《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

新人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第六章6.3.1二項(xiàng)式定理第第頁《6.3.1二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析二項(xiàng)式定理是新教材[1]第六章第三節(jié)的內(nèi)容.本節(jié)課內(nèi)容是代數(shù)多項(xiàng)式的推廣，它安排在計(jì)數(shù)原理、排列組合知識之后，隨機(jī)變量及其分布知識之前，體現(xiàn)著二項(xiàng)式定理的“聯(lián)系性”，它既是計(jì)數(shù)原理和組合知識的應(yīng)用，也是解決有關(guān)概率問題的基礎(chǔ)[2].學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生已具備的能力：已掌握多項(xiàng)式乘法法則；已學(xué)過分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，及排列組合知識；具備一定歸納推理、分析問題、轉(zhuǎn)化問題的能力.學(xué)生面臨的困難：二項(xiàng)式定理一般展開式中的系數(shù)為組合數(shù)；二項(xiàng)式定理中字母是可變的，結(jié)構(gòu)是不變的.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置掌握二項(xiàng)式定理及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能夠運(yùn)用其解決與二項(xiàng)式展開式相關(guān)的簡單問題.通過發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式乘法的本質(zhì)特征，建立多項(xiàng)式乘法與計(jì)數(shù)原理之間的聯(lián)系，運(yùn)用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式系數(shù)的方法.經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的提出過程和觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想并證明二項(xiàng)式定理的思路探索過程，領(lǐng)悟由特殊到一般、一般到特殊和類比的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)合情推理能力，提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，感受其對稱美、簡潔美以及概括性.四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理，并會用它解決有關(guān)的簡單問題.難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式定理.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1664年,偉大的科學(xué)家牛頓,年僅22歲在劍橋大學(xué)就讀的他,在研讀英國數(shù)學(xué)家沃利斯的《無窮算術(shù)》中的,時，發(fā)現(xiàn)了展開式的規(guī)律(即二項(xiàng)式定理)，又稱牛頓二項(xiàng)式定理.二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)是牛頓發(fā)明微積分的過程中一個關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，甚至可以說，牛頓正是以二項(xiàng)式定理為基石發(fā)明了偉大的微積分．【設(shè)計(jì)意圖】遵循“歷史發(fā)生原理”,將牛頓發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的歷史融入教學(xué)，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟迪思維，同時讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶,培育數(shù)學(xué)素養(yǎng).（二）主動思考，探究新知創(chuàng)設(shè)了以上情境后，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性會被調(diào)動起來，接著話鋒一轉(zhuǎn)：牛頓是怎樣從完全平方公式和完全立方公式中發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的呢？今天，我們也像科學(xué)家牛頓一樣，開啟探秘之旅，從兩個具體的展開式著手，分析其結(jié)構(gòu)，從中發(fā)現(xiàn)一般的二項(xiàng)展開式的規(guī)律。問題1：能否運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則，寫出、展開式的推導(dǎo)過程？【設(shè)計(jì)意圖】從特殊到一般，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律.從熟悉的多項(xiàng)式乘法入手，問題層層遞進(jìn)．本問題作為開篇第一個問題，設(shè)置難度相對簡單，能調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性．問題2：、的展開式分別是什么？學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則可以解決這些問題但是過程繁瑣計(jì)算量大.引導(dǎo)學(xué)生通過分析、展開式的規(guī)律，從而得到啟發(fā)．