2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練17 空間幾何體（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練17空間幾何體[考情分析]高考?？贾R(shí)，主要考查幾何體的表面積與體積、球的組合體問(wèn)題．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，部分題目難度較大．【練前疑難講解】一、空間幾何體的截面問(wèn)題1．用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵．2．確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的四個(gè)基本事實(shí)及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．二、表面積與體積1．柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積公式：(1)圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；(2)圓錐的表面積S＝πr(r＋l)；(3)圓臺(tái)的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；(4)球的表面積S＝4πR2.2．柱體、錐體和球的體積公式：(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V球＝eq\f(4,3)πR3.三、多面體與球多面體的外接球模型：(1)長(zhǎng)方體的外接球直徑為體對(duì)角線，則R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)；正方體的外接球半徑為R＝eq\f(\r(3)a,2)；正方體的內(nèi)切球半徑為r＝eq\f(a,2).(2)柱體模型如圖①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，設(shè)外接球半徑為R，球心為O，△ABC的外接圓圓心為O1，則R＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1A2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r2)，其中r＝O1A為△ABC外接圓半徑．(3)錐體模型如圖②，在正三棱錐P－ABC中，先求出高線長(zhǎng)h＝PO1＝eq\r(PA2－r2)，在Rt△OO1A中，R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R為外接球半徑，r＝O1A為△ABC外接圓半徑，O1為△ABC的外接圓圓心．(4)正四面體(構(gòu)造正方體)、對(duì)棱相等的三棱錐(構(gòu)造長(zhǎng)方體)如圖③：正四面體D－A′BC′可構(gòu)造正方體(所有面對(duì)角線相等)；如圖④：對(duì)棱相等的三棱錐A－BCD可構(gòu)造長(zhǎng)方體(對(duì)面的對(duì)角線相等)．一、單選題1．（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為1和3，高為2.用一個(gè)平行于底面的截面截棱臺(tái)，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為（

）A． B． C． D．2．（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，軸截面ABCD為等腰梯形，且滿足.下列說(shuō)法正確的是（

）

A．該圓臺(tái)軸截面ABCD的面積為B．該圓臺(tái)的表面積為C．該圓臺(tái)的體積為D．該圓臺(tái)有內(nèi)切球，且半徑為4．（2023·廣東深圳·二模）如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點(diǎn)E、F重合，記為點(diǎn)P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（

）A．三棱錐的體積為 B．直線PA與直線BC所成角的余弦值為C．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D．三棱錐外接球的半徑為三、填空題5．（2024·全國(guó)·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為,，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為．6．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的軸截面面積為，則該圓錐的外接球半徑的最小值為.參考答案：題號(hào)1234答案DBABBD1．D【分析】延長(zhǎng)正四棱臺(tái)的棱交于一點(diǎn)，由三角形相似，求出，再由棱臺(tái)的體積公式求出截面截得棱臺(tái)的上部分幾何體的體積，設(shè)截面與上底面的距離為，正方形的邊長(zhǎng)為，由三角形相似，得到，結(jié)合即可求出.【詳解】延長(zhǎng)正四棱臺(tái)的棱交于點(diǎn)，如圖所示，截面平行于底面設(shè)上底面的面積為，下底面的面積為，截面的面積為，正四棱臺(tái)的體積為，平行于底面的截面截棱臺(tái)，截得的上部分幾何體體積為，則，上底面的中心為，下底面的中心為，連結(jié)，則上底面，下底面，正四棱臺(tái)的高為，設(shè)截面與上底面的距離為，正方形的邊長(zhǎng)為，，，由得，，由得，，又，所以，同理可得，得，所以，①又因?yàn)?，②由①②得，，，所以截面與上底面的距離為.故選：D.

2．B【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)?，所以，，所以，，，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.3．AB【分析】求出圓臺(tái)的高可判斷A；由圓臺(tái)的表面積和體積公式可判斷B，C；由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，可得高，則圓臺(tái)軸截面ABCD的面積為，故A正確；對(duì)于B，圓臺(tái)的側(cè)面積為，又，，所以，故B正確；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若圓臺(tái)存在內(nèi)切球，則必有軸截面ABCD存在內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓，故D錯(cuò)誤，故選：AB.4．BD【分析】證明平面，再根據(jù)即可判斷A；先利用余弦定理求出，將用表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為即可判斷C；利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.【詳解】由題意可得，又平面，所以平面，在中，，邊上的高為，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，cos=2所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；由B選項(xiàng)知，，則，所以的外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，又因?yàn)槠矫?，則，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故D正確.故選：BD.5．【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為，，所以.故答案為：.6．2【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則無(wú)論球心在圓錐內(nèi)還是圓錐外，都有，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，.故答案為：2.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（

