新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練技巧04 結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題解題策略（5大核心考點(diǎn)）（講義）（解析版）

技巧04結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題解題策略【目錄】 1 1 2 13考點(diǎn)一：三角函數(shù)與解三角形 13考點(diǎn)二：數(shù)列 19考點(diǎn)三：立體幾何 24考點(diǎn)四：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 35考點(diǎn)五：圓錐曲線 42結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，主要以解答題為主，應(yīng)適度關(guān)注．1、靈活選用條件，“牽手”解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)于試題中提供的選擇條件，應(yīng)該逐一分析條件考查的知識(shí)內(nèi)容，并結(jié)合自身的知識(shí)體系，盡量選擇比較有把握的知識(shí)內(nèi)容，納入自己熟悉的知識(shí)體系中．因此，條件的初始判斷分析還是比較重要的，良好的開端是成功的一半嘛！2、正確辨析題設(shè)，開展合理驗(yàn)證對(duì)于條件組合類問(wèn)題，初始狀態(tài)更加的不確定，最關(guān)鍵的步驟在于對(duì)選項(xiàng)的條件進(jìn)行組合后驗(yàn)證，應(yīng)從多個(gè)角度，考慮多種可能性的組合，這個(gè)分析過(guò)程對(duì)思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造性的考查提出了新的要求，所以需要更加細(xì)致地完成這個(gè)驗(yàn)證過(guò)程．3、全面審視信息，“活”學(xué)結(jié)合“活”用數(shù)學(xué)必備知識(shí)是學(xué)科理論的基本內(nèi)容，是考查學(xué)生能力與素養(yǎng)的有效途徑和載體，更是今后生活和學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外顯表現(xiàn)，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體．“活”的知識(shí)才是能力，“活”的能力才是素養(yǎng)．我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要重視對(duì)教材內(nèi)容的理解與掌握，夯實(shí)必備知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上活學(xué)活用，提高思維的靈活性，才能更好地應(yīng)對(duì)高考數(shù)學(xué)中考查的開放性、探究性問(wèn)題．1．（2023?北京）已知函數(shù)，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若在，上單調(diào)遞增，且，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求、的值．條件①：；條件②：；條件③：在，上單調(diào)遞減．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，又因?yàn)椋裕á颍┤暨x①：；因?yàn)?，所以在和時(shí)取得最大值1，這與在，上單調(diào)遞增矛盾，所以、的值不存在．若選②：；因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，且，所以在時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值1，所以的最小正周期為，計(jì)算，又因?yàn)?，所以，，解得，；又因?yàn)椋?；若選③：在，上單調(diào)遞減，因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，且，所以在時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值1，所以的最小正周期為，所以，又因?yàn)?，所以，，解得，；又因?yàn)?，所以?．（2022?北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】證明：取中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)．，且，四邊形是平行四邊形，故，平面；平面，平面，是中點(diǎn)，是的點(diǎn)，，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；側(cè)面為正方形，平面平面，平面平面，平面，，又，，若選①：；又，平面，又平面，，又，，，，兩兩垂直，若選②：平面，，平面，平面，，又，，，，，，又，，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，，，又，2，，設(shè)直線與平面所成角為，，．直線與平面所成角的正弦值為．3．（2022?新高考Ⅱ）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．（1）求的方程；（2）過(guò)的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，，，在上，且，．過(guò)且斜率為的直線與過(guò)且斜率為的直線交于點(diǎn)．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）由題意可得，，解得，，因此的方程為，（2）解法一：設(shè)直線的方程為，，將直線的方程代入可得，△，，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，兩式相減可得，，，解得，兩式相加可得，，，解得，，其中為直線的斜率；若選擇①②：設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，則，解得，，同理可得，，，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，，為的中點(diǎn)，即；若選擇①③：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)不在直線上，矛盾，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，則，解得，，同理可得，，此時(shí)，，由于點(diǎn)同時(shí)在直線上，故，解得，因此．若選擇②③，設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，則，解得，，同理可得，，設(shè)的中點(diǎn)，，則，，由于，故在的垂直平分線上，即點(diǎn)在直線上，將該直線聯(lián)立，解得，，即點(diǎn)恰為中點(diǎn)，故點(diǎn)在直線上．（2）解法二：由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②③，或選由②③①：由②成立可知直線的斜率存在且不為0．若選①③②，則為線段的中點(diǎn)，假設(shè)的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn)，此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，從而，已知不符．綜上，直線的斜率存在且不為0，直線的斜率為，直線的方程為．則條件①在直線上，等價(jià)于，兩漸近線的方程合并為，聯(lián)立方程組，消去并化簡(jiǎn)得：，設(shè)，，，，線段中點(diǎn)為，，則．，設(shè)，，則條件③等價(jià)于，移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，，，，，，由題意知直線的斜率為，直線的斜率為，由，，，直線的斜率，直線，即，代入雙曲線的方程為，即中，得，解得的橫坐標(biāo)為，同理，，，，條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上等價(jià)于，條件②等價(jià)于，條件③等價(jià)于．選①②③：由①②解得，③成立；選①③②：由①③解得：，，，②成立；選②③①：由②③解得：，，，①成立．4．（2021?甲卷）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】選擇①③為條件，②結(jié)論．證明過(guò)程如下：由題意可得：，，數(shù)列的前項(xiàng)和：，故，據(jù)此可得數(shù)列是等差數(shù)列．選擇①②為條件，③結(jié)論：設(shè)數(shù)列的公差為，則：，數(shù)列為等差數(shù)列，則：，即：，整理可得：，．選擇③②為條件，①結(jié)論：由題意可得：，，則數(shù)列的公差為，通項(xiàng)公式為：，據(jù)此可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，由，可知數(shù)列是等差數(shù)列．5．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．①，；②，．【解析】（Ⅰ），，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，令，可得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，時(shí)，且等號(hào)不恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：若選①，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增．注意到．在上有一個(gè)零點(diǎn)；，由得，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．綜上：在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．另當(dāng)，時(shí)，有，，而，于是，所以在沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，于是，所以在，上存在一個(gè)零點(diǎn)，命題得證．若選②，則由（Ⅰ）知：在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，取，，，又易證，，在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．綜上：在上有唯一零點(diǎn)．6．（2021?北京）在中，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求邊上的中線的長(zhǎng)．條件①；條件②的周長(zhǎng)為；條件③的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（Ⅰ），由正弦定理可得，即，，當(dāng)時(shí)，，即，不符合題意，舍去，，，即．（Ⅱ）選①，由正弦定理可得，與已知條件矛盾，故不存在，選②周長(zhǎng)為，，，，由正弦定理可得，即，，，，即，，，存在且唯一確定，設(shè)的中點(diǎn)為，，在中，運(yùn)用余弦定理，，即，，邊上的中線的長(zhǎng)度．選③面積為，，，，解得，余弦定理可得，．考點(diǎn)一：三角函數(shù)與解三角形【典例1-1】在①；②向量；③