【設(shè)計(jì)意圖】順應(yīng)學(xué)生的思維，提出一個指數(shù)較大的問題，用多項(xiàng)式乘法原理難以解決新問題，制造認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望．從特殊到一般的探求法，提出的研究必要性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).問題３：、的展開式，有什么共同的特點(diǎn)？二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)合并前合并后合并前項(xiàng)的特點(diǎn)項(xiàng)數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)項(xiàng)數(shù)次數(shù)字母組成字母組成系數(shù)共4項(xiàng)每一項(xiàng)的次數(shù)都是2次；從2個括號中各取出一個字母（或）相乘．共3項(xiàng)、、；字母按降冪排序，字母按升冪排序.1，2，1.共8項(xiàng)每一項(xiàng)的次數(shù)都是3次；從3個括號中各取出一個字母（或）相乘．共4項(xiàng)、、、；字母按降冪排序，字母按升冪排序.1，3，3，1.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過分析合并前后的項(xiàng)的特點(diǎn)，通過列表格的方式使得結(jié)果一目了然，也為后續(xù)通過類比分析，猜想的展開式埋下伏筆.由于項(xiàng)數(shù)和系數(shù)的規(guī)律難以發(fā)現(xiàn)，需進(jìn)一步分析展開式的生成過程:問題３-１：為什么合并前共4項(xiàng)?用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析：第一步從第一個括號中選或，有種選法；第二步從第二個括號中選選或，有種選法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理，合并前共有種選法.問題３-2：合并后的是怎樣得到的？展開式中的每一項(xiàng)是從每個括號中取出一個字母相乘．要得到合并后的應(yīng)該怎么取?第一個括號取，第二個括號取,第二個括號取，第一個括號取，合起來總共2種取法；出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個中取1個的組合數(shù)，即有2個，所以是.下面用這個方法驗(yàn)證其他項(xiàng)的系數(shù)：因此的展開式可以寫成如下形式.【設(shè)計(jì)意圖】通過的深入分析，利用顏色標(biāo)記第一個括號和第二個括號，跟蹤ab項(xiàng)的形成過程，對合并前的項(xiàng)數(shù)和合并后的項(xiàng)的系數(shù)的規(guī)律有了初步認(rèn)識.類比以上分析，分析展開式的生成過程:問題３-3為什么合并前共8項(xiàng)?用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析：第一步從第一個括號中選或，有種選法；第二步從第二個括號中選選或，有種選法；第三步從第三個括號中選選或，有種選法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理，合并前共有種選法.問題３-4：合并后的是怎樣得到的？展開式中的每一項(xiàng)是從每個括號中取出一個字母相乘．要得到合并后的應(yīng)該怎么取?第一個括號取，第二個括號取,第三個括號?。坏谝粋€括號取，第二個括號取,第三個括號取；第一個括號取，第二個括號取,第三個括號取，合起來總共3種取法，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從3個中取1個的組合數(shù)，即有3個，所以是.下面用這個方法驗(yàn)證其他項(xiàng)的系數(shù)：因此的展開式可以寫成如下形式：【設(shè)計(jì)意圖】類比展開式的分析過程，對進(jìn)行深入分析，學(xué)生自然地通過類比獲得新知，且使用計(jì)數(shù)原理的推理項(xiàng)數(shù)和系數(shù)的方法得到了進(jìn)一步認(rèn)識.（三）提出猜想，歸納定理問題4：類比以上分析，嘗試寫出的展開式？因此的展開式可以寫成如下形式，其中每一項(xiàng)都為：問題4：類比以上分析，你能運(yùn)用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)a+b4【設(shè)計(jì)意圖】類比、展開式的分析過程解決新問題，運(yùn)用計(jì)數(shù)原理的推理項(xiàng)數(shù)和系數(shù)的方法得到訓(xùn)練，為后續(xù)運(yùn)用計(jì)數(shù)原理說明展開式鋪墊.問題5：類比以上分析，請大家猜想的展開式是怎么樣的？（1）猜想其展開式的特點(diǎn)：二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)合并前項(xiàng)的特點(diǎn)合并后項(xiàng)的特點(diǎn)項(xiàng)數(shù)次數(shù)字母組成項(xiàng)數(shù)字母組成每一項(xiàng)對應(yīng)的系數(shù)共項(xiàng)每一項(xiàng)的次數(shù)都是次；從個括號中各取出一個字母（或）相乘．共（）項(xiàng),,,,；按的降冪，的升冪排序.，，，，.（2）類比上述展開式的推理過程，可以得：因此的展開式可以寫成如下形式，其中每一項(xiàng)都為：.我們把這個公式叫做二項(xiàng)式定理（binomialtheorem），右邊多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)為叫做二項(xiàng)式系數(shù).式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：.