）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點(diǎn)為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·江蘇南京·二模）在圓臺(tái)中，圓的半徑是圓半徑的2倍，且恰為該圓臺(tái)外接球的球心，則圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知某棱長(zhǎng)為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2023·天津北辰·三模）中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．68．（2024·天津·二模）已知正方體的外接球的體積為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（

）．A． B． C． D．9．（2024·河北邢臺(tái)·一模）如圖，正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒(méi)），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（

）A． B． C． D．10．（2024·天津?yàn)I海新·二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當(dāng)時(shí)并不知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問(wèn)題，用杠桿法解決體積問(wèn)題.我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之比（

）A．， B．， C．， D．，二、多選題11．（2024·山西朔州·一模）已知圓錐的側(cè)面積為，底面圓的周長(zhǎng)為，則（

）A．圓錐的母線長(zhǎng)為4B．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為C．圓錐的體積為D．沿著圓錐母線的中點(diǎn)截圓錐所得圓臺(tái)的體積為12．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（

）A．在四面體中，點(diǎn)的曲率為B．在四面體中，點(diǎn)的曲率大于C．四面體外接球的表面積為D．四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱，，的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則（

）A．直線平面B．直線平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積14．（2024·安徽·一模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．直線與平面所成的角等于B．四棱錐的體積為C．兩條異面直線和所成的角為D．二面角的平面角的余弦值為三、填空題15．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)的上底面與下底面的邊長(zhǎng)之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺(tái)的體積為.16．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．17．（2024·全國(guó)·二模）已知圓錐的軸截面為正三角形，球與圓錐的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐的體積?表面積分別為，球的體積?表面積分別為，則.18．（2023·上海徐匯·二模）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為，則此圓錐的體積為.參考答案：題號(hào)12345678910答案AABCCAABAC題號(hào)11121314答案ACDABDBCDABC1．A【分析】由題意可求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的母線長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以及圓柱的側(cè)面積公式結(jié)合圓的面積公式，即可求得答案.【詳解】由題意知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，設(shè)底面圓的半徑為r，則，則圓錐的母線長(zhǎng)為（米），故該蒙古包（含底面）的表面積為（平方米），故選：A2．A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

3．B【分析】將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為、、，長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，而長(zhǎng)方體外接球的直徑即為其體對(duì)角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為、、，四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，而長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為，故，所以外接球表面積為.故選：B.4．C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，外接球的半徑為，依題意求出、，即可得，最后由球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意圓錐高，設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則，解得l=2r=23，可知，所以圓錐的外接球球的表面積.故選：C.5．C【分析】令外接球的半徑為，作出圖象，求出圓臺(tái)的母線，即可求出圓臺(tái)的側(cè)面積，再求出球的表面積，即可得解.【詳解】令外接球的半徑為，依題意，，，過(guò)點(diǎn)作，則，所以，又，所以，所以圓臺(tái)的側(cè)面積，球的表面積，所以圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為.故選：C6．A【分析】在棱長(zhǎng)為2的正方體中構(gòu)造棱長(zhǎng)為的正四面體，結(jié)合正方體的性質(zhì)和求得表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中構(gòu)造棱長(zhǎng)為的正四面體，顯然正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故球的半徑，則該球的表面積為．故選：A．7．A【分析】根據(jù)題意，求正方體的內(nèi)切球半徑，易知該球?yàn)樗笳拿骟w的外接球，根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可求得棱長(zhǎng)．【詳解】由題意，球是正方體的內(nèi)切球，且該球?yàn)檎拿骟w的外接球時(shí)，四面體的棱長(zhǎng)最大，則該球半徑，如圖：可知為外接球球心，，平面，為底面等邊的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，，在中，則，即，解得，即．故選：A8．B【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計(jì)算正方體棱長(zhǎng)，再根據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，所以，所以.故選：B9．A【分析】先計(jì)算水的體積，再計(jì)算放入球后水和球的總體積，可得鐵球的體積，利用體積公式可得答案.【詳解】正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，正四棱臺(tái)容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長(zhǎng)為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長(zhǎng)10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長(zhǎng)為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A10．C【分析】設(shè)球的半徑為，利用球和圓柱的表面積、體積公式求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面圓半徑為，圓柱的高為，所以圓柱的表面積，體積，球的表面積，體積，所以圓柱的表面積與球的表面積之比，圓柱體積與球體積之比，故選：C11．ACD【分析】先求出圓錐的母線和底面半徑的長(zhǎng)，逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】

