2025年高考數(shù)學二輪復習 專項訓練14 解三角形（原卷版）

2025二輪復習專項訓練14解三角形[考情分析]解三角形是高考考查的熱點，三角恒等變換單獨考查的題目較少，多以解三角形為背景，在用正弦定理、余弦定理的同時，經常應用三角恒等變換進行化簡，綜合性較強，難度中等．【練前疑難講解】一、正弦定理、余弦定理1．正弦定理及其變形在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，sinA＝eq\f(a,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其變形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).二、解三角形在實際生活中的應用求實際問題的注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計算的定理．三、正弦定理、余弦定理的綜合應用以三角恒等變換、正弦定理、余弦定理為解題工具，常與三角函數(shù)、向量、基本不等式、平面幾何等交匯命題．一、單選題1．（2024·全國·高考真題）在中,內角所對的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對邊分別為，D為的中點，已知，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建廈門·二模）如圖1，扇形的弧長為，半徑為，線段上有一動點，弧上一點是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以為頂點的圓錐，使得和重合，則在圖2的圓錐中（

）

A．圓錐的體積為B．當為中點時，線段在底面的投影長為C．存在，使得D．4．（2024·浙江·三模）已知的內角的對邊分別為，且，下列結論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當時，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是三、填空題5．（2024高三·江蘇·專題練習）在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，則=；若，則面積的最大值為．6．（2023·山東青島·一模）濕地公園是國家濕地保護體系的重要組成部分，某市計劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則千米．四、解答題7．（2023·全國·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．8．（23-24高三上·山東棗莊·期末）在中，角所對的邊分別為.若.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【基礎保分訓練】一、單選題1．（2024·湖北黃石·三模）若的三個內角，，所對的邊分別為，，，，，則（

）A． B． C． D．62．（2024·江西贛州·一模）在中，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北黃岡·一模）已知的內角所對的邊分別為，，下面可使得有兩組解的的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（

）A． B．4 C．2 D．5．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點E為AB的中點，把沿DE折起，使點A到達點P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．6．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，內角的對邊分別為若滿足，則該三角形為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定7．（2022·全國·模擬預測）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”），當太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據(jù)某地的地理位置設計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時太陽高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（注：）（

）A． B． C． D．8．（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．二、多選題9．（2023·河北秦皇島·二模）平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別是A0,2,B1,0,CA．sinA<sinC BC．的面積為 D．的外接圓半徑大于210．（2024·重慶·三模）在中，角的對邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．11．（2024·廣西南寧·三模）銳角三角形中，角，，所對應的邊分別是，，，下列結論一定成立的有（

）.A． B．C．若，則 D．若，則三、填空題12．（2024·山東泰安·一模）在中，內角的對邊分別為，已知，則．13．（2021·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則．14．（2024·江蘇揚州·模擬預測）《海島算經》是魏晉時期數(shù)學家劉徽所著的測量學著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學打算用學到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點A，B，測得，在點A處測得點C，D的仰角分別為，，在點B處測得點D的仰角為，則塔高CD為m．四、解答題15．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在中，角所對的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點，且.(1)求角的大??；(2)若，求的面積.16．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.17．（2023·湖南·模擬預測）的內角A，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.18．（2022·江蘇南京·模擬預測）記的內角的對邊分別為，已知，是邊上的一點，且.(1)證明：；(2)若，求.19．（2022高一下·四川成都·競賽）如圖，在△ABC中，AC⊥BC．延長BA到D，使得AD＝2，且．(1)若，求△DBC的面積；(2)當時，求△ACD面積的取值范圍．20．（21-22高二下·山西·期中）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范圍．【能力提升訓練】一、單選題1．（2024·廣東韶關·二模）在中，．若的最長邊的長為．則最短邊的長為（

）A． B． C．2 D．2．（2024·湖北·模擬預測）在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·二模）已知的內角A，，對邊分別為，，，滿足，若，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·一模）如圖，在中，是邊上靠近點的三等分點，是邊上的動點，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．5．（22-23高一下·福建廈門·期末）一個人騎自行車由地出發(fā)向正東方向騎行了到達地，然后由地向南偏東方向騎行了到達地，再從地向北偏東方向騎行了到達地，則兩地的距離為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·安徽馬鞍山·階段練習）如圖所示的鐘樓是馬鞍山二中的標志性建筑之一.某同學為測量鐘樓的高度，在鐘樓的正西方向找到一座建筑物，高為米，在地面上點處（三點共線）測得建筑物頂部，鐘樓頂部的仰角分別為和，在處測得鐘樓頂部的仰角為，則鐘樓的高度為（

）米.A． B．C． D．二、多選題7．（23-24高一下·山東泰安·階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，，，則有兩解B．若，，則的面積最大值為C．若，，，則外接圓半徑為D．若，則一定是等腰三角形8．（2022·山東濟南·模擬預測）如圖所示，設單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，，則下列說法正確的是（

）A．的長度為B．扇形OA1C．當與重合時，AP1D．當時，四邊形OAA1P9．（2024·廣東·一模）嘌呤是一種雜環(huán)有機化合物，它在能量的供應、代謝的調節(jié)等方面都有十分重要的作用，它的化學結構式主要由一個正五邊形與一個正六邊形構成（設它們的邊長均為1），其平面圖形如圖所示，則（

）A． B．O到AC的距離是C．O是的內切圓的圓心 D．三、填空題10．（2024·全國·模擬預測）在中，，，分別是角，，的對邊，若，則的值為.11．（2024·廣東東莞·模擬預測）在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的值為．12．（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在平面凸四邊形中，，，，，為鈍角，則對角線的最大值為.四、解答題13．（2024·遼寧·一模）已知在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中.(1)求A；(2)已知直線為的平分線，且與BC交于點M，若求的周長.14．（2024·貴州貴陽·一模）記的內角的對邊分別為，已知.(1)求角；(2)若，求面積的最大值.15．（2024·廣東梅州·二模）在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，(1)求A的大?。?2)點D在BC上，（Ⅰ）當，且時，求AC的長；（Ⅱ）當，且時，求的面積．16．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在中，已知角，，所對的邊分別為，，，．(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．17．（2024·云南·二模）中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，B是與的等差中項.(1)若，判斷的形狀;(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.18．（2024·廣東·模擬預測）在中，角的對邊分別是，且．(1)證明：．(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．19．（2024·河北衡水·一模）在中，內角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知的內角的對邊分別為的面積為．(1)求