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并進(jìn)行求解．問(wèn)題：在

中，

分別是內(nèi)角

的對(duì)邊，已知

為AC

邊的中點(diǎn)，若________，求BD

的長(zhǎng)度．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】若選①因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，整理得，因?yàn)锳，B是三角形內(nèi)角，所以，即，所以，所以，在中，由余弦定理，所以若選②因?yàn)?，所以，即，整理得，所以，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，所以，由勾股定理，又D為斜邊AC中點(diǎn)，所以若選③由已知可得，，所以，又，所以，所以，在中，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，所以，故，在中，由余弦定理，所?/p>

【典例1-2】在①，②，③三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線處，然后解答問(wèn)題．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)的面積為S，已知______．求角C的值；若，點(diǎn)D在邊AB上，CD為的平分線，的面積為，求邊長(zhǎng)a的值．【解析】如選①：由正弦定理得：，，，，整理得：，又，，，，如選②：，，，，如選③：，，，，即，，，，，解得：在中，，…①又…②由①②得：，解得：或舍邊長(zhǎng)a的值為【變式1-1】設(shè)函數(shù)若，求的值．已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】因?yàn)樗?，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，所以的最大值?，最小值為若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐?，最小值為，所以無(wú)解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，所以，，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋运?，；若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即以下與條件②相同．【變式1-2】已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；在中，分別是角的對(duì)邊，，若D為BC上一點(diǎn)，且滿足____________，求的面積請(qǐng)從①；②AD為的中線，且；③AD為的角平分線，且這三個(gè)條件中任意選一個(gè)補(bǔ)充到橫線處并作答注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【解析】，令，，，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，由題意可得：，即，，，，若選①，由知，，，故，所以，則，故；若選②為的中線，且，在中，，，則有，在中，，在中，，又，則則，又知，故；故；若選③：AD為的角平分線，且由題意知，，即，整理得，又在中，，，則有，故解之得，，故

