…，NQo均大于36°,則左邊＞360°,

矛盾，故至少有一個角不超過36°.

練習(xí)冊

1.B

2.C

3.C

4.ZAEF=80°或N8EC80?；騈BE尸=100°或NAEC1000

5.15

6.90°

7.解：AB/7CD.理由如下：

?；/l+NMNC=180°,/\=3/MNC,：.ZMNC=45°.

VZ2=45°,：.Z2=ZMNC,：.AB//CD.

8.解：

（1）直線a,b,c,d共有一個交點，理由如下：設(shè)直線a,〃，c的交點為尸，

直線Rc,d的交點為Q,這意味著點P、。都是直線力和c的交點.由于

兩條不同的直線至多有一個交點，因此點P、。必是同一個點，即4條直

線〃，b,c,d相交于同一個點，因此，這4條直線〃，b,c,d只有1個

交點（不妨設(shè)為點0）.

（2）因為作的第5條直線/與（1）中的直線d平行，所以直線/不過點0,而直

線aAc都與直線d相交于點0,所以直線與直線/都相交（與兩

條平行線中的一條相交的直線必與另一條相交）.設(shè)直線I與直線瓦c分

別相交于點A,8,C,這時，圖中有A,B,C,0四個不同的點，可以連出

OA,OB,OC,AB,AC,BC,共6條不同的線段.

第2講證明

［教學(xué)內(nèi)容］

《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程》春行線的性質(zhì)與判定的

證明”.

［教學(xué)目標(biāo)］

知識技能：

1.探索平行線性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用定理解決有關(guān)問題;

2.能夠靈活地應(yīng)用平行線的性質(zhì)定理和判定定理解決一些較為復(fù)雜的問題.

數(shù)學(xué)思考:

通過共同探究問題的過程，進(jìn)一步體驗”觀察一猜想一證明”這種發(fā)現(xiàn)問題，解

決問題的方法，初步體驗”從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想.

問題解決：

經(jīng)歷從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方

法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。

情感態(tài)度：

1.積極參與數(shù)學(xué)活動，阪數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲；

2.感受成功的快樂，體驗獨自克服困難、解決數(shù)學(xué)問題的過程，有克服困難

的勇氣，具備學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

［教學(xué)重點與難點］

重點:平行線性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用，兩條平行線的距離，命題等概念

難點:平行線性質(zhì)和判定靈活運用

［教學(xué)準(zhǔn)備］

動畫多媒體語言課件

第一課時

教學(xué)過程:

學(xué)生方案說

教學(xué)路徑

活動明

師:上節(jié)課我們重點學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì),今天我們進(jìn)一步學(xué)

習(xí)平行線的相關(guān)知識，首先我們來看這樣一個問題：

啟動性問題：

如圖，在4,B兩地之間要修一條公路，在A地測得公路的

走向是北偏東80°,即NG=80°.現(xiàn)在要求在A,8兩地同時施

工，那么在8地公路走向應(yīng)按等于多少度施工..北

口匕

D

C

師:考慮AC,8。兩條線代表什么？他們之間是什么關(guān)系？

生：它們代表朝向北方的兩條線，兩條線平行.

師：通過平行線的相關(guān)知識，Na、是什么關(guān)系？

生：它們是同旁內(nèi)角，卻為180。.

小萍：標(biāo)角Na=80°,ACBD紅色，AB藍(lán)色.

AC//BD,Za+Z^=180°,N夕=100。

師：讓我們再復(fù)習(xí)一下平行線的性質(zhì)及判定定理.

回顧

ab畫成平行線

三線八角圖

同位角按鈕：N1和/2,N3和N4,N5和N6,N7和N8.

內(nèi)錯角按鈕：N2和N7,N4和N5.

同旁內(nèi)角按鈕：N2和/5,N4和N7.

1平.行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等;

（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等;

（3）兩宜線平行，同旁內(nèi)角互處.

