計(jì)算機(jī)圖形學(xué)（第3版）課件：曲線(xiàn)和曲面

2024/12/141計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

曲線(xiàn)和曲面

第一節(jié)曲線(xiàn)和曲面表示的基礎(chǔ)知識(shí)第二節(jié)Hermite多項(xiàng)式第三節(jié)Bezier曲線(xiàn)第四節(jié)Bezier曲面第五節(jié)B樣條曲線(xiàn)第六節(jié)B樣條曲面第一節(jié)曲線(xiàn)和曲面表示的基礎(chǔ)知識(shí)

曲線(xiàn)和曲面參數(shù)表示

（1）與坐標(biāo)軸相關(guān)的，不便于進(jìn)行坐標(biāo)變換；（2）會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情況；（3）難以靈活地構(gòu)造復(fù)雜的曲線(xiàn)、曲面（4）非參數(shù)的顯示方程只能描述平面曲線(xiàn)，空間曲線(xiàn)必須定義為兩張柱面的交線(xiàn)。（5）假如我們使用非參數(shù)化函數(shù)，在某個(gè)xoy坐標(biāo)系里一條曲線(xiàn)，一些x值對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，而一些y值對(duì)應(yīng)多個(gè)x值。

在空間曲線(xiàn)的參數(shù)表示中，曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的坐標(biāo)均要表示成某個(gè)參數(shù)t的一個(gè)函數(shù)式，則曲線(xiàn)上每一點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)參數(shù)式是：，，

把三個(gè)方程合寫(xiě)到一起，曲線(xiàn)上一點(diǎn)坐標(biāo)的矢量表示是：關(guān)于參數(shù)t的切矢量或?qū)Ш瘮?shù)是：曲面寫(xiě)為參數(shù)方程形式為:曲線(xiàn)或曲面的某一部分，可以簡(jiǎn)單地用a≤u,w≤b界定它的范圍直線(xiàn)段端點(diǎn)坐標(biāo)分別是P1[x1,y1],P2[x2,y2]，直線(xiàn)段的參數(shù)表達(dá)式是：P(t)=

P1+(

P2-

P1)t=(1-t)P1+tP2

0≤t≤1；參數(shù)表示相應(yīng)的x,y坐標(biāo)分量是：x(t)=x1+(x2-x1)t

y(t)=y1+(y2-y1)t0≤t≤1參數(shù)方程具有如下優(yōu)點(diǎn)：有更大的自由度來(lái)控制曲線(xiàn)、曲面的形狀。便于坐標(biāo)變換便于處理斜率為無(wú)限大的問(wèn)題，不會(huì)因此中斷計(jì)算代數(shù)、幾何相關(guān)和無(wú)關(guān)的變量是完全分離的，而且對(duì)變量個(gè)數(shù)不限，便于向高維空間擴(kuò)展。

t∈[0,1],直接定義了邊界。便于曲線(xiàn)和曲面的分段、分片描述。易于用矢量和矩陣表示，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算。曲線(xiàn)和曲面可以分為兩類(lèi)。一類(lèi)要求通過(guò)事先給定的離散的點(diǎn)，稱(chēng)為是插值的曲線(xiàn)或曲面。另一類(lèi)不要求通過(guò)事先給定的各離散點(diǎn)，而只是用給定各離散點(diǎn)形成的控制多邊形來(lái)控制形狀，稱(chēng)為是逼近的曲線(xiàn)或曲面。

插值構(gòu)造一條曲線(xiàn)順序通過(guò)型值點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些型值點(diǎn)進(jìn)行插值（interpolation）。逼近構(gòu)造一條曲線(xiàn)，使它在某種意義上最接近這些型值點(diǎn)但不完全通過(guò)，稱(chēng)之為對(duì)這些型值點(diǎn)進(jìn)行逼近（approximation）。參數(shù)連續(xù)性一函數(shù)在某一點(diǎn)x0處具有相等的直到k階的左右導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)它在x0處是k次連續(xù)可微的，或稱(chēng)它在x0處是k階連續(xù)的，記作Ck。幾何上C0、C1、C2依次表示該函數(shù)的圖形、切線(xiàn)方向、曲率是連續(xù)的。參數(shù)曲線(xiàn)的可微性稱(chēng)為參數(shù)曲線(xiàn)的連續(xù)性。幾何連續(xù)性

