全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)滿分限時(shí)練

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的考查主要為函數(shù)性質(zhì)，基本初等函數(shù)，函數(shù)的應(yīng)用為主．函數(shù)性質(zhì)主要為函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和值域（最值）的考查，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；基本初等函數(shù)的考查一般單獨(dú)或與不等式結(jié)合命題考查，考查的形式主要為填空題和選擇題；函數(shù)的應(yīng)用主要為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的考查，難度相對(duì)較難．2．導(dǎo)數(shù)的考查一般是一道大題一道小題的形式出現(xiàn)，小題即為選擇題、填空題，主要對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的直接運(yùn)用；大題即解答題一般以壓軸題的形式出現(xiàn)，主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等方面的綜合運(yùn)用，難度較大．滿分訓(xùn)練一、選擇題．1．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?∞，設(shè)，∴，即函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除B、C選項(xiàng)，當(dāng)x→+∞時(shí)，有，故排除A選項(xiàng)，（取x1則，，，因?yàn)閤1=綜上所得D選項(xiàng)符合題意，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，由函數(shù)的性質(zhì)入手是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．函數(shù)，若fa≤5，則實(shí)數(shù)aA． B．C． D．【答案】A【解析】fa≤5可化為或，解得a≤?1或，故選A．【點(diǎn)評(píng)】常見(jiàn)解不等式的類型：（1）解一元二次不等式用圖象法或因式分解法；（2）分式不等式化為標(biāo)準(zhǔn)型后利用商的符號(hào)法則；（3）指對(duì)數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；（4）含參數(shù)的不等式需要分類討論．3．已知fx是定義在R上的函數(shù)，f1+x=f(1?x)，且當(dāng)時(shí)，，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閒1+x=f1?x，所以函數(shù)f又，，，所以，，．因?yàn)椋?，所以，又?dāng)x≥1時(shí)，為減函數(shù)，所以，即b>a>c，故選C．【點(diǎn)評(píng)】比較函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大?。?．已知函數(shù)，其中f'x為函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，則（）A．0 B．2 C．2020 D．2021【答案】B【解析】，所以，，，所以，所以f'2021所以，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性和求導(dǎo)函數(shù)以及求導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，解答本題的關(guān)鍵是由解析式求得fx+f?x=2，從而得到，求出，得到，得到f5．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．(2，+∞) B． C． D．(?∞【答案】D【解析】因?yàn)?，所以函?shù)在R上單調(diào)遞減，由于，所以4x?1<3，得x<1，【點(diǎn)評(píng)】判斷函數(shù)fx6．已知定義在0，+∞上的函數(shù)fx滿足xf'若fm?2021>m?2021A．0，2021 B．0，2022 C．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中x>0，則，所以，函數(shù)為0，+∞由fm?2021>m?2021f1，所以，0<m?2021<1，解得2021<m<2022．因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是2021，2022【點(diǎn)評(píng)】四種常用的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法：（1）對(duì)于不等式f'x+g'（2）對(duì)于不等式f'x?g'（3）對(duì)于不等式xf'x+cfx>0（或）（其中c（4）對(duì)于不等式f'x+cfx>0（或c<07．a(chǎn)克糖水中含有b克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個(gè)質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，對(duì)應(yīng)的不等式為(a>b>0，m>0)．若x1=log32，xA．x1<x2<x3 B．【答案】B【解析】因?yàn)閤1=log32所以，，，根據(jù)題意當(dāng)a>b>0，m>0時(shí)，成立，又lg3>lg2>0即x2又，所以x2>x【點(diǎn)評(píng)】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路：（1）拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并；（2）合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．8．已知，，，若函數(shù)gx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以a=0，所以，令，則．令，得?2<x<2；令，得x<?2或x>2，所以f'x在?2，2上單調(diào)遞增，在所以f'x的極大值為，極小值為．因?yàn)楹瘮?shù)gx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程和共有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．又，所以或或，解得或，故選A．【點(diǎn)評(píng)】在考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定及應(yīng)用時(shí)，把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，正確作出函數(shù)的圖象是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．9．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)=xex+2，若關(guān)于x的函數(shù)F(x)=[f(x)]A． B．C． D．【答案】C【解析】F(x)=f(x)?2f(x)+a=0時(shí)，f(x)=xex+2<2，x<?1時(shí)，f'(x)<0，f(x)遞減；?1<x<0時(shí)，f'∴f(x)的極小值為，又f(x)<2，因此f(x)=2無(wú)解．此時(shí)要有兩解，則，又f(x)是奇函數(shù)，∴x>0時(shí)，f(x)=2仍然無(wú)解，要有兩解，則．綜上有，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．首先方程化為f(x)=2或，然后用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)，f(x)的性質(zhì)，同理，由奇函數(shù)性質(zhì)得出x>0時(shí)，f(x)的性質(zhì)，從而得出f(x)=2無(wú)解，有兩解時(shí)a的取值范圍．10．曲線fx=2xlnx在A． B． C． D．【答案】D【解析】由fx=2xlnx，得，則f所以曲線fx在x=e處的切線l的方程為y?2e=4x?e，即令x=0，得y=?2e；令y=0，得．所以直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，所以切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．11．已知函數(shù)fx=ex?aA． B． C． D．【答案】D【解析】f'(x)=ex?a即在上有解，記，，當(dāng)時(shí)，g'(x)>0，g(x)g(0)=1，，所以，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值．函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有極值，則在這個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn)，f'(x)=012．