2.平行線的判定

（1）同位角相等,兩直線平行；

（2）內(nèi)錯角相等,兩直線平行；

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行互補(bǔ).

（下一步出示橫線上的文字）

初步性問題

探究類型之一平行線的性質(zhì)

例1已知如圖，AB〃CD〃EF,點M,N,P分別在A8,CD,

EF上,NQ平分/MNP.

A￡E

BDQ%

師：指定學(xué)生讀題并說說自己獲得的信息.

生：由AB〃CD〃EF可得NAMN=/MND,/EPN=/DNP,

ZAMN+ZCNM=\SO°...,

因為NQ平分NMNP,所以/MNQ=/PNQ=；NMNP.

師：下面自己嘗試獨立計算下NMNP,NQNQ的度數(shù).

師：學(xué)生獨立完成第(1)問解答，教師指定學(xué)生講解.

生：NMNP=/MND+/DNP=6U°+80°=140°,

NDNQ=/MNQ-/MND=L4MNP-/MND...

師：下面請自己先思考一下第(2)問，然后同桌交流討論.

生：...

提示：根據(jù)NON0=NMNe-NMM),

/MNQ=g/MNP=；(/AMN+/EPN),

/MND=/AMN,

找NOP0與NAMP,NENP的數(shù)量關(guān)系.

師：教師指定學(xué)生匯報，其他學(xué)生指正并補(bǔ)充.

分兩題出第1.2問的圖不變

(1)若NAA/N=60。,NEPN=80°,分別求NMNP,NON。的

度數(shù)；

解析：A8、CD、EF、MN、PN同紅色，

標(biāo)NMND=NAMN=60°ZDNP=ZEPN=30°同紅色

由AB〃CO〃上巴可得NMNO=NAMN=60°,

NDNP=/EPN=80°,則NMNP可求；

下一步保留1的圖，去掉角度.NQMNNP藍(lán)色.

/MNQ/PNQ同藍(lán)色

由NQ平分/MNP,可計算出NMN。，

然后計算NONQ=NMNQ-NMND即可.

答案：

解：?；AB〃CD〃EF,

AZM7VD=ZAM7V=6O°,/DNP=/EPN=8C,

???NMNP=NMND+NDNP=600+80°=140°.下一步

■:NQ平分NMNP,

???NMNQ=；NMNP=；X140。=70°,

：?/DNQ=NMNQ-/MND=70°-60°=10°.

(2)探求NDNQ與N4MN,NEPN的數(shù)量關(guān)系.

解析：/DNQ=/MNQ-/MND,下一步

ZMNQ=-ZMNP=-(/AMN+/EPN),下一步

22

NMM)=NAMN,找/。尸。與N4MP,ZENP的數(shù)量關(guān)系.

答案：(1)問的圖保持不變

解：?；AB〃CD〃EF,

:.ZMND=/AMN,NDNP=/EPN,

：.ZMNP=ZMND+ZDNP=NAMN+/EPN.

,:NQ平分/MNP,

：.ZMNQ=；/MNP=；(NAMN+/EPN),

???/DNQ=/MNQ-/MND

=-(/AMN+/EPN)一/AMN

2

--QUEPN-乙AMN).

2

師總結(jié)：

本題中AB//CD//EF時，/MPN=/AMP+/ENP是一個很

重要的結(jié)論.

探究類型之二平行線的判定與性質(zhì)綜合

例2如圖，NAGZ)=NACB,CD_LA3,E/J_A8,

證明：Z1=Z2.

師：學(xué)生獨立完成解答，教師指定學(xué)生講解.

提示：DG〃BC和CD，EF,(指導(dǎo)基礎(chǔ)弱的學(xué)生)

解析：標(biāo)DG〃5C紅色

由NAGO=NACB,得至I」DG〃BC.

下一步CD〃EF標(biāo)藍(lán)色

由EFLAB,得至ljCD〃EF.