兩曲線(xiàn)段的相應(yīng)的弧長(zhǎng)參數(shù)化在公共連接點(diǎn)處參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例而不是相等，則稱(chēng)它們?cè)谠擖c(diǎn)處具有k階幾何連續(xù)性，記作Gk

。 零階幾何連續(xù)G0與零階參數(shù)連續(xù)C0是一致的。 一階幾何連續(xù)G1指一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)相鄰曲線(xiàn)段的交點(diǎn)處成比例，即方向相同，大小不同。 二階幾何連續(xù)G2指兩個(gè)曲線(xiàn)段在交點(diǎn)處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。曲線(xiàn)段間C1、C2和G1、G2連續(xù)性定義（1）Q1(1)=Q2(0),則Q1(t)和Q2(t)在P處有C0和G0連續(xù)性（2）Q1(1)和Q2(0)在P處重合，且其在P點(diǎn)處的切矢量方向相同，大小相等，則Q1(t)和Q2(t)在P處有C1連續(xù)性（3）Q1(1)和Q2(0)在P處重合，且其在P點(diǎn)處的切矢量方向相同，大小不等，則Q1(t)和Q2(t)在P處有G1連續(xù)性Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)Q1(0)Q2(1)Q1(1)Q2(0)Q1(0)Q2(1)Q1(1)Q2(0)曲線(xiàn)段間C1、C2和G1、G2連續(xù)性定義（4）Q1(1)和Q2(0)在P處已有C0和C1連續(xù)，且Q”1(1)和Q”2(0)大小方向均相同，則Q1(t)和Q2(t)在P處有C2連續(xù)性（5）Q1(1)和Q2(0)在P處已有G0和G1連續(xù)，且Q”1(1)和Q”2(0)方向相同但大小不等，則Q1(t)和Q2(t)在P處有G2連續(xù)性（6）推廣之，Q1(1)和Q2(0)在P處已有C0、C1、…、Cn連續(xù)，若Q(n)1(1)和Q(n)2(0)在P處大小和方向均相同，則說(shuō)Q1(t)和Q2(t)在P處具有Cn連續(xù)性Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)曲線(xiàn)段間C1、C2和G1、G2連續(xù)性定義（1）Q1(1)=Q2(0),則Q1(t)和Q2(t)在P處有C0和G0連續(xù)性（2）Q1(1)和Q2(0)在P處重合，且其在P點(diǎn)處的切矢量方向相同，大小相等，則Q1(t)和Q2(t)在P處有C1連續(xù)性（3）Q1(1)和Q2(0)在P處重合，且其在P點(diǎn)處的切矢量方向相同，大小不等，則Q1(t)和Q2(t)在P處有G1連續(xù)性（4）Q1(1)和Q2(0)在P處已有C0和C1連續(xù)，且Q”1(1)和Q”2(0)大小方向均相同，則Q1(t)和Q2(t)在P處有C2連續(xù)性（5）Q1(1)和Q2(0)在P處已有G0和G1連續(xù)，且Q”1(1)和Q”2(0)方向相同但大小不等，則Q1(t)和Q2(t)在P處有G2連續(xù)性（6）推廣之，Q1(1)和Q2(0)在P處已有C0、C1、…、Cn連續(xù)，若Q(n)1(1)和Q(n)2(0)在P處大小和方向均相同，則說(shuō)Q1(t)和Q2(t)在P處具有Cn連續(xù)性C0連續(xù)的線(xiàn)性插值C2連續(xù)的樣條插值光順

光順（smoothness）是指曲線(xiàn)的拐點(diǎn)不能太多，要光滑順暢。對(duì)于平面曲線(xiàn)相對(duì)光順的條件應(yīng)該是：（1）具有二階幾何連續(xù)（G2）；（2）不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；（3）曲率變化較小。第二節(jié)Hermite多項(xiàng)式