考點(diǎn)二：數(shù)列【典例2-1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；令①②③從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】，，兩式相減得，，，，，，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由可知，若選①，兩式相減得：，所以若選②若選③當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上得：

【典例2-2】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；若____________，求數(shù)列的前n項(xiàng)和從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問(wèn)題．【解析】由，得，且，所以當(dāng)時(shí)，，，得，所以當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，所以，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以若選①，則，所以，所以，所以若選②，則若選③因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以27為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以

【變式2-1】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，________，，，是否存在正整數(shù)k，使得數(shù)列的前k項(xiàng)和，若存在，求出k的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題中并作答．【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，于是，即，解得，舍去故若選①：則，，解得，所以，，于是

令，解得，因?yàn)閗為正整數(shù)，所以k的最小值為若選②：則，，解得下同①．若選③：則，，解得于是，，于是，令，得，注意到k為正整數(shù)，解得，所以k的最小值為

【變式2-2】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，__________．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中進(jìn)行求解若兩個(gè)都選，則按所寫的第1個(gè)評(píng)分：①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；②【解析】若選擇①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，顯然其首項(xiàng)為1，故，故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足故的通項(xiàng)公式為；若選擇②，即，整理得：，故，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，與選擇①相同，故的通項(xiàng)公式為根據(jù)中所求可得：，則，故又，故可得考點(diǎn)三：立體幾何【典例3-1】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱平面BCDE，底面四邊形BCDE是矩形，，點(diǎn)P，M分別為棱AE，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱BE上．若，求證：直線平面若，從下面①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知，證明另外一個(gè)成立．①平面ADE與平面ABC的交線為直線l，l與直線CF成角的余弦值為②二面角的余弦值為【解析】證明：法一：如圖，取AP的中點(diǎn)N，連結(jié)BN，MN，因?yàn)镸，N分別為AC，AP的中點(diǎn)，所以，又平面PCF，PC在平面PCF內(nèi)，所以直線平面PCF，又因?yàn)椋?，所以，平面PCF，PF在平面PCF內(nèi)，所以直線平面PCF，，BN、MN在平面BMN內(nèi)，所以平面平面PCF，又平面BMN，所以平面PCF；法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，，設(shè)平面PCF的法向量為，，即，不妨令得，，，平面PCF，所以平面PCF；若選擇①作為已知條件平面ADE與平面ABC的交線為直線l，作出直線l如圖，由于，平面ADE，平面ADE，平面ADE，又平面ABC，平面平面，可知，異面直線l與CF成角即為，，所以，，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系：，，，，，，設(shè)平面PCF的法向量為，，即，不妨令，得，平面BCD的一個(gè)法向量為，，，由題意知二面角的平面角為銳角，即二面角的余弦值為選擇②作為已知條件以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸為正方向建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，，，，，設(shè)平面PCF的法向量為，，即，不妨令，得，平面BCD的法向量為，二面角的余弦值為，即，，解得，平面ADE與平面ABC的交線為直線l，作出直線l如圖，由于，平面ADE，平面ADE，平面ADE，又平面ABC，平面平面，可知，異面直線l與CF成角即為，

【典例3-2】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面平面ABCD，，，M，N分別是BC，PD的中點(diǎn)．求證：平面PAB；再?gòu)臈l件①，條件②兩個(gè)中選擇一個(gè)作為已知，求平面AMN與平面ABCD夾角的余弦值．條件①：；條件②：注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】取

AP

中點(diǎn)

E

，連接

EN

，

BE

，因?yàn)?/p>

N

為

PD

中點(diǎn)，所以有

且

，因?yàn)?/p>

，

，所以

且

，所以四邊形

BMNE

為平行四邊形，所以

，又因?yàn)?/p>

平面

PAB

，

平面

PAB

，所以

平面

PAB

．選擇條件①：

因?yàn)槠矫?/p>

平面

ABCD

，

ABCD

為矩形，

，平面

平面

平面

ABCD

，所以

平面

PAD

，

平面

PAD

，所以

，又因?yàn)?/p>

，由可知

，

平面

PAB

，所以

，又因?yàn)?/p>

，

平面

PAB

，所以

平面

PAB

，

平面

PAB

，所以

，

平面

ABCD

，故

平面

ABCD

，以A為原點(diǎn)，以

AB

，

AD

，

AP

分別為

x

軸、

y

軸、

z

軸建立坐標(biāo)系，則

，

，

，

，則

，

，設(shè)平面

AMN

的法向量

，則

，令

，則

，因?yàn)?/p>

平面

ABCD

，故

可作為平面

ABCD

的法向量，則平面

AMN

與平面

ABCD

夾角的余弦值

??