對(duì)于A，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，則，故，故A正確.對(duì)于B，圓錐的高為，則，故圓錐的母線與底面所成角的正弦值為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，圓錐的體積為，故C正確.對(duì)于D，沿著圓錐母線的中點(diǎn)截圓錐所得小圓錐的體積為，故所得圓臺(tái)的體積為，故D正確.故選：ACD.12．ABD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及四面體的內(nèi)切球與外切球的半徑算法，結(jié)合曲率的定義分別計(jì)算各選項(xiàng).【詳解】在正方體中，易證為正三角形，，，在四面體中，點(diǎn)的曲率為，A選項(xiàng)正確；在正方體中，，，，在四面體中，點(diǎn)的曲率為，B選項(xiàng)正確；四面體外接球的半徑即為正方體外接球的半徑為，四面體外接球的表面積為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；四面體的體積，四面體的表面積，四面體內(nèi)切球的半徑，即，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.13．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得出各直線的方向向量和平面的法向量，求出相應(yīng)三棱錐的體積和外接球的表面積，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，P，E，F(xiàn)分別為棱，，BC的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則,,A項(xiàng)，

，設(shè)面的法向量為，則，即解得：，當(dāng)時(shí)，，∵，∴直線與面不平行，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，

設(shè)面的法向量為，則，即解得：，當(dāng)時(shí)，，∵，∴直線與平面平行，B正確；C項(xiàng)，

，C正確；D項(xiàng)，

如圖，三棱錐恰好在長(zhǎng)方體上，且為體對(duì)角線，

∴為三棱錐外接球的直徑，由幾何知識(shí)得，∴三棱錐的外接球表面積為，D正確；故選：BCD.14．ABC【分析】根據(jù)線面角的定義及求法即可判斷A；由平面即可求出四棱錐的體積判斷B；由異面直線所成角的定義及求法即可判斷C；由平面角的定義及余弦定理即可判斷D．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，而平面，平面，得，平面則平面，所以是直線與平面所成的角為，故A正確；點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度為，則，故B正確；易證，所以異面直線和所成的角為或其補(bǔ)角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以兩條異面直線和所成的角為，故C正確；連接，由，所以，又，所以為二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．15．/【分析】依題意作出棱臺(tái)的軸截面，利用切線長(zhǎng)定理和射影定理求出上下底面邊長(zhǎng)，代入棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即得.【詳解】如圖，作出正四棱臺(tái)的軸截面,設(shè)上底面邊長(zhǎng)為，則下底面邊長(zhǎng)為，則，,故,在中，,則由射影定理，得，解得，于是棱臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，高為2，故該正四棱臺(tái)的體積為：.故答案為：.16．【分析】利用球的截面圓性質(zhì)求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.【詳解】由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑，則該球的體積為.故答案為：.17．1【分析】設(shè)正的邊長(zhǎng)為2，求出圓錐底面圓半徑、高、母線及球的半徑，再利用體積、表面積公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，設(shè)正的邊長(zhǎng)為2，則圓錐的底面圓半徑為1，高為，母線長(zhǎng)為2，因此，，球半徑即為正的邊心距，因此，，所以.故答案為：118．/【分析】由圓錐側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體積公式即可得出答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為：，所以，所以圓錐的高.故圓錐的體積為：.故答案為：.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知球與圓臺(tái)的上、下底面和側(cè)面均相切，且球與圓臺(tái)的體積之比為，則球與圓臺(tái)的表面積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·一模）已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為和，且，則該棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）表面積為的球內(nèi)切于圓錐，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·江西九江·二模）已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)接于球（圓臺(tái)的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．5．（2024·湖南常德·三模）如圖，現(xiàn)有棱長(zhǎng)為6cm的正方體玉石缺失了一個(gè)角，缺失部分為正三棱錐，且分別為棱靠近的四等分點(diǎn)，若將該玉石打磨成一個(gè)球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為（

）

A． B．C． D．6．（2024·福建莆田·二模）柏拉圖多面體是指每個(gè)面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴(yán)格對(duì)稱，結(jié)構(gòu)等價(jià)的特點(diǎn)．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北武漢·二模）燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個(gè)球缺）.如圖2，“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（?。?/p>