已知函數(shù)f(t)在k+1個(gè)點(diǎn){ti}處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值{f(j)(ti)}，i=0,1,…,k，j=0,1,…,mi-1，要求確定一個(gè)N=m0+m1+…+mk-1次的多項(xiàng)式P(t)，滿(mǎn)足下面的插值條件：一、Lagrange插值

已知f(t)在k+1個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值f(ti)，求一個(gè)k次多項(xiàng)式使之滿(mǎn)足。

設(shè)表示一條曲線(xiàn)的某個(gè)函數(shù)f(t)在三點(diǎn)t0，t1，t2的函數(shù)值f(t0)，f(t1)，f(t2)，根據(jù)Lagrange插值法，則二次多項(xiàng)式P(t)可表示為：g0(t)g2(t)g1(t)

設(shè)表示一條曲線(xiàn)的某個(gè)函數(shù)f(t)在四點(diǎn)t0，t1，t2，t3的函數(shù)值f(t0)，f(t1)，f(t2)，f(t3)，根據(jù)Lagrange插值法，則三次多項(xiàng)式P(t)可表示為：g0(t)g3(t)g1(t)g2(t)一般地，對(duì)于k+1個(gè)點(diǎn)，若曲線(xiàn)表達(dá)式中滿(mǎn)足是連續(xù)的●●則稱(chēng)為混合（調(diào)和）函數(shù)或基稱(chēng)為控制點(diǎn)。函數(shù)，k+1個(gè)點(diǎn)二、三次Hermite曲線(xiàn)考察k=1，m0=m1=2的情形已知表示一條曲線(xiàn)的某個(gè)函數(shù)f(t)在兩點(diǎn)0，1的函數(shù)值f(0),f(1)和一階導(dǎo)數(shù)值f’(0),f’(1)，求三次多項(xiàng)式P(t):把a(bǔ)0，a1，a2和a3代入(4-18)式則有：(4-18)得圖4-5規(guī)范化3次Hermite插值的四個(gè)調(diào)和函數(shù)四、分段3次Hermite曲線(xiàn)將前面t0和t1視為ti和ti+1，設(shè)給定f(ti)，f(ti+1)，f’(ti)，f’(ti+1)，則在區(qū)間[ti，ti+1]的Hermite三次插值多項(xiàng)式Pi(t)是：為了完整地寫(xiě)出這個(gè)插值多項(xiàng)式，可以在區(qū)間[ti，ti+1]中引入如下一些基本函數(shù)：a0,0a1,0n=1為了完整地寫(xiě)出這個(gè)插值多項(xiàng)式，可以在區(qū)間[ti，ti+1]中引入如下一些基本函數(shù)：n=2a0,0a1,0a2,0完整的插值多項(xiàng)式可寫(xiě)為：上式區(qū)間[t0，tn]中有定義，且為分段定義。在每個(gè)區(qū)間[ti，ti+1]上，都恰有四項(xiàng)。滿(mǎn)足插值條件每段曲線(xiàn)Pi(t)只在[ti，ti+1]中有定義：自變量的線(xiàn)性變換用逆變換代入，將所得關(guān)于u的多項(xiàng)式記為，得其中例：設(shè)在平面上有兩點(diǎn)P0，Pl，它們的位置向量分別為(1，1)，(4，2)，在P0的導(dǎo)數(shù)值即在該點(diǎn)的切線(xiàn)向量P’0=(1，1)，在Pl處P’1=(1，-1)，構(gòu)造曲線(xiàn)。

第三節(jié)Bezier曲線(xiàn)1.Bezier曲線(xiàn)定義

給出型值點(diǎn)P0，P1，…，Pn，它們所確定的n次Bezier曲線(xiàn)是：

是Bernstein多項(xiàng)式，混合函數(shù)涉及到的0!及00，按約定均為1。在n=1時(shí)，公式成為：(一次Bezier曲線(xiàn)是直線(xiàn)段)

在n=2時(shí)，公式成為：(二次Bezier曲線(xiàn)是拋物線(xiàn))

