5.5三角恒等變換【七大必考點+八大秒殺招+九大題型+分層訓練】高一數(shù)學題型歸類

5.5三角恒等變換【七大必考點+八大秒殺招+九大題型+分層訓練】知識精講知識精講知識點01兩角和與差的余弦、正弦、正切公式名稱簡記符號公式適用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R兩角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R兩角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanαtanβ≠1兩角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanαtanβ≠－1知識點02兩角和與差的余弦公式的靈活運用要學會順用(從左至右，即展開)、逆用(從右至左，即化簡)、變用(移項變形)公式．(1)順用公式，如：cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)；cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(2)逆用公式，如：cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α.(3)變用公式，如：cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ；cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.知識點03兩角和與差的正切公式的靈活運用(1)正切公式的逆用eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).(2)正切公式的變形應用tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；1＋tanαtanβ＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β).知識點04二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)知識點05二倍角公式的變形(1)(2)sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα).(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2.知識點06“二倍”的含義倍角公式中的“倍角”是相對的，對于兩個角的比值等于2的情況都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍．這就是說，“倍”是相對而言的，是描述兩個數(shù)量之間的關(guān)系的．知識點07萬能公式用正切來表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“萬能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).解題大招解題大招大招01在利用兩角差的三角公式求非特殊角的三角函數(shù)式的值時，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接化簡求值．逆用公式時充分利用誘導公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式．大招02兩角差的余弦公式常見題型及解法:①兩特殊角之差的余弦值，利用兩角差的余弦公式直接展開求解;②求非特殊角的三角函數(shù)值，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個特殊角的差，然后利用兩角差的余弦公式求解;③含有常數(shù)的式子，先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角差的余弦公式求解.大招03公式的運用有三種:①正用;②逆用;③變形用，都要熟練.大招04給值求值（1）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中可以根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角．常見角的變換有①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．（2）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值時，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關(guān)系．大招04給值求角問題的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．大招05二倍角公式的給值求值尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系．大招06二倍角公式的給角求值（1）直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式子進行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．（2）若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．大招07利用二倍角公式給值求角問題的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．大招08在給值求角時，一般選擇一個適當?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設確定所求角的范圍，然后再求出角．其中確定角的范圍是關(guān)鍵的一步．題型分類題型分類題型01兩角和與差的三角函數(shù)公式的應用【例1】已知sinα+7π12cosA．15 B．?15 C．3【解題思路】根據(jù)α+3π4【解答過程】因為sinα+所以cosπ12+α所以cos2π3即?1所以sinα+所以cos2α+5=?2故選：D．【變式1-1】已知sinπ2?θ=5A．3 B．?13 C．?3 【變式1-2】已知α，β都是銳角，cosα=17，cosα+β=?A．12 B．3998 C．5998題型02利用和（差）角公式化簡、求值【例2】已知sinα?sinβ=1?32，cosA．?32 B．?12 C．【解題思路】先求出sinα?sinβ=1?32【解答過程】因為sinα?所以(sin因為cosα?所以(cos所以cos2所以1+1?2(cos所以2?2cos故cos(α?β)=故選：D．【變式2-1】若sinπ4?α?β=?1A．?25 B．265 C．【變式2-2】化簡下列各式：(1)cosα+β(2)sinθ+105°(3)cosθ+(4)tanα?β題型03兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形【例3】cos162°cosA．32 B．12 C．?3【解題思路】根據(jù)誘導公式結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可.【解答過程】cos=?=cos故選：A.【變式3-1】tan3π4A．3 B．?3 C．?33【變式3-2】利用和（差）角公式計算下列各式的值：(1)sin72°(2)cos20°(3)1+題型04輔助角公式的應用【例4】函數(shù)f(x)=3sin4x+A．?2,π2 B．?2,π2【解題思路】首先利用輔助角公式，化簡函數(shù)，再求函數(shù)的最值和周期.【解答過程】f(x)=3=2sin所以函數(shù)的最小值為?2，周期為2π故選：B.【變式4-1】已知23sinα=1+2cosα,α∈A．7+3516 B．?78 C．【變式4-2】已知函數(shù)fx=asin(1)求a的值和fx(2)求fx在0,題型05利用二倍角公式化簡【例5】已知α∈0,π4，化簡2?2A．2sinα B．?2sinα 【解題思路】由倍角公式化簡即可.【解答過程】∵α∈0,2?2sin2α=故選：B.【變式5-1】化簡21?sin4+2+2A．2sin2 B．?2sin2 C．【變式5-2】若x∈?π,?π2A．2cosx2 B．2sinx2題型06利用二倍角公式求值【例6】已知角α的始邊為x軸的非負半軸，終邊過點(2,?1)，則cos2α?π4A．4225 B．?7225 【解題思路】由三角函數(shù)定義可得cosα=25【解答過程】由三角函數(shù)的定義，得cosα=25所以sin2α=2sinαcos2α=2cos2α?π4故選：D.【變式6-1】若tanα+π4=3，則A．1 B．65 C．75 【變式6-2】已知tanα=17，tanβ=1(1)求sin2α(2)求α+2β的值.題型07三角恒等式的證明【例7】證明下列恒等式：(1)sinα+β(2)tanθ+【解題思路】（1）運用恒等變換公式，同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可化簡；（2）運用兩角和的正切公式證明即可．【解答過程】（1）sin(α?β)sin==tan（2）tan(θ+π=tan【變式7-1】證明下列三角恒等式：(1)sinx(2)1+sin【變式7-2】在銳角△ABC中，求證：(1)tanA+(2)tanA題型08利用三角恒等變換判斷三角形的形狀【例8】在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【解題思路】根據(jù)兩角和與差的余弦公式可得sinA【解答過程】因為coscos所以sinA因為sin則?又A+B=π所以cosC=?所以?所以cosA?B又A,B為△ABC的內(nèi)角，所以A?B=0.所以A=B，故△ABC為等腰三角形.故選：C.【變式8-1】已知△ABC，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c，且sinA+sinB=cosA+A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形【變式8-2】在△ABC中，已知sinBsinC=cos2A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形題型09三角恒等變換的實際應用【例9】筒車是一種水利灌溉工具（如圖1所示），筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心為O，筒車的半徑為r，筒車轉(zhuǎn)動的周期為24s，如圖2所示，盛水桶M在P0處距水面的距離為?0.4s后盛水桶M在P1處距水面的距離為?1，若