【設(shè)計(jì)意圖】利用直觀的標(biāo)記顏色，將多項(xiàng)式乘法法則與計(jì)數(shù)原理建立聯(lián)系，進(jìn)而突破難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式定理，其中尤為難的是使用組合數(shù)表達(dá)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù).讓學(xué)生類比抽象概括出二項(xiàng)式定理的表達(dá)式，不僅有利于學(xué)生二項(xiàng)式定理概念的意義建構(gòu)，還能提高學(xué)生從特殊到一般的思維能力.（四）鞏固新知，深化理解例1求的展開式.分析：二項(xiàng)式定理中的字母是，而現(xiàn)在是單項(xiàng)式和，只要把公式里的換成和，把賦值為6，就可以了.總結(jié)：其字母ab是一種符號可以把a(bǔ)看作長方形,b看作三角形,它們可以是任意的數(shù)或代數(shù)式.一般地，我們可以把公式里的兩個字母看成兩個框，改變框里的內(nèi)容并不會影響公式的結(jié)構(gòu)，也就是說字母是可變的，但公式結(jié)構(gòu)卻不變[3].【設(shè)計(jì)意圖】此題為課本例題，一是為了讓學(xué)生熟悉二項(xiàng)式展開式，二是培養(yǎng)學(xué)生看待公式的眼光即公式中字母的可變性和結(jié)構(gòu)的不變性.例2（1）求的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù).分析：此時通項(xiàng)公式中的換成了，把賦值為7，把賦值為4，化簡即可.解：因此，展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280.（2）求的展開式中的系數(shù).分析：此時把通項(xiàng)公式中的換成了，把賦值為6，化簡后把的指數(shù)賦值為2，化簡求解.解：（2）的展開式的通項(xiàng)是根據(jù)題意，得，因此，的系數(shù)是.【設(shè)計(jì)意圖】此題為課本例題，一是區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，鞏固公式的應(yīng)用，二是強(qiáng)化通項(xiàng)公式的簡潔性.三是非標(biāo)準(zhǔn)化形式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，減去一個數(shù)也就是相當(dāng)于加上它的相反數(shù)，因此，此題的就是，要學(xué)會運(yùn)用數(shù)的眼光看待式子[4].（五）回顧總結(jié)，方法提煉1.知識小結(jié)：（1）二項(xiàng)式定理a+bn①二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng)，各項(xiàng)的次數(shù)都等于n.②字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0.字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.③二項(xiàng)式系數(shù)依次是Cn0,Cn1（2）通項(xiàng)公式

Tk+1=Cn①實(shí)質(zhì)是一個含有n+1項(xiàng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，可用于求特定項(xiàng).②

Tk+1是a+bn的展開式的第k+1項(xiàng),k=0,1,2,…,（3）看待公式的眼光——字母是可變的，結(jié)構(gòu)是不變的①字母a、②只要具備a+bn的形式就可以用二項(xiàng)式定理寫出展開式2.數(shù)學(xué)思想與方法：研究一般數(shù)學(xué)問題的方法.[5]3.感受數(shù)學(xué)美：二項(xiàng)式定理的概括性及其對稱性.二項(xiàng)式定理僅適用于n為正整數(shù)，而刻在偉大科學(xué)家牛頓的墓碑上的是適用于n為實(shí)數(shù)的二項(xiàng)式定理，稱為廣義二項(xiàng)式定理.這之所以能刻在偉大科學(xué)家牛頓的墓碑上，不僅是它具有高度的概括性和對稱性，更重要的是它對科學(xué)界的重大貢獻(xiàn)希望同學(xué)們的探索之旅不止步于課堂能夠在課后有更多的探索和學(xué)習(xí)．【設(shè)計(jì)意圖】梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力，提出研究數(shù)學(xué)問題的一般方法即從特殊到一般歸納定理，從一般到特殊解決問題,同時通過二項(xiàng)式定理，指出二項(xiàng)展開式的概括性和對稱性并此為美.更重要的是滲透數(shù)學(xué)史,與創(chuàng)設(shè)情景進(jìn)行了前后呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)了二項(xiàng)式定理數(shù)學(xué)價值，也進(jìn)行了二項(xiàng)式定理到廣義二項(xiàng)式定理的簡單介紹，為有自主學(xué)習(xí)能力的學(xué)生課后繼續(xù)探究埋下伏筆．6.作業(yè)布置，鞏固提升課本配套練習(xí).【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生對本節(jié)課重點(diǎn)知識的進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，提升運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.參考文獻(xiàn)：人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著.數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊[J].北京：人民教育出版社，2020：29~31.人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著.數(shù)學(xué)選擇