《決策型概率問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第七章決策型概率問題《決策型概率問題》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析概率問題是貫穿新教材[1]始終的一個(gè)主線內(nèi)容.本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)過選修三第七章之后的一個(gè)專題知識(shí).決策型概率問題一直以來也是高考的熱點(diǎn)問題，在第七章的課本例題中也曾多次出現(xiàn)，決策型問題往往綜合性較強(qiáng)，有一定難度，要求學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)非常熟悉，能夠在復(fù)雜的情境中使用概率統(tǒng)計(jì)的思想解決問題.學(xué)生學(xué)情分析1.學(xué)生已具備的能力：已經(jīng)掌握隨機(jī)變量的均值、方差等數(shù)學(xué)量的計(jì)算；已經(jīng)熟悉均值、方差等數(shù)學(xué)量的數(shù)學(xué)意義；具備一定分析問題、轉(zhuǎn)化問題、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.2.學(xué)生面臨的困難：對(duì)于具體的實(shí)際問題該如何選擇恰當(dāng)?shù)臎Q策依據(jù)，并根據(jù)決策依據(jù)作出合理決策或?qū)Q策內(nèi)容的合理性進(jìn)行解釋說明.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題確定解決問題的決策依據(jù)；掌握常見概率統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法，例如方差、均值等；能夠?qū)?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題，根據(jù)計(jì)算結(jié)果解釋具體問題的實(shí)際意義，并做出合理決策或是對(duì)決策結(jié)果解釋說明.四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：根據(jù)具體問題能夠確定恰當(dāng)?shù)臎Q策依據(jù)；難點(diǎn)：能夠根據(jù)計(jì)算結(jié)果解釋具體問題的實(shí)際意義，并做出合理決策或是對(duì)決策結(jié)果解釋說明.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.概念引入決策型問題概率中的決策型問題往往需要將實(shí)際生活中的例子模型化，通過研究數(shù)據(jù)，分析、計(jì)算概率統(tǒng)計(jì)量，從而做出決策或者對(duì)某個(gè)決策的合理性進(jìn)行解釋說明.在解決決策型概率問題的時(shí)候，我們一般會(huì)經(jīng)歷一下三步：【設(shè)計(jì)意圖】：明確一般的決策型概率問題的解決步驟，以及常見的決策依據(jù).例題研究——以期望作為決策依據(jù)例題1某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有，兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.類問題中的每個(gè)問題回答正確得分，否則得分；類問題中的每個(gè)問題回答正確得分，否則得分，已知小明能正確回答類問題的概率為，能正確回答類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【分析】（1）根據(jù)題意，小明先回答類問題，再回答類問題，則所有的答題情況如圖：【詳解】（1）由題用，分別表示小明能夠正確回答類，類問題的事件，則事件，相互獨(dú)立.記為小明的累計(jì)得分，的所有可能取值為，，.；；．所以的分布列為【分析】（2）根據(jù)題意，根據(jù)題意，小明可以選擇先回答類問題，也可以選擇先回答類問題.在(1)中我們已經(jīng)計(jì)算過先回答類問題時(shí)，小明的累計(jì)得分的期望為:類似地，先回答類問題得分情況如下：【詳解】（2）若小明先回答類問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，.；；．所以因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問題．小結(jié)：第一步，確定決策依據(jù)為累計(jì)得分的期望值；第二步，分別計(jì)算了小明先回答類問題和先回答類問題得分的期望值；第三步，回歸本題的問題，比較期望值的大小，最終做出決策.【設(shè)計(jì)意圖】本題是以期望作為決策依據(jù)的，分別計(jì)算了先回答A類問題和先回答B(yǎng)類問題這兩種情況的得分期望值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果做出決策，應(yīng)當(dāng)先回答A類問題.本題結(jié)束后引導(dǎo)學(xué)生分析這個(gè)決策型概率問題的處理方法，讓學(xué)生感受分析解決問題的過程.例題2某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（1）若不對(duì)該箱剩余產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（2）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱剩余的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【分析】（1）若不對(duì)該箱剩余產(chǎn)品作檢驗(yàn)，目前產(chǎn)生的費(fèi)用只有件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)和不合格產(chǎn)品的賠償費(fèi)用.件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)為固定值元.由于檢查出的2件不合格品都會(huì)替換成合格品，那么賠償費(fèi)就只需要考慮剩余件中的不合格品數(shù)量.用表示剩余的件產(chǎn)品中得不合格品件數(shù)，則賠償費(fèi)用為.故【詳解】（1）若不對(duì)該箱剩余產(chǎn)品作檢驗(yàn),件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)為固定值元.令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.【分析】（2）由(1)知，若不對(duì)剩余產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，則費(fèi)用總為，即若對(duì)剩余產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，則檢驗(yàn)費(fèi)用為固定值元，并且根據(jù)題意，當(dāng)檢驗(yàn)出不合格品，只需要將其替換即可，即不會(huì)產(chǎn)生賠償費(fèi)用.故需要花費(fèi)的費(fèi)用總和為元.【詳解】（2）由（1）可知，若不對(duì)剩余產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，則需要花費(fèi)的費(fèi)用總和為即若對(duì)剩余產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，則需要花費(fèi)的費(fèi)用總和為元，即元因?yàn)?，所以?yīng)該對(duì)這箱剩余的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).【設(shè)計(jì)意圖】本題仍然是以期望作為決策依據(jù)的，讓學(xué)生加深對(duì)期望作為決策依據(jù)的決策型概率問題的理解。讓學(xué)生明確在實(shí)際問題中，數(shù)學(xué)期望代表的實(shí)際意義可能不同，并非期望越大越好，而是要看具體問題的實(shí)際意義，再根據(jù)期望值的大小來做出決策.例如本題中，應(yīng)當(dāng)是檢測費(fèi)用越少越好！例題研究——以方差作為決策依據(jù)例題3甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時(shí)誤差分別為和（單位：），其分布列為甲品牌的走時(shí)誤差分布列X01P0.10.80.1乙品牌的走時(shí)誤差分布列Y012P0.10.20.40.20.1（1）求和；（2）求和，并比較兩種品牌手表的性能．【詳解】（1），．（2），，因?yàn)?，，所以僅考慮誤差，甲種品牌手表的性能要好【設(shè)計(jì)意圖】本題是以隨機(jī)變量的方差作為決策依據(jù)，隨機(jī)變量的方差是反映隨機(jī)變量取值相對(duì)于均值波動(dòng)性大小的量，在決策問題中往往意味著不確定性.要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題來確定方差所代表的意義，再進(jìn)行正確決策.例題研究——以概率作為決策依據(jù)例題4袋中裝有6個(gè)形狀、大小完全相同的球，其中黑球2個(gè)、白球2個(gè)、紅球2個(gè)，規(guī)定取出一個(gè)黑球記0分，取出一個(gè)白球記1分，取出一個(gè)紅球記2分，抽取這些球的時(shí)候，誰也無法看到球的顏色，首先由甲取出3個(gè)球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩余的3個(gè)球，規(guī)定取出球的總積分多者獲勝.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽的公平性.【分析】（1）若根據(jù)題目積分規(guī)則，甲從6個(gè)球中任取3個(gè)，則他的總積分可以是：1分，2分，3分，4分，5分.所有得分的組合情況如下:

