新教材2025版高中數(shù)學(xué)章末復(fù)習(xí)課2第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案北師大版選擇性必修第二冊(cè)

章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上隨意一點(diǎn)處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明確“過點(diǎn)P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點(diǎn)．2．通過對(duì)求切線方程的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例1已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)＝13x3＋ax2－9x－1(a>0)，直線l是曲線y＝f(x)的一條切線，當(dāng)l的斜率最小時(shí)，直線l與直線10x＋y(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3處的切線方程．考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性1．借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，尤其是探討含有l(wèi)nx，ex，－x3等線性函數(shù)(或復(fù)合函數(shù))的單調(diào)性，是近幾年高考的一個(gè)重點(diǎn)．其特點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號(hào)一般由二次函數(shù)來確定；常常同一元二次方程、一元二次不等式結(jié)合，融分類探討、數(shù)形結(jié)合于一體．2．通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例2設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋x-1x+1，a為常數(shù)，探討函數(shù)f跟蹤訓(xùn)練2已知a∈R，求函數(shù)f(x)＝2x2eax的單調(diào)區(qū)間．考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值和最值1．函數(shù)的極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)旁邊的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)；函數(shù)的最值是個(gè)整體性概念，最大值必是整個(gè)區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大值，最小值必是整個(gè)區(qū)間上的全部函數(shù)值中的最小值．2．利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值主要有兩類題型：一類是給出詳細(xì)的函數(shù)，干脆利用求極值或最值的步驟進(jìn)行求解；另一類是已知極值或最值，求參數(shù)的值．3．通過對(duì)函數(shù)極值和最值的考查，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例3設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝12x2－(a＋1)x＋alnx(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝lnx－mx(m∈R(1)當(dāng)m＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，求m的值．考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)探討方程、不等式等綜合問題1．用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題主要是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解不等式、比較大小、證明不等式等；用導(dǎo)數(shù)探討方程問題，主要是指依據(jù)方程構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)，探討得到函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，從而結(jié)合函數(shù)圖象來探討方程的根的個(gè)數(shù)、大小等問題．這是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容．2．通過對(duì)以上學(xué)問的綜合考查，提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例4設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的極值點(diǎn)；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)＝ex＋1x-a，a∈R，試探討函數(shù)f章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)聚集·分類突破例1解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3∴直線l的方程為y＝3x02+1(x－x0又∵直線l過點(diǎn)(0，0)，∴0＝3x02+1(－x0)＋整理得，x∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．法二設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)為(x0，y0)，則k＝y(tǒng)0-0又∵k＝f′(x0)＝3∴x03解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由題意知－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，則k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3處的切線方程為y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.例2解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．f′(x)＝ax+2當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a<0時(shí)，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①當(dāng)a＝－12f′(x)＝-12x-1②當(dāng)a<－12時(shí)，Δ<0，g(xf′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．③當(dāng)－12<a設(shè)x1，x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)．則x1＝-a+1x2＝-a+1由x1＝a+1-2a+1-所以x∈(0，x1)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，綜上可得：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a≤－12時(shí)，函數(shù)f(x當(dāng)－12<a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在0在(-a+1+2a+1跟蹤訓(xùn)練2解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝4xeax＋2ax2eax＝2(2x＋ax2)eax.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，若x<0，則f′(x)<0；若x>0，則f′(x)>0.所以當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)．(2)當(dāng)a>0時(shí)，由2x＋ax2>0，解得x<－2a或x>0；由2x＋ax2<0，解得－2a<所以當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間-∞，-2a上為增函數(shù)，在區(qū)間(3)當(dāng)a<0時(shí)，由ax2＋2x>0，解得0<x<－2a由2x＋ax2<0，解得x<0或x>－2a所以當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0)上為減函數(shù)，在區(qū)間0，-2例3解析：(1)由已知得x>0.當(dāng)a＝2時(shí)，f′(x)＝x－3＋2x，f′(3)＝2所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為23(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2-由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是遞增的；當(dāng)x∈(a，1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)是遞減的；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是遞增的．此時(shí)x＝a是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的微小值點(diǎn)．②當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是遞增的；當(dāng)x∈(1，a)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)是遞減的；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是遞增的．此時(shí)x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的微小值點(diǎn)．綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，x＝a是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的微小值點(diǎn)；當(dāng)a>1時(shí)，x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的微小值點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)當(dāng)m＝－2時(shí)，f(x)＝lnx＋2x(x則f′(x)＝x-當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，微小值為f(2)＝ln2＋1，無極大值．(2)f′(x)＝x+mx①當(dāng)m≥－1時(shí)，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不滿意m≥－1，故舍去．②當(dāng)－e<m<－1時(shí)，x∈(1，－m)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x∈(－m，e)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不滿意－e<m<－1，故舍去．③當(dāng)m≤－e時(shí)，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(e)＝1－me解得m＝－3e，滿意m≤－e.綜上m＝－3e.例4解析：(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.當(dāng)x∈(－∞，－2)∪?(2當(dāng)x∈(－2，2)時(shí)，f′(x因此x1＝－2，x2＝2分別為f(x)的極大值點(diǎn)、微小值點(diǎn)．(2)由(1)可知y＝f(x)的圖象的大致形態(tài)及走向如圖所示．要使直線y＝a與y＝f(x)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，需5－42＝f(2)＜a＜f(－2)＝5＋42.則方程f(x)＝a有3個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(5－42，5＋42)．(3)方法一f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因?yàn)閤＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)遞增，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值范圍為(－∞，－3].方法二直線y＝k(x－1)過定點(diǎn)(1，0)且f(1)＝0，曲線f(x)在點(diǎn)(1，0)處的切線斜率f′(1)＝－3，由(2)中草圖知，要使x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)≥k(x－1)恒成立，需k≤－3.故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－∞，－3].跟蹤訓(xùn)練4解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠a}．(1)當(dāng)x＞a時(shí)，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，即f(x)在(a，＋∞)上無零點(diǎn)．(2)當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)＝ex令g(x)＝ex(x－a)＋1，則g′(x