A．π12 B．π6 C．π4【解題思路】首先做出輔助線，然后結(jié)合幾何體的特征進行計算即可求得直線與水面的夾角．【解答過程】如圖，

過O作直線l與水面平行，過P0作P0A⊥l，垂足為點A，過P1作設∠AOP0=α，∠BOP1則sinα=P0所以，sinβ?所以sinα+整理可得sinα?因為0<α<π2，則?π3<α?故選：A.【變式9-1】某大型商場為迎接新年的到來，在自動扶梯AC（AC>5）的C點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE，如圖所示，廣告牌底部點E正好為DC的中點，電梯AC的坡度∠CAB=30°．當人在A點時，觀測到視角∠DAE的正切值為39．當人運動到AC中點P時，PE=（

A．57 B．53 C．5 【變式9-2】已知OPQ是半徑為1，圓心角為π3的扇形，C是扇形弧上的動點.ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COB=θ，矩形ABCD的面積為S(1)當θ=π6時，求矩形ABCD的面積(2)求S關(guān)于角θ的解析式，并求S的最大值.分層分層訓練【基礎過關(guān)】1．已知角的終邊經(jīng)過點3,?4，將角的終邊順時針旋轉(zhuǎn)后得到角，則（

）A． B．7 C． D．2．已知，，則（

）A． B．2 C． D．3．的最小正周期是（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．若，則（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．9．在平面直角坐標系中，角與角的終邊關(guān)于軸對稱.若，則（

）A． B． C． D．10．若函數(shù)，又，且的最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．411．（多選）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則12．（多選）已知，且，則（

）A． B．C． D．13．（多選）下列化簡結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．14．已知函數(shù)的表達式為.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求方程在上的解.15．已知函數(shù)，且的最小正周期為．(1)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，求的最小值；(2)若，，求的值．

【能力提升】1．已知，且，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)是（

）A．偶函數(shù)，且最小值為－2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．非周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞減3．已知，則（

）A． B． C． D．4．