新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)題型第21講雙曲線（學(xué)生版）

第21講雙曲線真題展示2022新高考一卷第21題已知點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和為0．（1）求SKIPIF1<0的斜率；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．知識(shí)要點(diǎn)整理知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義1．定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2．定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦點(diǎn)：兩個(gè).4．焦距：的距離，表示為|F1F2|.知識(shí)點(diǎn)二雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1()eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1()焦點(diǎn)a，b，c的關(guān)系c2＝知識(shí)點(diǎn)三雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c間的關(guān)系c2＝(c>a>0，c>b>0)知識(shí)點(diǎn)四等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線，它的漸近線方程是，離心率為eq\r(2).知識(shí)點(diǎn)五直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線．(2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；Δ＝0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；Δ<0?直線與雙曲線有0個(gè)公共點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)六弦長(zhǎng)公式若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).試題亮點(diǎn)圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中重要且基本的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)也是高考考查的重點(diǎn)．試題分步設(shè)問(wèn)，逐步推進(jìn)，注重對(duì)基本概念、基本方法的考查，考查內(nèi)容由淺入深，層次分明，重點(diǎn)突出，能很好地引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材，試題對(duì)考生的邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及靈活地應(yīng)用解析幾何的基本方法將問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化的能力有一定的要求.因此，試題不僅有利于高校選拔人才，也有利于中學(xué)教學(xué)創(chuàng)新，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有積極的引導(dǎo)作用.三年真題1．已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在C上，且SKIPIF1<0．過(guò)P且斜率為SKIPIF1<0的直線與過(guò)Q且斜率為SKIPIF1<0的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在SKIPIF1<0上；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.2．如圖，SKIPIF1<0為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)寫(xiě)出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)線段SKIPIF1<0上異于O，A的任一點(diǎn)K作SKIPIF1<0的垂線，交橢圓于P，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M在雙曲線SKIPIF1<0上．3．如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：SKIPIF1<0．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若SKIPIF1<0，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．(1)證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與雙曲線C的右支交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說(shuō)明理由．5．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線SKIPIF1<0的一個(gè)焦點(diǎn)是SKIPIF1<0，一條漸近線的方程是SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若以SKIPIF1<0為斜率的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，求k的取值范圍．6．如圖，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為SKIPIF1<0，其左半部分記為SKIPIF1<0，右半部分記為SKIPIF1<0．(1)分別用不等式組表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若區(qū)域SKIPIF1<0中的動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離之積等于SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(3)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與（2）中的曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且與SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)．求證SKIPIF1<0的重心與SKIPIF1<0的重心重合．7．如圖，雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為左、右焦點(diǎn)，M為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是x軸上的兩點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作斜率不為0的直線l，使得l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，作直線SKIPIF1<0交雙曲線于另一點(diǎn)E．證明：直線SKIPIF1<0垂直于x軸．8．已知SKIPIF1<0是過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的兩條互相垂直的直線，且SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0各有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.9．已知雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸的乘積為SKIPIF1<0，C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，直線l過(guò)SKIPIF1<0且與直線SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，l與線段SKIPIF1<0的垂直平分線的交點(diǎn)是P，線段SKIPIF1<0與雙曲線C的交點(diǎn)為Q，且SKIPIF1<0，求雙曲線C的方程．10．雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為SKIPIF1<0的直線交雙曲線于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，求雙曲線的方程.11．如圖，已知兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．有一動(dòng)圓（圓心和半徑都在變動(dòng)）與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都相交，并且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0被截在圓內(nèi)的兩條線段的長(zhǎng)度分別是定值SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求圓心SKIPIF1<0的軌跡方程，并說(shuō)出軌跡的名稱．12．設(shè)SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若橢圓C上的點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫(xiě)出橢圓C的方程；(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率都存在，并記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0時(shí)，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線SKIPIF1<0寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．三年模擬1．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)SKIPIF1<0．2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）的左,右焦點(diǎn),SKIPIF1<0,若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0點(diǎn)的右支有公共點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的離心率的最小值;(2)當(dāng)雙曲線SKIPIF1<0的離心率最小時(shí),直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點(diǎn),求SKIPIF1<0的值.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，A，B分別是C的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在C上，點(diǎn)SKIPIF1<0，直線AD，BD與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離比到SKIPIF1<0的距離大2，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率不為0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率的比值.5．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3．(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程E．(2)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作直線l交曲線E于P，Q兩點(diǎn)（P，Q在y軸兩側(cè)），過(guò)原點(diǎn)O作直線SKIPIF1<0的平行線SKIPIF1<0交曲線E于M，N兩點(diǎn)（M，N在y軸兩側(cè)），試問(wèn)SKIPIF1<0是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2022·全國(guó)·安陽(yáng)市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線C：SKIPIF1<0與x軸的正半軸交于點(diǎn)M，動(dòng)直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)，SKIPIF1<0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若SKIPIF1<0，求點(diǎn)M到直線l距離的最大值．7．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄ASKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0及圓SKIPIF1<0中的一個(gè)外切，另一個(gè)內(nèi)切．(1)求動(dòng)圓圓心SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與軌跡SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，以線段SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過(guò)軌跡SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸正半軸的交點(diǎn)SKIPIF1<0，證明直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)一個(gè)不在軌跡SKIPIF1<0上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．8．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0，(1)求軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且法向量為SKIPIF1<0，直線與軌跡SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)．①過(guò)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，試確定SKIPIF1<0的取值范圍；②在SKIPIF1<0軸上是否存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，無(wú)論直線SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，使SKIPIF1<0恒成立？如果存在，求出定點(diǎn)SKIPIF1<0；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2022·云南云南·模擬預(yù)測(cè)）己知雙曲線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有相同的漸近線，A，F(xiàn)分別為雙曲線C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)B，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線的左?右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.10．（2022·浙江紹興·一模）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的一點(diǎn).(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0