浙江省寧波市余姚市鐘公廟中學(xué)、雅戈爾中學(xué)等四校2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期競賽數(shù)學(xué)試卷（7月份）

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚市鐘公廟中學(xué)、雅戈爾中學(xué)等四校八年級（下）競賽數(shù)學(xué)試卷（7月份）一、填空題（每小題6分，共120分）1．（6分）用反證法證明：“在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對的角也不相等”時，首先應(yīng)假設(shè)2．（6分）已知一組數(shù)據(jù)的方差計算公式為，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，標(biāo)準差是3．（6分）設(shè)x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則+2x2+1＝．4．（6分）化簡：＝．5．（6分）計算：＝．6．（6分）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點B，則△OAC與△BAD的面積之差為．7．（6分）用三種邊長相等的正多邊形（正多邊形即各邊相等、各內(nèi)角也相等的多邊形）地磚鋪地，每個頂點處每種正多邊形各一塊拼在一起，剛好能完全鋪滿地面．已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，則的值為．8．（6分）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，CP＝CD，AP⊥BP，則的值為．9．（6分）如圖，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是．10．（6分）如圖，點P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點，△PAB的面積為5，△PAD的面積為3，則△PAC的面積為．11．（6分）如圖，直線y＝一x+b與y軸交于點A，與雙曲線y＝在第一象限交于B、C兩點，且AB?AC＝12，則k值為．12．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAD+∠ADC＝270°，E、F分別是AD、BC的中點，EF＝2，陰影部分分別是以AB、CD為直徑的半圓，則這兩個半圓面積之和是．13．（6分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝2，AE＝4，則直角梯形ABCD的面積為．14．（6分）若兩個整數(shù)x，y滿足方程（2x+9y）2023+（4x﹣y）2023＝99999999（?），就稱數(shù)組（x，y）為方程（?）的一組整數(shù)解，則方程（?）的整數(shù)解的組數(shù)為．15．（6分）已知的值大于，小于，則正整數(shù)n的最大值與最小值的差等于．16．（6分）已知關(guān)于x的方程x2﹣ax+b＝0的兩根為x1x2，其中0＜x1＜1，0＜x2＜1，則2a+b的取值范圍是．17．（6分）如果方程x4+6x3+9x2﹣3px2﹣9px+2p2＝0有且只有一個實數(shù)根（相等的實根算作一個），則p的值為．18．（6分）如圖，四邊形OABC為矩形，點A在第三象限，點A關(guān)于OB的對稱點為點D，點B，D都在函數(shù)的圖象上，BE⊥y軸于點E．若DC的延長線交y軸于點F，當(dāng)矩形OABC的面積為6時，的值為．19．（6分）如圖，四邊形ABCD為矩形，連結(jié)BD，將矩形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)至矩形A′BC′D′使得邊A′D′經(jīng)過BD中點O，并交BC于點E，若D′E＝2A′O，則的值為．20．（6分）已知32個數(shù)a1，a2，a3，...，a32，每個數(shù)只能取+1或﹣1兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+?+a2a3+?+a31a32的最小正值為．二、解答題（共30分）21．（6分）解方程：．22．（12分）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面積．23．（12分）如圖，在△ABC中，，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E在AC邊上運動（不與點A重合），AE＜CE，將△CDE沿DE折疊至△FDE，EF分別與AD，AB交于G，H兩點．（1）求證：∠BDF＝2∠ADE；（2）如圖1，若DG＝3AG，求△AGE的周長；（3）如圖2，設(shè)DF與AB交于點M，在整個運動過程中，記△FMH與△AEG的周長之和為y，則y的值是否變化，若變化求出范圍；若不變，求出y．

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚市鐘公廟中學(xué)、雅戈爾中學(xué)等四校八年級（下）競賽數(shù)學(xué)試卷（7月份）參考答案與試題解析一、填空題（每小題6分，共120分）1．（6分）用反證法證明：“在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對的角也不相等”時，首先應(yīng)假設(shè)這兩個角所對的邊相等【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進行判斷．【解答】解：反證法證明：在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．證明時，可以先假設(shè)這兩個角所對的邊相等，故答案為：這兩個角所對的邊相等．