）

A．cm3 B．33664cm3 C．33792cm3 D．35456cm38．（2024·北京豐臺(tái)·一模）正月十五元宵節(jié)，中國(guó)民間有觀賞花燈的習(xí)俗．在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個(gè)“半正多面體”形狀的花燈（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為2．關(guān)于該半正多面體的四個(gè)結(jié)論：①棱長(zhǎng)為；②兩條棱所在直線異面時(shí)，這兩條異面直線所成角的大小是60°；③表面積為；④外接球的體積為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④9．（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺(tái)中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，若，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．11．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．二、多選題13．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使平面C．三棱錐的體積為D．經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的球的表面積為14．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱BC的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若是棱的中點(diǎn)，則過(guò)A，M，N的平面截正方體所得的截面圖形的周長(zhǎng)為C．若是棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積為D．若CN與平面所成的角為，則15．（2022·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個(gè)截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長(zhǎng)半軸與短半軸長(zhǎng)之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個(gè)平行平面去截該圓柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．底面橢圓的離心率為B．側(cè)面積為C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為D．底面積為三、填空題16．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是，圓錐的表面積與球的表面積的比值是．17．（2024·浙江溫州·一模）與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為.18．（22-23高一下·湖北武漢·期末）甲?乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則.參考答案：題號(hào)12345678910答案DBBCBDBBCB題號(hào)1112131415答案ACABCADABD1．D【分析】由球與圓臺(tái)的體積之比為，得到圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，球的半徑之間的關(guān)系，代入表面積公式化簡(jiǎn)，即可得到答案.【詳解】

由題意，作出圓臺(tái)的軸截面，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，球的半徑，則，過(guò)A作于點(diǎn)，由，得，化簡(jiǎn)得，由球的體積公式，圓臺(tái)的體積公式，已知球與圓臺(tái)的體積之比為，則，化簡(jiǎn)得，則，得，又球的表面積，圓臺(tái)的表面積，所以，故選：D.2．B【分析】根據(jù)正棱臺(tái)的幾何特點(diǎn)，結(jié)合已知條件，求得棱臺(tái)的高，再求棱臺(tái)體積即可.【詳解】對(duì)正四棱臺(tái)，連接，取中點(diǎn)分別為，連接，如下所示：因?yàn)闉檎睦馀_(tái)，則四邊形均為正方形，且垂直于上下底面，，易知//，，故四邊形為平行四邊形，則//，且，因?yàn)?，則，又，且，由，即，解得；由面，面，則；則，又正方形的面積為，正方形的面積為，故正四棱臺(tái)的體積.故選：B.3．B【分析】求出圓錐內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，求出，再換元利用基本不等式求出函數(shù)的最小值得解.【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，軸截面如下圖示，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，所以，所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以該圓錐的表面積的最小值為.故選：B

4．C【分析】利用圓臺(tái)表面積得母線長(zhǎng)和圓臺(tái)的高，由勾股定理求出球的半徑，可計(jì)算體積.【詳解】設(shè)圓臺(tái)母線長(zhǎng)為l，上、下底面半徑分別為和，

