直線與圓錐曲線中的定點問題 教學設計

PAGE直線與圓錐曲線中的定點問題【學習內容】直線與圓錐曲線中的定點問題。【學習目標】1.掌握直線與圓錐曲線中有關定點問題的解法，提升邏輯推理核心素養(yǎng)。2.會對含參變量的式子進行變形與計算，發(fā)展數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。3.會運用設而不求法、數(shù)形結合的思想、整體思想和消元的思想有效地簡化運算。【學習重難點】學習重點：掌握直線與圓錐曲線中有關定點問題的解法。學習難點：直線與圓錐曲線中有關定點問題的分析思路與方法?！緦W習過程】引導語：在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線的方程，不論參數(shù)如何變化，其都過定點，這類問題稱為定點問題。直線與圓錐曲線中的定點問題是高考熱點問題，主要以解答題形式考察，試題難度較大，對計算能力有較高的要求。主要的命題方向：直線過定點問題、曲線過定點問題、探究定點滿足特殊條件等。我們本節(jié)課主要探究圓錐曲線中直線過定點問題，圓錐曲線包括橢圓、雙曲線與拋物線。現(xiàn)在我們一起來看拋物線中直線過定點問題，這是一道教材改編題。1.拋物線中的定點問題例1.已知拋物線,過原點O作兩條相互垂直的弦OA，OB.如圖所示.直線AB是否經(jīng)過一個定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由。分析：本題主要有兩種思路：（1）滿足OA與OB斜率之積為-1，此時OA、OB斜率用A、B坐標表示.設出直線OA、OB的斜率，此時A、B坐標用OA、OB斜率表示.證明方法一：①.當直線AB斜率不存在時，設直線AB的方程為：則②.當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為：,設點直線AB:過定點(2,0).∴直線AB過定點(2,0)．評注:解法一的解決思路是先討論直線斜率不存在的情況，在此基礎直接得出定點的橫坐標，這是解決定點問題的常用策略，即從特殊位置入手，然后轉化為一般的求解，接下來以直線的斜率和截距為參變量，借助韋達定理表示垂直關系，體現(xiàn)了設而不求的思想。方法二：顯然直線AB斜率不為0，設直線AB的方程為：設點直線AB:∴直線AB過定點(2,0)．評注：由于直線不可能與軸平行，所以直線方程設為，可以避免分類討論，使解題過程簡化，方法簡捷優(yōu)美，體現(xiàn)了解法2的優(yōu)越性，給學生搭建了施展才能的舞臺。方法三：直線OA斜率顯然存在且不為0，設直線OA的方程為y＝kx(k≠0)，則直線OB的方程為y＝－eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2x，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k2)，\f(2,k)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)x，,y2＝2x，))得B(2k2，－2k)．當直線AB的方程：整理可得：∴直線AB恒過一定點(2,0)．評注：解法三通過設直線OA的斜率，結合直線OB與直線OA斜率的關系，可以表示A、B兩點的坐標，從而得到直線AB的方程，在解題過程中，一定要注意直線AB斜率不存在的情形。一題多解，不是解題追求的目標，更重要的是提煉解決問題的通性通法，形成數(shù)學方法和思想，促進學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的提高。反思感悟1.解析幾何中的定點問題需要合理選擇參數(shù)(坐標、斜率等)表示動態(tài)幾何對象和幾何量，探究、證明動態(tài)圖形中的不變性質(定點等)，體會“設而不求”“整體代換”在簡化運算中的作用．2．拋物線中直線過定點問題的兩種求解方法:(1)若設直線方程為y=kx+m或x=ky+m，則只需要將已知條件通過坐標運算轉化為m，k之間的線性關系，再用m替換k或k替換m代入直線方程，則可求定點坐標．(2)若不假設直線的方程，則需要將直線所對應線段的兩個端點的坐標表示出來，然后選擇合適的直線方程形式表示出直線方程，由此確定出定點坐標．設計意圖：本節(jié)課例1是教材改編題，從學生熟悉的題目入手，可以提高學生學習的積極性，增強學生的自信心。另外例1是直線與拋物線中的定點問題，選擇拋物線，既可以簡化計算，又能一題多解，體現(xiàn)求解定點問題的一般方法。猜想：若題中拋物線改為,則結論還成立嗎？問題探究設是拋物線上的兩點，滿足（為坐標原點）探究：直線是否經(jīng)過一個定點.，，，即直線過定點.設計意圖：探究1是例題1的一般性結論，如果同學們熟記這一結論，在做相關拋物線中直線過定點問題可以節(jié)省很多時間。本道題也提醒同學們做完一道題，可以多思考，如果題目條件改變，還能得出哪些結論，如果同學們能夠探究出結果，將會大大提高同學們學習數(shù)學的興趣。2.橢圓中的定點問題例2．已知橢圓C:x24+y2解：方法一：設直線PA與直線PB的斜率分別為k1①當直線l的斜率不存在時，設其方程為x=t(t≠0且|t|<2)，由橢圓對稱性知，直線l與C的兩交點不妨令A(t,y0)，則B(而k1+k2=?1此時，直線l：x=2過橢圓C的右頂點，與橢圓C只有一個公共點，不滿足題意，②當直線l的斜率存在時，設其方程為y=kx+m(m由y=kx+mx24+yΔ=64k2x1+x2=?8kmk1+k整理得m=?2k?1，當m=?2k?1時，而4k因此，當且僅當k<0，即Δ>0時，直線l方程為：y=k(x?2)?1，直線l過定點(2,?1)所以不過點P(0,1)的直線l與C交于兩點時，直線l過定點(2,?1).方法二：設直線PA：y=k1x+1,由y=k1x+1x解得x=0將x=?8k14k①當直線l的斜率不存在時，?8k又因為k1≠k2,所以k1②當直線l的斜率存在時，kAB直線AB方程為：y?整理得y=k1+k21?4變形得x所以x+y?1=0y+1=所以不過點P(0,1)的直線l與C交于兩點時，直線l過定點(2,?1).設計意圖：通過橢圓中定點問題的分析，讓學生進一步熟悉定點問題的求解方法。提升邏輯推理與數(shù)學運算核心素養(yǎng)。解法歸納，提煉升華圓錐曲線中直線過定點問題的求解:(1)設參數(shù)。從目標對應關系式出發(fā)設出相關的參數(shù)，如設出直線的斜率、截距、點的坐標等。(2)列關系。根據(jù)題設條件,列出關系式。(3)求直線。聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用根與系數(shù)的關系，求直線系方程。(4)下結論。即求出滿足直線系方程的定點坐標。4.課堂小結，凝練升華教師引導學生回顧本節(jié)學習的主要內容(1).本節(jié)課我們探究了哪些問題？有哪些收獲呢？(2).本節(jié)課用到了哪些數(shù)學思想方法？5.教學反思,素養(yǎng)提升解析幾何就是用代數(shù)方法來研究幾何問題，即研究的過程是：幾何問題代數(shù)問題代數(shù)結論幾何結論。所以它的兩大任務是：（1）把幾何問題轉化為代數(shù)問題；（2）研究代數(shù)問題，得出幾何結論。要利用圖形，巧妙轉化實現(xiàn)幾何條件代數(shù)化。怎樣將幾何問題轉化為代數(shù)問題？常常需要從下面幾個環(huán)節(jié)入手：（1）主動去理解幾何對象的本質特征；（2）善于將幾何條件、幾何性質用代數(shù)的形式表達出來；（3）恰當選擇代數(shù)化的形式，這一環(huán)節(jié)最為關鍵。