【點評】本題主要考查反證法，解答本題的關(guān)鍵要明確：在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．2．（6分）已知一組數(shù)據(jù)的方差計算公式為，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2，標(biāo)準差是【分析】根據(jù)方差的計算公式即可得出這一組數(shù)據(jù)，再求出中位數(shù)和方差即可．【解答】解：由方差的公式可得這一組數(shù)據(jù)為2，0，2，4，所以中位數(shù)是2；＝＝2，∴s2＝[（2﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，∴s＝＝；故答案為：2；．【點評】本題主要考查了中位數(shù)、方差、標(biāo)準差、算術(shù)平均數(shù)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（6分）設(shè)x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則+2x2+1＝4．【分析】先把x＝x1代入x2﹣x﹣1＝0整理得出x﹣x1﹣1＝0，再把代入計算，即可作答．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，∴x1x2＝﹣1，∴+2x2+1＝（x1+1）x1+2x2+1＝x1+1+x1+2x2+1＝2（x1+x2）+2＝2×1+2＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握是解題的關(guān)鍵．4．（6分）化簡：＝．【分析】將原式變形為+，整理后可得，利用二次根式的性質(zhì)及加減法則計算即可．【解答】解：原式＝+＝+＝＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查二次根式的加減法，二次根式的性質(zhì)與化簡，將原式進行正確的變形是解題的關(guān)鍵．5．（6分）計算：＝4555．【分析】設(shè)68＝a，則66×67×68×69+1＝（a﹣2）（a﹣1）×a×（a+1）+1＝（a2﹣a﹣1）2，由此得＝a2﹣a﹣1，然后再將a＝68代入代數(shù)式a2﹣a﹣1之中進行計算即可得出答案．【解答】解：設(shè)68＝a，則66＝a﹣2，67＝a+1，69＝a+1，∴66×67×68×69+1＝（a﹣2）（a﹣1）×a×（a+1）+1＝（a﹣2）（a+1）×a（a﹣1）+1＝（a2﹣a﹣2）（a2﹣a）+1＝（a2﹣a）2﹣2（a2﹣a）+1＝（a2﹣a﹣1）2，∴＝＝a2﹣a﹣1，∵a＝68，∴a2﹣a﹣1＝682﹣68﹣1＝4555，∴＝4555．故答案為：4555．【點評】此題主要考查了二次根式的乘法運算，理解二次根式的意義，熟練掌握換元法及完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的關(guān)鍵．6．（6分）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點B，則△OAC與△BAD的面積之差為2．【分析】根據(jù)△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC＝AC、AD＝BD，設(shè)OC＝a，BD＝b，則點B的坐標(biāo)為（a+b，a﹣b），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出a2﹣b2＝4，再根據(jù)三角形的面積即可得出△OAC與△BAD的面積之差，【解答】解：∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OC＝AC，AD＝BD，設(shè)OC＝a，BD＝b，則點B的坐標(biāo)為（a+b，a﹣b），∵反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點B，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝4，∴，故答案為：2．【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，等腰三角形的性質(zhì)，面積公式，平方差公式，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．（6分）用三種邊長相等的正多邊形（正多邊形即各邊相等、各內(nèi)角也相等的多邊形）地磚鋪地，每個頂點處每種正多邊形各一塊拼在一起，剛好能完全鋪滿地面．已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，則的值為．【分析】根據(jù)邊數(shù)求出各個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件列出方程，進而即可求出答案．【解答】解：由題意知，這四種正多邊形的四個內(nèi)角之和為360度，∵正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，∴++＝360，∴++＝2，∴1﹣+1﹣+1﹣＝2，∴﹣（++）＝﹣1，∴++＝1，∴++＝．故答案為：．【點評】本題考查的是平面鑲嵌，熟知正多邊形鑲嵌有三個條件限制：①邊長相等；②頂點公共；③在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°是解題的關(guān)鍵．8．（6分）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，CP＝CD，AP⊥BP，則的值為．