則圓臺(tái)側(cè)面積為，上、下底面面積分別為和.由圓臺(tái)表面積為，得，所以圓臺(tái)高，設(shè)球半徑為，圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，且，高為1.作于點(diǎn)，設(shè)，由，則球心在圓臺(tái)外部.則有，解得，所以球的體積為.故選：C.5．B【分析】利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，說(shuō)明所以所求球形體積最大時(shí)即為棱長(zhǎng)為6的正方體的正方體的內(nèi)切球，再根據(jù)求得體積公式即可得解.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，而，由，得，解得，棱長(zhǎng)為6的正方體的正方體的內(nèi)切球的半徑為，棱長(zhǎng)為6的正方體體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，因?yàn)?，所以所求球形體積最大時(shí)即為棱長(zhǎng)為6的正方體的正方體的內(nèi)切球，則該球形飾品的體積的最大值為.故選：B.6．D【分析】根據(jù)正八面體的幾何特點(diǎn)求得該幾何體的球心，再由球的體積計(jì)算公式求得球半徑，結(jié)合球半徑和棱的關(guān)系，以及三角形面積計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作正八面體如下所示，連接，設(shè)，根據(jù)其對(duì)稱性可知，過(guò)點(diǎn)，又該八面體為正八面體，則面，又面，故；顯然正八面體的外接球球心為，設(shè)其半徑為，，則，在直角三角形中，；由可得，則；故該八面體的表面積.故選：D.7．B【分析】由勾股定理求出，則可得，分別求出兩個(gè)圓柱的體積、燈籠中間完整的球的體積與球缺的體積即可得..【詳解】該燈籠去掉圓柱部分的高為cm，則cm，由圓柱的底面圓直徑為24cm，則有，即，可得，則，.故選：B.8．B【分析】注意到棱長(zhǎng)總是一個(gè)等腰直角三角形的斜邊，即可通過(guò)直角邊的長(zhǎng)度判斷①正確；可以找到一對(duì)位于正方形相對(duì)的面上的兩條垂直且異面的棱，得到②錯(cuò)誤；根據(jù)該幾何體每種面（正三角形和正方形）各自的數(shù)量和面積，可以計(jì)算出該幾何體的表面積，從而判斷出③正確；直接證明正方形的中心到該幾何體每個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，并計(jì)算出距離，即可求出外接球的體積，得到④錯(cuò)誤.這就得到全部正確的結(jié)論是①③，從而選B.【詳解】如圖所示：該幾何體的每條棱都是的一個(gè)等腰直角三角形的斜邊，且該等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)度為正方體邊長(zhǎng)的一半，故該等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)度為1，從而該幾何體的每條棱的長(zhǎng)度都是，①正確；若為該幾何體位于正方體的一組相對(duì)的面上的兩個(gè)平行的棱，為該幾何體位于正方體的同一個(gè)面的兩條棱，則，平行于，異面，所以異面，，這意味著存在一對(duì)異面的棱所成角是直角，②錯(cuò)誤；該幾何體一共有14個(gè)面，其中6個(gè)是正方形，8個(gè)是正三角形，邊長(zhǎng)均為，故每個(gè)正方形的面積都是，每個(gè)正三角形的面積都是，故表面積為，③正確；設(shè)正方體的中心為，由于對(duì)該幾何體的任意一個(gè)頂點(diǎn)都是正方體的某條邊的中點(diǎn)，故到該幾何體的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離都是正方體邊長(zhǎng)的倍，即.這意味著以為球心，半徑為的球是該幾何體的外接球，從而外接球的體積，④錯(cuò)誤.從而全部正確的結(jié)論是①③.故選：B.9．C【分析】根據(jù)勾股定理求解棱臺(tái)的高,進(jìn)而根據(jù)相切，由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】設(shè)棱臺(tái)上下底面的中心為,連接，則，所以棱臺(tái)的高,設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點(diǎn)處，設(shè)中點(diǎn)為，連接,所以，解得，所以球的表面積為，故選：C10．B【分析】設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正、余弦定理求得，再設(shè)外接球的半徑為，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，求得，利用求得表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，在中，，且，由余弦定理得，設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正弦定理得，即再設(shè)直三棱柱外接球的球心為，外接球的半徑為，在直角中，可得，所以球的表面積為.故選：B.

11．A【分析】求出棱錐的高，進(jìn)而得到棱錐體積，設(shè)出內(nèi)切球半徑，根據(jù)體積得到方程，求出半徑，進(jìn)而得到表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為的中點(diǎn)為，則⊥平面，因?yàn)樗睦忮F的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以，因?yàn)?，由勾股定理得，故棱錐的體積為，棱錐的表面積為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，

則由等體積法可得，解得，所以．故選：A12．C【分析】根據(jù)題中條件作出外接球球心，利用勾股定理計(jì)算得到半徑，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】過(guò)三角形的中心作平面的垂線，過(guò)三角形的中心作平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，依據(jù)題中條件可知，為四面體的外接球球心，因?yàn)?，所?則,即外接球半徑為，則該球的表面積為，故選：C.13．ABC【分析】由題意，當(dāng)Q與點(diǎn)重合時(shí)，四點(diǎn)共面，即可判斷A；根據(jù)平行的傳遞性可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷B；利用等體積法和棱錐的體積公式計(jì)算即可判斷C；易知經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體的外接球，求出球的半徑即可判斷D.【詳解】A：如圖，在正方體中，連接．因?yàn)镹，P分別是的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?，所以．所以四點(diǎn)共面，即當(dāng)Q與點(diǎn)重合時(shí)，四點(diǎn)共面，故A正確；B：連接，當(dāng)Q是的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，故B正確；C：連接，因?yàn)?，則，故C正確；D：分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，構(gòu)造長(zhǎng)方體，則經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體的外接球．設(shè)所求外接球的直徑為，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為所求的球的直徑，即，所以經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC14．AD【分析】對(duì)于A,根據(jù)線面平行可知，點(diǎn)到平面的距離為定值，繼而可判定；對(duì)于B,根據(jù)題意畫(huà)出截面圖，計(jì)算即可；對(duì)于C，作出圖形，根據(jù)題意建立方程組，解出即可；對(duì)于D，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得的表達(dá)式，進(jìn)一步計(jì)算求范圍即可.【詳解】對(duì)于A,連接,因?yàn)?平面,平面,所以平面,

又點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），所以點(diǎn)到平面的距離為定值，設(shè)為，則，為定值，故A