下一步

N1=NOC8=N2涂色

答案：

證明：VZAGD=ZACBf

:?DG〃BC,；.N1=NDCB.

VCD1AB,EF1AB,

:.CD〃EF,:.N2=NDCB.

/.Z1=Z2.

師：在完成證明的問題時，我們可以由角的關(guān)系可以得到直

線之間的關(guān)系，由直線之間的關(guān)系也可得到角的關(guān)系.

探究類型之三平行線問題作輔助線技巧

例3

(1)已知：如圖①，直線求證：ZABC+ZCDE=

ZBCD；

（2）當(dāng)點。位于如圖②所示時，ZABC,NCDE與NBCD存在

什么等量關(guān)系？并證明.

/__________~/--------<

_______________________________>c

EbED

圖①圖②

師：學(xué)生獨立完成解答，然后小組討論，教師指定小組代表匯報

講解，其他小組學(xué)生指正并補(bǔ)充.

生1：圖①過點C作然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等

的性質(zhì)來證明……，

圖②過點。作然后根據(jù)兩宜線平行同旁

內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)來探究……

生2：圖①還可以過點。作交延長線于M,根據(jù)兩

直線平行同位角相等得到NABC=NM二NEOM再根據(jù)兩

直線平行內(nèi)錯角相等證明……

圖②還可以過點D作DF〃BC交AB于E然后

根據(jù)平行的性質(zhì)來探究……

生3：還可以過8點作8的平行線……

師：本題方法較多（學(xué)生2,3方法課件不出示），教師要給學(xué)生充

分的時間思考和小組討論，教師巡視的時候可以適當(dāng)引導(dǎo)嘗

試多種方法解答.

（兩個小題分兩頁出示，分別放兩個圖）

（1）解析：動畫過點C作CF〃AB.

過點C作CA3,

下一步

（標(biāo)注同色,N1=NA8C同色，N2=NCDE同

色）

由平行線性質(zhì)找到角的關(guān)系.

-—j

E

答案：

證明：如圖，過點C作CR〃48,

■:直線AB〃ED,:.AB〃CF〃DE,

：.Zi=ZABC,Z2=ZCDE.

VZBCD=Z1+Z2,

:.NABC+/CDE=NBCD.

（2）解析：動畫過點。作幺8,

過點。作CF〃AB,

（標(biāo)注A8〃C戶〃。上同色,N4BC+N1同色，N2+NCDE同

色）

由平行線性質(zhì)找到角的關(guān)系.

r.................

圖②

答案：

解：N4BC+NBCD+NCOE=360°.

證明：如圖，過點。作。尸〃48,

??,直線A8〃EO,

：.ABZ^CF/7DE,

：.Z/4BC+Z1=180°,Z2+ZCDE=180°.

VZBCD=Z1+Z2,

AZABC+ZBCD+ZCDE=360°.

師：在運用平行線性質(zhì)時，有時需要作平行線，取到橋梁的

作用，實現(xiàn)已知條件的轉(zhuǎn)化.

探究類型之四平行線的應(yīng)用型問題

例4如圖，一條公路修到湖邊時，需繞道，如果第一次拐的角

NA是120°,第二次拐的角N8是150°,第三次拐的角

是NC,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，

那么NC應(yīng)為多少度？

師：圖中己有兩條平行線，根據(jù)上一個題做輔助線的啟發(fā)，學(xué)生

獨立完成解答，教師指定學(xué)生講解.

提示：過點8作

解析：動畫過點3作出）〃4七，

下一步

標(biāo)尸同色，標(biāo)NA=N1同色，Z2、ZC同色

由凡得/A=NLZ2+ZC=180°.

答案：

解：過點B作VAE/7CF,

:?AE〃BD〃CF,：.ZA=Z1,Z2+ZC=180°.

VZA=120°,Zl+Z2=ZABC=150°,

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