【詳解】（1）記黑球?yàn)樘?hào)，白球?yàn)樘?hào)，紅球?yàn)樘?hào)，

則甲的可能取球共有以下20種情況：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.甲乙平局時(shí)都得3分，所以甲取出的三個(gè)小球是一黑一白一紅，共8種情況，

故平局的概率.【分析】（2）本題實(shí)質(zhì)上是分析甲先取球和甲后取球的獲勝概率是否相等.

根據(jù)本題比賽規(guī)則讓甲先取出3個(gè)球，不放回，然后乙再取出剩余的3個(gè)球，規(guī)定取出球的總積分多者獲勝，那么本場比賽的結(jié)果只有三種情況：甲勝，乙勝，平局.

甲先取球并且獲勝就是這里的甲勝；當(dāng)取球順序改變時(shí)，甲后取球并且獲勝其實(shí)就是這里的乙勝，故本題就是分別求甲、乙的獲勝概率.【詳解】（2）我們不妨假設(shè)事件為甲獲勝，事件為乙獲勝，則甲先取3球獲勝得分只能是4分或5分，即取出的是2紅1白，1紅2白，2紅1黑共6種情況，

故先取者（甲）獲勝的概率為,后取者（乙）獲勝的概率為，

所以，先取球和后取球的獲勝概率一樣，故先后取球順序不會(huì)影響比賽的公平性.

【設(shè)計(jì)意圖】本題是以概率作為決策依據(jù)的，讓學(xué)生感受對(duì)于某些不可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)，或者只知道事件發(fā)生的概率時(shí)，解決這個(gè)問題的最佳策略往往是選擇成功概率最大的方案.

例題5假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：），該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于.（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率為多少；（2）檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請(qǐng)說明理由.【分析】（1）假設(shè)正常情況下，生產(chǎn)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布，其中，，根據(jù)μ和σ的值，我們可以借助數(shù)學(xué)軟件，畫出隨機(jī)變量的概率分布圖。現(xiàn)任取一包試驗(yàn)，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性及“原則”，化為的形式,，然后求解即可.【詳解】（1）假設(shè)正常情況下，生產(chǎn)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布，其中，，現(xiàn)任取一包試驗(yàn)，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性及“原則”，所以【詳解】（2）由(1)可知，正常情況下任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率約為，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都大于的概率約為:概率值幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了,所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，檢測員的判斷是合理的.

【設(shè)計(jì)意圖】本題仍然是以概率作為決策依據(jù)的，讓學(xué)生學(xué)會(huì)小概率時(shí)間在實(shí)際問題中的應(yīng)用，我們?cè)谔幚磉@類問題時(shí)要利用“小概率事件實(shí)際不可能原則”，即如果要判斷一個(gè)事件的概率很小，那么我們認(rèn)為在一次試驗(yàn)中此事件基本不會(huì)發(fā)生，此類問題常應(yīng)用于醫(yī)療、安全等領(lǐng)域的檢測.課堂小結(jié)【設(shè)計(jì)意圖】梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力，提出研究解決決策型概率問題的一般方法即為三步：第一步確定決策依據(jù)；第二步計(jì)算相關(guān)數(shù)學(xué)量；第三步結(jié)合數(shù)學(xué)意義得出實(shí)際問題的決策結(jié)論.并強(qiáng)調(diào)常見的決策依據(jù)有隨機(jī)變量的均值方差概率等，要牢牢掌握相關(guān)計(jì)算方法，明確數(shù)學(xué)意義以