【分析】由BC＝CP＝CD，得∠PBC＝∠BPC，∠DPC＝∠PDC，∠PCD＝x，推出∠BPD＝45°+90°＝135°，進而得∠APD＝360°﹣135°﹣90°＝135°，即∠DPE＝45°，再設(shè)DE＝PE＝y(tǒng)，由勾股定理得PD＝y(tǒng)，再證△APB≌△DEA得AP＝DE＝y(tǒng)，即可求．【解答】解：如圖，過點D作AP垂線交AP延長線于E，∵四邊形ABCD是正方形，CP＝CD，∴BC＝CP＝CD，∴∠PBC＝∠BPC，∠DPC＝∠PDC，設(shè)∠PCD＝x，則∠BPC＝，∠DPC＝，∴∠BPD＝45°+90°＝135°，∵AP⊥BP，∴∠APD＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DPE＝45°，設(shè)DE＝PE＝y(tǒng)，∴DP＝＝y(tǒng)，∵∠DAE+∠BAP＝∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠DAE＝∠ABP，在△DAE與△ABP中，，∴△APB≌△DEA（AAS），∴AP＝DE＝y(tǒng)，∴＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，通過導(dǎo)角得∠BPD＝135°、作DE⊥AE、證△APB≌△DEA得AP＝DE是解題關(guān)鍵．9．（6分）如圖，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是2≤k≤．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)和三角形有交點的臨界條件分別是交點為A、與線段BC有交點，由此求解即可．【解答】解：反比例函數(shù)和三角形有交點的第一個臨界點是交點為A，∵過點A（1，2）的反比例函數(shù)解析式為y＝，∴k≥2．隨著k值的增大，反比例函數(shù)的圖象必須和線段BC有交點才能滿足題意，經(jīng)過B（2，5），C（6，1）的直線解析式為y＝﹣x+7，，得x2﹣7x+k＝0根據(jù)△≥0，得k≤，又因為反比例函數(shù)經(jīng)過點B時，k＝10，經(jīng)過點C時，k＝6，綜上可知2≤k≤．故答案為2≤k≤．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，有一定難度．注意自變量的取值范圍．10．（6分）如圖，點P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點，△PAB的面積為5，△PAD的面積為3，則△PAC的面積為2．【分析】過點P作PE⊥AD于點E，延長EP交CB于點F，證出S△PAD+S△PBC＝S平行四邊形ABCD，根據(jù)S△PAC＝S四邊形PABC﹣S△ABC＝S△PAB+S△PBC﹣S△ABC可得出答案．【解答】解：過點P作PE⊥AD于點E，延長EP交CB于點F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴PF⊥CB，∴S△PAD+S△PBC＝AD?PE+CB?PF＝AD?（PE+PF）＝AD?EF＝S平行四邊形ABCD，∵S△ABC＝，S△PAB＝5，S△PAD＝3，∴S△PAC＝S四邊形PABC﹣S△ABC＝S△PAB+S△PBC﹣S△ABC，即S△PAC＝5+（S平行四邊形ABCD﹣3）﹣＝5﹣3＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（6分）如圖，直線y＝一x+b與y軸交于點A，與雙曲線y＝在第一象限交于B、C兩點，且AB?AC＝12，則k值為3．【分析】設(shè)直線y＝﹣x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．先求出直線與x軸和y軸的兩交點D與A的坐標(biāo)，根據(jù)OA與OD的長度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出角ADO的度數(shù)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理表示出EB與FC的積，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB與AB的關(guān)系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC與AC的關(guān)系，根據(jù)AB?AC＝12列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：設(shè)直線y＝一x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．∵y＝一x+b，∴當(dāng)y＝0時，x＝b，即點D的坐標(biāo)為（b，0），當(dāng)x＝0時，y＝b，即A點坐標(biāo)為（0，b），∴OA＝b，OD＝b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝＝，∴∠ADO＝30°．∵直線y＝一x+b與雙曲線y＝在第一象限交于點B、C兩點，∴﹣x+b＝，整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，由韋達定理得：x1x2＝＝k，即EB?FC＝k，∵＝cos30°＝，∴AB＝EB，同理可得：AC＝FC，∴AB?AC＝（EB）（FC）＝EB?FC＝×k＝12，解得：k＝3．故答案為：3．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及根與系數(shù)的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵根據(jù)題意作出輔助線，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義溝通各線段之間的關(guān)系．12．