．選擇條件②：

．因?yàn)槠矫?/p>

平面

PAD

，

ABCD

為矩形，

平面

平面

平面

ABCD

，所以

平面

PAD

，而PA在平面PAD中，所以

，又因?yàn)?/p>

，取

AD

中點(diǎn)為

G

，連接

MG

，

NG

，則有

，

，所以

≌

，所以

，則

，所以

，

平面

ABCD

，故

平面

ABCD

，以A為原點(diǎn)，以

AB

，

AD

，

AP

分別為

x

軸、

y

軸、

z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，

，

，

，則

，

，設(shè)平面

AMN

的法向量

，則

，令

，則

，因?yàn)?/p>

平面

ABCD

，故

可作為平面

ABCD

的法向量，則平面

AMN

與平面

ABCD

夾角的余弦值

．【變式3-1】如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問(wèn)題的條件作為已知，并作答．條件①條件②條件③平面平面求證：平面求直線BC與平面所成角的正弦值．【解析】選擇①②：因?yàn)?，，，所以又因?yàn)?，，平面所以平面選擇①③：因?yàn)椋?，，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面ABC所以平面由知，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，則，，所以設(shè)直線BC與平面所成角為，則所以直線BC與平面所成角的正弦值為【變式3-2】如圖在三棱柱中，D為AC的中點(diǎn)，，證明：；若，且滿足：______，______待選條件從下面給出的①②③中選擇兩個(gè)填入待選條件，求二面角的正弦值．①三棱柱的體積為；②直線與平面所成的角的正弦值為；③二面角的大小為；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】在三棱柱

中，由題意可得

，

，

≌

，又

同時(shí)在

中，

，

，

平面

，又

平面

，

，

且

，

平面

ABC方案一：選擇①③

平面

ABC

，

，

，

為二面角

的平面角，過(guò)點(diǎn)

A

作

于點(diǎn)

O

得

，又三棱柱

的體積為

，取

的中點(diǎn)為

E

，連接

，

ED

，過(guò)

E

作

于點(diǎn)

F

，連接

平面

，

平面

，所以又

，，，所以，可得

為二面角

的平面角．在中，由等面積性可知，又，，所以，從而由

，

，

，則

由于二面角

的平面角與二面角

的平面角互補(bǔ)，故二面角

的正弦值為

方案二：選擇①②；過(guò)點(diǎn)

A

作

于點(diǎn)

O

平面

平面

由易得且交于BC，

，又平面ABC，

平面

，故直線

與平面

所成角為

，且

設(shè)

，

，則

，即

，

取

的中點(diǎn)為

E

，連接

，

ED

，過(guò)

E

作

于點(diǎn)

F

，連接

平面

，

平面

，又

，由，可得

為二面角

的平面角其中

，

，

，則

由于二面角

的平面角與二面角

的平面角互補(bǔ)，故二面角

的正弦值為

方案三：選擇②③；

平面

ABC

，

，

，

為二面角

的平面角，即

平面

平面

，

平面

，故直線

與平面

所成角為

，且

設(shè)

，則

，即

取

的中點(diǎn)為

E

，連接

，

ED

，過(guò)

E

作

于點(diǎn)

F

，連接

平面

，

平面

，又

，由，可得

為二面角

的平面角其中

，

，

，則

由于二面角

的平面角與二面角

的平面角互補(bǔ)，故二面角

的正弦值為

考點(diǎn)四：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【典例4-1】已知函數(shù)，求函數(shù)的極值；請(qǐng)?jiān)谙铝孝佗谥羞x擇一個(gè)作答注意：若選兩個(gè)分別作答則按選①給分①若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，

，解得

，當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞增；當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞減；所以

，無(wú)極小值．若選①：由

恒成立，即

恒成立，整理得：

，即

，設(shè)函數(shù)

，則上式為

，因?yàn)?/p>

恒成立，所以

單調(diào)遞增，所以

，即

，令

，

，則

，當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞增

；當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞減；所以

在

處取得極大值，

即為

的最大值，為

，故

，即

．故當(dāng)

時(shí)，

恒成立．若選擇②：由關(guān)于

x

的方程

有兩個(gè)實(shí)根，得

有兩個(gè)實(shí)根，整理得

，即

，設(shè)函數(shù)

，則上式為

，因?yàn)?/p>

恒成立，所以

單調(diào)遞增，所以

，即

，令

，

，則

，當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞增；當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞減；所以

