2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練14 解三角形（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練14解三角形[考情分析]解三角形是高考考查的熱點(diǎn)，三角恒等變換單獨(dú)考查的題目較少，多以解三角形為背景，在用正弦定理、余弦定理的同時(shí)，經(jīng)常應(yīng)用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．【練前疑難講解】一、正弦定理、余弦定理1．正弦定理及其變形在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，sinA＝eq\f(a,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其變形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).二、解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用求實(shí)際問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計(jì)算的定理．三、正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用以三角恒等變換、正弦定理、余弦定理為解題工具，常與三角函數(shù)、向量、基本不等式、平面幾何等交匯命題．一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，D為的中點(diǎn)，已知，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建廈門·二模）如圖1，扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，線段上有一動(dòng)點(diǎn)，弧上一點(diǎn)是弧的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將該扇形卷成以為頂點(diǎn)的圓錐，使得和重合，則在圖2的圓錐中（

）

A．圓錐的體積為B．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，線段在底面的投影長(zhǎng)為C．存在，使得D．4．（2024·浙江·三模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是三、填空題5．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則=；若，則面積的最大值為．6．（2023·山東青島·一模）濕地公園是國(guó)家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則千米．四、解答題7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．8．（23-24高三上·山東棗莊·期末）在中，角所對(duì)的邊分別為.若.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·湖北黃石·三模）若的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則（

）A． B． C． D．62．（2024·江西贛州·一模）在中，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北黃岡·一模）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，下面可使得有兩組解的的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（

）A． B．4 C．2 D．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．6．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為若滿足，則該三角形為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）圭表（如圖甲）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”），當(dāng)太陽(yáng)在正午時(shí)刻照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個(gè)根據(jù)某地的地理位置設(shè)計(jì)的主表的示意圖，已知某地冬至正午時(shí)太陽(yáng)高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時(shí)太陽(yáng)高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為a，則表高（即AC的長(zhǎng)）為（注：）（

）A． B． C． D．8．（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．二、多選題9．（2023·河北秦皇島·二模）平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A0,2,B1,0,CA．sinA<sinC BC．的面積為 D．的外接圓半徑大于210．（2024·重慶·三模）在中，角的對(duì)邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．11．（2024·廣西南寧·三模）銳角三角形中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，下列結(jié)論一定成立的有（

）.A． B．C．若，則 D．若，則三、填空題12．（2024·山東泰安·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則．13．（2021·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則．14．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書中有一道測(cè)量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某建筑物上面一座信號(hào)塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)A，B，測(cè)得，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C，D的仰角分別為，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，則塔高CD為m．四、解答題15．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點(diǎn)，且.(1)求角的大??；(2)若，求的面積.16．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.17．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).18．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，是邊上的一點(diǎn)，且.(1)證明：；(2)若，求.19．（2022高一下·四川成都·競(jìng)賽）如圖，在△ABC中，AC⊥BC．延長(zhǎng)BA到D，使得AD＝2，且．(1)若，求△DBC的面積；(2)當(dāng)時(shí)，求△ACD面積的取值范圍．20．（21-22高二下·山西·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范圍．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·廣東韶關(guān)·二模）在中，．若的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為．則最短邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，，，若存在兩個(gè)這樣的三角形，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·二模）已知的內(nèi)角A，，對(duì)邊分別為，，，滿足，若，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·一模）如圖，在中，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．5．（22-23高一下·福建廈門·期末）一個(gè)人騎自行車由地出發(fā)向正東方向騎行了到達(dá)地，然后由地向南偏東方向騎行了到達(dá)地，再?gòu)牡叵虮逼珫|方向騎行了到達(dá)地，則兩地的距離為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖所示的鐘樓是馬鞍山二中的標(biāo)志性建筑之一.某同學(xué)為測(cè)量鐘樓的高度，在鐘樓的正西方向找到一座建筑物，高為米，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，鐘樓頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得鐘樓頂部的仰角為，則鐘樓的高度為（

）米.A． B．C． D．二、多選題7．（23-24高一下·山東泰安·階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，，，則有兩解B．若，，則的面積最大值為C．若，，，則外接圓半徑為D．若，則一定是等腰三角形8．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的長(zhǎng)度為B．扇形OA1C．當(dāng)與重合時(shí)，AP1D．當(dāng)時(shí)，四邊形OAA1P9．（2024·廣東·一模）嘌呤是一種雜環(huán)有機(jī)化合物，它在能量的供應(yīng)、代謝的調(diào)節(jié)等方面都有十分重要的作用，它的化學(xué)結(jié)構(gòu)式主要由一個(gè)正五邊形與一個(gè)正六邊形構(gòu)成（設(shè)它們的邊長(zhǎng)均為1），其平面圖形如圖所示，則（

）A． B．O到AC的距離是C．O是的內(nèi)切圓的圓心 D．三、填空題10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，則的值為.11．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的值為．12．（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，在平面凸四邊形中，，，，，為鈍角，則對(duì)角線的最大值為.四、解答題13．（2024·遼寧·一模）已知在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中.(1)求A；(2)已知直線為的平分線，且與BC交于點(diǎn)M，若求的周長(zhǎng).14．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角；(2)若，求面積的最大值.15．（2024·廣東梅州·二模）在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，，，(1)求A的大?。?2)點(diǎn)D在BC上，（Ⅰ）當(dāng)，且時(shí)，求AC的長(zhǎng)；（Ⅱ）當(dāng)，且時(shí)，求的面積．16．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)若為銳角三角形，求的取值范圍．17．（2024·云南·二模）中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，B是與的等差中項(xiàng).(1)若，判斷的形狀;(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.18．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)證明：．(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．19．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為．(1)求