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAD+∠ADC＝270°，E、F分別是AD、BC的中點，EF＝2，陰影部分分別是以AB、CD為直徑的半圓，則這兩個半圓面積之和是8π．【分析】連接BD，取BD的中點M，連接EM、FM，EM交BC于N，根據(jù)三角形的中位線定理推出EM＝AB，F(xiàn)M＝CD，EM∥AB，F(xiàn)M∥CD，推出∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，求出∠EMF＝90°，根據(jù)勾股定理求出ME2+FM2＝4，根據(jù)圓的面積公式求出陰影部分的面積即可．【解答】解：連接BD，取BD的中點M，連接EM、FM，延長EM交BC于N，∵∠BAD+∠ADC＝270°，∴∠ABC+∠C＝360°﹣270°＝90°，∵E、F、M分別是AD、BC、BD的中點，∴EM＝AB，F(xiàn)M＝CD，EM∥AB，F(xiàn)M∥CD，∴∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，∴∠MNF+∠MFN＝90°，∴∠NMF＝180°﹣90°＝90°，∴∠EMF＝90°，由勾股定理得：ME2+FM2＝EF2＝22＝4，∴陰影部分的面積是：π+＝π×（ME2+FM2）＝π×4＝2π．故答案為：2π．【點評】本題主要考查對勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的中位線定理，圓的面積，平行線的性質(zhì)，面積與等積變形等知識點的理解和掌握，能正確作輔助線并求出ME2+FM2的值是解此題的關(guān)鍵．13．（6分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝2，AE＝4，則直角梯形ABCD的面積為27．【分析】過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，延長AD至F，使GF＝BE，連接CF，證得四邊形ABCG為正方形，證明△BCE≌△GCF，得到CE＝CF，∠BCE＝∠GCF，BE＝GF，進而證明△DCE≌△DCF，從而DE＝DF，設(shè)AD＝x，在Rt△ADE中根據(jù)勾股定理列出方程，求得x的值，進一步得出結(jié)果．【解答】解：過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，延長AD至F，使GF＝BE，連接CF．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCG為正方形，∴AG＝BC＝CG＝AB＝BE+AE＝6，∠B＝∠CGF＝90°，∴△BCE≌△GCF（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠GCF，BE＝GF，∵∠DCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝45°，∴∠GCF+∠DCG＝45°，∴∠DCF＝45°，∴∠DCE＝∠DCF，∵CD＝CD，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF，∴DF＝DG+FG＝BE+DG，∴DE＝BE+DG，設(shè)AD＝x，則DG＝AG﹣AD＝6﹣x，DE＝8﹣x，在Rt△AED中，由勾股定得，DE2＝AD2+AE2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴AD＝3，∴．故答案為：27．【點評】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．14．（6分）若兩個整數(shù)x，y滿足方程（2x+9y）2023+（4x﹣y）2023＝99999999（?），就稱數(shù)組（x，y）為方程（?）的一組整數(shù)解，則方程（?）的整數(shù)解的組數(shù)為0．【分析】由于x、y都是整數(shù)，可得2x+9y和4x﹣y同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)，則（2x+9y）2006和（4x﹣y）2006同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)，它們的和為偶數(shù)，而7777777為奇數(shù)，依此即可求解．【解答】解：∵x、y都是整數(shù)，∴2x+9y和4x﹣y同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)，∴（2x+9y）2023和（4x﹣y）2023同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)，∴（2x+9y）2023+（4x﹣y）2023為偶數(shù)，∵99999999為奇數(shù)，∴方程（2x+9y）2023+（4x﹣y）2023＝99999999無解．故答案為：0．【點評】此題主要考查了整數(shù)問題的綜合運用，本題從奇數(shù)和偶數(shù)之間的運算關(guān)系考慮求解．15．（6分）已知的值大于，小于，則正整數(shù)n的最大值與最小值的差等于45．【分析】先把原式化簡＝，得＞，＜，再次化簡得（n+1）（n+1﹣529）＞0，（n+1）（n+1﹣576）＜0，由正整數(shù)n+1＞0，得n+1﹣529＞0，n+1﹣576＜0，再按題意計算即可．【解答】解：原式＝＝+＝＝＝＝，∵的值大于，小于，∴＞，＜，∴23（n+1）﹣23＞22（n+1），24（n+1）﹣24＜23（n+1），∴n+1＞23，n+1＜24，∴（n+1）2＞529（n+1），（n+1）2＜576（n+1），∴（n+1）2﹣529（n+1）＞0，（n+1）2﹣576（n+1）＜0，∴（n+1）（n+1﹣529）＞0，（n+1）（n+1﹣576）＜0，∵正整數(shù)n+1＞0，∴n+1﹣529＞0，n+1﹣576＜0，∴528＜n＜575，∴正整數(shù)n最大為574，正整數(shù)最小為529，∴正整數(shù)n的最大值與最小值的差等于574﹣529＝45，故答案為：45．