設(shè)函數(shù)f(x)=ex?x，直線是曲線y=f(x)的切線，則A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由題得f'(x)=ex?1，設(shè)切點(diǎn)(t，f(t))，則f(t)=則切線方程為：y?(et?t)=(又因?yàn)?，所以，b=et(1?t)則a+b=?1+2e令g(t)=?1+2et?t則有t>1，g'(t)<0；t<1，g'(t)>0，即g(t)在?∞，1上遞增，在所以t=1時(shí)，g(t)取最大值，即a+b的最大值為e?1，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程和研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．二、填空題．13．已知函數(shù)fx=sinx?①不等式fx>0的解集為或；②fx在區(qū)間0③fx的圖象關(guān)于直線x=π④fx的最大值為；⑤fx的最小值為．【答案】③④【解析】由，①fx>0，即又x∈0，2π，則或，故①②fx=0，則sinx又x∈0，2π，所以，，，，，共有5個(gè)零點(diǎn)，故②不正確；③所以，則fx的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，故③正確；④，設(shè)cosx=t∈?1，由，解得；由，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)t=1時(shí)，y=0；當(dāng)t=?1時(shí)，y=0，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，所以④正確，⑤不正確，故答案為③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱性、零點(diǎn)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是將，由條件可得，sinx=0或cosx=0，以及，得出函數(shù)在?1，14．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，都有f(2?x)=f(x)成立，當(dāng)x∈[?1，1]時(shí)，，則a=_______．當(dāng)x∈【答案】，【解析】（1）∵f(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[?1，1]時(shí)，，∴a=1．（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，故答案為，．【點(diǎn)評(píng)】利用給定性質(zhì)求函數(shù)在某一段的解析式，此類問(wèn)題的一般做法是：①“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)定在哪個(gè)區(qū)間．②利用給定的性質(zhì)，將要求的區(qū)間轉(zhuǎn)化到給定解析式的區(qū)間上．③利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入，解出f(x)．15．設(shè)b、c均為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則b2+c【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，即x2+cx+b=0在區(qū)間設(shè)g(x)=x2+cx+b，要想x當(dāng)x2+cx+b=0在區(qū)間只需，而，當(dāng)x2+cx+b=0在區(qū)間上有二個(gè)不相等實(shí)數(shù)根時(shí)，設(shè)為x則有，由，而c<?2，所以不等式(c+2)2因此有b2綜上所述：，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，通過(guò)方程實(shí)數(shù)根的分布進(jìn)行求解．三、解答題．16．已知函數(shù)．（1）若，求fx的極值；（2）若fx>0恒成立，求實(shí)數(shù)【答案】（1）極小值0，無(wú)極大值；（2）．【解析】（1）∵當(dāng)時(shí)，，∴，令x>0，，由于x>0，所以t'所以t(x)在x>0上單調(diào)遞增，且x=1時(shí)，f∴當(dāng)x∈0，1，f'x故fx在上單調(diào)遞減，在1，∴x=1時(shí)，fx取極小值，（2）∵，∴，令，，令，∵，在x>0上是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，，即g'(x)>0，g(x)的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)x>1時(shí)，，即g'(x)<0，g(x)所以，可得a>1，即a∈【點(diǎn)評(píng)】恒（能）成立問(wèn)題的解法：若f(x)在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：?x∈D，fx（2）能成立：?x∈D若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：a>fx（或a<f（1）恒成立：a>fx?a>f（2）能成立：a>fx?a>f17．已知函數(shù)f(x)=ae（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)（2）當(dāng)a>0時(shí)，若g(x)=lnx?x?lna，且f(x)≥g(x)【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）a≥1．【解析】（1）f'①當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)<0恒成立，即函數(shù)f(x)在②當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0，解得x>1?lna；令即函數(shù)f(x)在(1?lna，綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1?lna，（2）由題意，即當(dāng)a>0時(shí)，f(x)?g(x)≥0在x>0時(shí)恒成立，即aex?1?記，則，記φ(a)=a+lna?1，在又，當(dāng)時(shí)，得a≥1．下面證明：當(dāng)a≥1時(shí)，在x>0時(shí)恒成立．因?yàn)椋灾恍枳C在x>0時(shí)恒成立．記，所以，又，所以T'(x)在(0又，所以x∈(0，1)，x∈(1，所以，∴T(x)≥0在(0，即在x>0時(shí)恒成立．綜上可知，當(dāng)f(x)≥g(x)在x>0時(shí)恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1．【點(diǎn)評(píng)】由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，一般可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果．18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)fx（2）若函數(shù)gx=fx【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）．【解析】（1）因?yàn)椋詘>0，且．令f'x>0，得；令f'x所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由題意，，因?yàn)楹瘮?shù)gx所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．兩邊同時(shí)除以，得．令，則，即，設(shè)，則G1=0，由題意，函數(shù)Gt有且只有t=1令，t∈0（i）當(dāng)Δ=a+2即時(shí)，?t≥0，，此時(shí)Gt（ii）當(dāng)a>22?2時(shí)，方程?t則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，G't>0；當(dāng)時(shí)，G't<0；當(dāng)所以Gt在0，t1上單調(diào)遞增，在①當(dāng)a>1時(shí)，，所以，即．又因?yàn)閠→+∞時(shí)，，所以Gt在t2，②當(dāng)22因?yàn)?，，所以，所以，由，?dāng)t→+∞時(shí)，，可得Gt在t2③當(dāng)時(shí)，易得，t2=1，由，當(dāng)t>0且無(wú)限接近于0時(shí)，，可得Gt在0，t1綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，【點(diǎn)評(píng)】高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值與零點(diǎn)等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題．19．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)y=f(x)（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)