在

處取得極大值，即為

的最大值，為

，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，要使

有兩個(gè)根，只需要

，即

，所以

a

的取值范圍為

．【典例4-2】已知函數(shù)Ⅰ討論的單調(diào)性；Ⅱ從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：有一個(gè)零點(diǎn)．①，；②，【解析】Ⅰ，，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，令，可得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，且等號(hào)不恒成立，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．Ⅱ證明：若選①，由Ⅰ知，在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．注意到在上有一個(gè)零點(diǎn)；，由得，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．綜上：在R上僅有一個(gè)零點(diǎn)．若選②，則由Ⅰ知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，取，，，又易證，，在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．綜上：在R上有唯一零點(diǎn)．【變式4-1】已知函數(shù)討論的單調(diào)性；從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：有一個(gè)零點(diǎn)．①；②【解析】由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；若選擇條件①：由于，故，則，又，由可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．，由于，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．綜上可得，有一個(gè)零點(diǎn)．若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．綜上可得，有一個(gè)零點(diǎn)．

35．已知函數(shù)若函數(shù)，討論的單調(diào)性．從下面①②兩個(gè)問(wèn)題中任意選擇一個(gè)證明，若兩個(gè)都證明，則按第一個(gè)證明計(jì)分．①若函數(shù)，，且，證明：②若函數(shù)，證明：【解析】因?yàn)椋?，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，若，，單調(diào)遞減；若，，單調(diào)遞增．選①因?yàn)?，所以，的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．不妨設(shè)，則，由，可知，當(dāng)時(shí)，顯然成立．當(dāng)時(shí)，，由，且，可知，則，設(shè)，，，所以，所以成立．綜上所述，選②設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．因此，從而，則，因?yàn)?，所以中的等?hào)不成立，故

考點(diǎn)五：圓錐曲線【典例5-1】已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，右焦點(diǎn)F到雙曲線C的漸近線距離為求雙曲線C的方程；點(diǎn)P在第一象限，在直線上，點(diǎn)均在雙曲線C上，且軸，M在直線AQ上，三點(diǎn)共線．從下面①②中選取一個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①Q(mào)是AM的中點(diǎn)；②直線AB過(guò)定點(diǎn)【解析】由已知可得

，即

，雙曲線右焦點(diǎn)為

，結(jié)合對(duì)稱性不妨取一條漸近線為

，即

，則

，即

，故雙曲線C的方程為

．聯(lián)立

，解得

或

，故

在第一象限，若①作為條件，證明②，設(shè)

，由題意可知直線

AB

斜率一定存在，設(shè)直線

，由于雙曲線漸近線斜率為

，故

，Q

在直線

上，Q是

AM

的中點(diǎn)，則

，則

，

，因?yàn)?/p>

三點(diǎn)共線，故有

，聯(lián)立

，則

，需滿足

，則

，故由

，可得

，即

，

，將

代入可得

，即

，若

，則

，此時(shí)直線

過(guò)點(diǎn)

，與已知條件不符，故舍去，故只能是

，即直線

AB

：

過(guò)定點(diǎn)

．若②作為條件，證明①，由題意可知直線

AB

斜率一定存在，設(shè)直線

，

，設(shè)

，則

，聯(lián)立

，則

，需滿足

，則

，由

，

得直線

PB

的方程為

，令

得點(diǎn)

，要證Q是

AM

的中點(diǎn)，即證：

，即

，即證

，即

，即

，即證

，而

，故Q是

AM

的中點(diǎn)．【典例5-2】已知雙曲線C：，點(diǎn)M為雙曲線C右支上一點(diǎn)，A、B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，點(diǎn)E在y軸上．若點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)Q作BM的垂線l交該雙曲線C于S，T兩點(diǎn)，求的面積．若點(diǎn)M不與B重合，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①；②；③【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，直線BM的斜率，所以，垂線l的方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，得，則，，即，原點(diǎn)O到直線l的距離為，所以，的面積為①②作為條件，③作為結(jié)論令點(diǎn)，，由題意得，，，D，M三點(diǎn)共線，，又，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直線BM的斜率，，設(shè)點(diǎn)，直線EQ的斜率，，①③作為條件，②作為結(jié)論令點(diǎn)，，由已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，，D，M三點(diǎn)共線，，又，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，又，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，，，又，，②③作為條件，①作為結(jié)論令點(diǎn)，，，不妨設(shè)，，D，M三點(diǎn)共線，，且，點(diǎn)Q在