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，掌握分母有理化是解題關(guān)鍵．16．（6分）已知關(guān)于x的方程x2﹣ax+b＝0的兩根為x1x2，其中0＜x1＜1，0＜x2＜1，則2a+b的取值范圍是0＜2a+b＜5．【分析】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2＝a，x1?x2＝b，從而把2a+b用x1，x2表示出來，最后利用不等式的基本性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣ax+b＝0的兩根為x1x2，∴x1+x2＝a，x1?x2＝b，∴2a+b＝2（x1+x2）+x1?x2＝（x1+2）（x2+2）﹣4，∵0＜x1＜1，0＜x2＜1，∴2＜x1+2＜3，2＜x2+2＜3∴4＜（x1+2）（x2+2）＜9，4﹣4＜（x1+2）（x2+2）﹣4＜9﹣4，0＜（x1+2）（x2+2）﹣4＜5，∴2a+b的取值范圍是：0＜2a+b＜5，故答案為：0＜2a+b＜5．【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示a，b．17．（6分）如果方程x4+6x3+9x2﹣3px2﹣9px+2p2＝0有且只有一個實數(shù)根（相等的實根算作一個），則p的值為﹣．【分析】原方程變形為2p2﹣（3x2+9x）p+x2（x+3）2＝（x2+3x﹣2p）（x2+3x﹣p）＝0，據(jù)此得出x2+3x﹣2p＝0或x2+3x﹣p＝0，根據(jù)只有一個實數(shù)解知△1＝9+8p＜0，△2＝9+4p＝0，或△1＝9+8p＝0，△2＝9+4p＜0，解之可得答案．【解答】解：x4+6x3+9x2﹣3px2﹣9px+2p2＝0，整理，得2p2﹣（3x2+9x）p+x2（x+3）2＝0．分解，得（x2+3x﹣2p）（x2+3x﹣p）＝0，所以x2+3x﹣2p＝0或x2+3x﹣p＝0．故△1＝9+8p＜0，△2＝9+4p＝0或△1＝9+8p＝0，△2＝9+4p＜0．解得p＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查高次方程，解高次方程降次、分解勢在必行，對于學(xué)生而言，最熟悉的應(yīng)該是二次三項式的分解，因此可變更主元．所謂“高次方程常伴低次輔元”．18．（6分）如圖，四邊形OABC為矩形，點A在第三象限，點A關(guān)于OB的對稱點為點D，點B，D都在函數(shù)的圖象上，BE⊥y軸于點E．若DC的延長線交y軸于點F，當(dāng)矩形OABC的面積為6時，的值為．【分析】如圖，連接BF，OD．首先證明△OBD≌△BOC，推出DF∥OB，推出＝＝＝＝．【解答】解：如圖，連接BF，OD．由矩形的性質(zhì)和對稱性的性質(zhì)可知，△OBD≌△BOC，∴DF∥OB，∴＝＝＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了矩形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，反比例函數(shù)的“k”的幾何含義等知識，解決問題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法解決問題．19．（6分）如圖，四邊形ABCD為矩形，連結(jié)BD，將矩形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)至矩形A′BC′D′使得邊A′D′經(jīng)過BD中點O，并交BC于點E，若D′E＝2A′O，則的值為．【分析】延長D'A'交AD于點F，連接BF，AC，DE，先證Rt△BAF和Rt△BA'F全等，得出AF＝A'F，再證△OAF和△OCE全等，得出AF＝CE，進而證四邊形BEDF為平行四邊形，得出OE＝OF，設(shè)AF＝x，A'O＝a，則OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，根據(jù)S平行四邊形BEDF＝2S△BEF得，由此得x＝a，進而得AD＝5a，A'E＝3a，然后在Rt△A'BE中利用勾股定理求出A'E，據(jù)此可得出答案．【解答】解：延長D'A'交AD于點F，連接BF，AC，DE，∵四邊形ABCD為矩形，點O對角線BD的中點，∴AC經(jīng)過點O，AD＝BC，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAF＝∠OCE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB＝A'B，∠BAF＝∠BA'O＝90°，在Rt△BAF和Rt△BA'F中，，∴Rt△BAF≌Rt△BA'F（HL），∴AF＝A'F，在△OAF和△OCE中，，∴△OAF≌△OCE（ASA），∴AF＝CE，∵AD＝BC，AD∥BC，∴DF＝BE，∴四邊形BEDF為平行四邊形，∴OE＝OF，設(shè)AF＝x，A'O＝a，∴OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，∴EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，∴DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，∵EF為平行四邊形BEDF的對角線，∵S平行四邊形BEDF＝2S△BEF，∴，∴，∵AB＝A'B，∴4a＝2x+2a，∴x＝a，∴AD＝x+4a＝5a，A'E＝x+2a＝3a，在Rt△A'BE中，A'E＝3a，BE＝4a，由勾股定理得：，∴，∴．故答案為：．【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，難點是正確的作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．20．（6分）已知32個數(shù)a1，a2，a3，...，a32，每個數(shù)只能取+1或﹣1兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+?+a2a3+?+a31a32的最小正值為2．【分析】設(shè)t＝a1a2+a1a3+...+a31a32，可得2t＝2（a1a2+a1a3+...+a31a32）＝（a1+a2+…+a32）2﹣（++…+），由++…+＝32，可得2t＝（a1+a2+…+a32）2﹣32，分析a1+a2+...+a32的特點，可得（a1+a2+...+a32）＝±6時，t取得最小值，將其代入變形可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)t＝a1a2+a1a3+...+a31a32，∴2t＝2（a1a2+a1a3+...+a31a32）＝（a1+a2+…+a32）2﹣（++…+），又由a1，a2…，a95每個都只能取+1或﹣1兩個值之一，∴++…+＝32，∴2t＝（a1+a2+…+a32）2﹣32，要使t取最小正數(shù)，t為大于32的偶數(shù)即可，而a1+a2+...+a32為偶數(shù)個﹣1、1的和，不會得奇數(shù)，∴要使所求值取最小正數(shù)，須使（a1+a2+...+a32）＝±6，因此t的最小值為＝2；故答案為：2．【點評】本題考查規(guī)律型﹣數(shù)字變化內(nèi)，解題注意轉(zhuǎn)化思想，利用2（a1a2+a1a3+...+a31a32）＝（a1+a2+…+a32）2﹣（++…+）來解題．二、解答題（共30分）21．（6分）解方程：．【分析】將等式兩邊平方，可得，再通過移項后，再進行兩邊平方，可得，令，即可得到t的值，再解分式方程，即可解答．【解答】解：，兩邊平方得，整理可得，兩邊平方得，整理得，令，可得4t＝（t+1）2，解得t＝1，∴，整理得x2﹣x﹣1＝0解得，根據(jù)二次根式有意義的條件可得x≥1，∴．【點評】本題考查了解無理方程，熟練地進行平方，對方程進行化簡是解題的關(guān)鍵．22．（12分）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面積．【分析】（1）本題可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0的兩個根，然后根據(jù)這兩個根都是正整數(shù)求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后將m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．進行化簡，得出a，b的值．然后再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來確定符合條件的a，b的值，進而得出三角形的面積．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是整數(shù)）．∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18，∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，設(shè)x1，x2是此方程的兩個根，∴x1?x2＝＝，∴也是正整數(shù)，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18，又m為正整數(shù)，∴m＝2；（2）把m＝2代入兩等式，化簡得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0當(dāng)a＝b時，當(dāng)a≠b時，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的兩根，而Δ＞0，由韋達定理得a+b＝4＞0，ab＝2＞0，則a＞0、b＞0．①a≠b，時，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2故△ABC為直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．②a＝b＝2﹣，c＝2時，因＜，故不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去．③a＝b＝2+，c＝2時，因＞，故能構(gòu)成三角形．S△ABC＝×（2）×＝綜上，△ABC的面積為1或．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理等知識點，本題中分類對a，b的值進行討論，并通過計算得出三角形的形狀是解題的關(guān)鍵．23．（12分）如圖，在△ABC中，，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E在AC邊上運動（不與點A重合），AE＜CE，將△CDE沿DE折疊至△FDE，EF分別與AD，AB交于G，H兩點．（1）求證：∠BDF＝2∠ADE；（2）如圖1，若DG＝3AG，求△AGE的周長；（3）如圖2，設(shè)DF與AB交于點M，在整個運動過程中，記△FMH與△AEG的周長之和為y，則y的值是否變化，若變化求出范圍；若不變，求出y．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)與垂直的定義，平角的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理與直角三角形的性質(zhì)，求得AG＝1，DG＝3，在EC上截取EN＝EG，連接DN，過點N作NP⊥CD于P，證明△DEG≌△DEN（SAS），得DN＝DG＝3，再NP＝PC，設(shè)NP＝PC＝x，由DP＝4﹣x，，然后在Rt△DPN中，由勾股定