在n=3時(shí)，公式成為：(三次Bezier曲線(xiàn)是三次參數(shù)多項(xiàng)式曲線(xiàn))Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)（1）正性（2）端點(diǎn)性質(zhì)（3）規(guī)范性 （4）對(duì)稱(chēng)性 (5)權(quán)性 (6)遞推性

(7)導(dǎo)函數(shù)在處達(dá)到最大值。(8)最大值(7)導(dǎo)函數(shù)2、

Bezier曲線(xiàn)的性質(zhì)

P(0)=

P0，P(1)=P1，曲線(xiàn)通過(guò)所給出型值點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)。

i=0i=n·二階導(dǎo)數(shù)

Bezier曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性

·曲線(xiàn)的凸包性

對(duì)給定的型值點(diǎn)P0，P1，…，Pn點(diǎn)集，點(diǎn)集稱(chēng)作n+1個(gè)點(diǎn)張成的凸包·幾何不變性3、Bezier曲線(xiàn)的拼接P0P1P2P3和Q0QlQ2Q3，兩個(gè)Bezier多邊形①曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處C0連續(xù)的條件是P3=Q0②曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處G1連續(xù)，即一階導(dǎo)數(shù)幾何連續(xù)，條件是Q’0=aP’3 ，a是一個(gè)正數(shù)。

P2,

P3=Q0,

Ql,共線(xiàn)且P2和Ql在P3兩側(cè)③連接點(diǎn)處達(dá)到C2連續(xù)，即二階導(dǎo)數(shù)參數(shù)連續(xù)的條件，對(duì)前面的公式求兩次導(dǎo)數(shù)，可得，于是知，要求，即，注意到Q0=P3，由此得：4、Bezier曲線(xiàn)繪制①利用定義式Bezier曲線(xiàn)的繪制，可以利用其定義式，對(duì)參數(shù)t選取足夠多的值，計(jì)算曲線(xiàn)上的一些點(diǎn)，然后用折線(xiàn)連接來(lái)近似畫(huà)出實(shí)際的曲線(xiàn)。隨著選取點(diǎn)增多，折線(xiàn)和曲線(xiàn)可以任意接近。假設(shè)給定的四個(gè)型值點(diǎn)是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)，P3=(3，1)，則計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表t(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.4440.2390.043(2.248,2.376)0.50.1250.3750.3750.125(2.75,2.5)0.650.0430.2390.4440.275(3.122,2.36)0.850.00340.05740.3250.614(3.248,1.75)10001(3,1)幾何作圖法

記點(diǎn)Pk，Pk+l，…，Pk+n可以生成的Bézier曲線(xiàn)為，0≤t≤1則成立下面的遞推關(guān)系：證明上式，要用到組合等式：

上式改寫(xiě)為：

doubledecas(intn,doubleP[],doublet){ intm,i; double*R,*Q,P0; R=newdouble[n+1]; Q=newdouble[n+1]; for(i=0;i<=n;i++) R[i]=P[i];//將控制點(diǎn)坐標(biāo)P保存于R中

//需要作n次外部循環(huán)，方能產(chǎn)生最終Bezier曲線(xiàn)在點(diǎn)t的值

for(m=n;m>0;m--){//n次Bezier曲線(xiàn)在點(diǎn)t的值，可由兩條n-1次Bezier曲線(xiàn)//在點(diǎn)t的值通過(guò)線(xiàn)性組合而求得。

for(i=0;i<m;i++) Q[i]=R[i]+t*(R[i+1]-R[i]); for(i=0;i<m;i++) R[i]=Q[i]; } P0=R[0]; deleteR; deleteQ; return(P0);}

voidbez_to_points(intn,intnpoints,doubleP[],doublepoints[])//P為控制點(diǎn)坐標(biāo)

//

points為采用幾何作圖算法生成的Bezier曲線(xiàn)上的離散點(diǎn)序列//離散點(diǎn)序列points的個(gè)數(shù)為npoints+1

//控制點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為n+1

{ doublet,delt; delt=1.0/(double)npoints;//將參數(shù)tnpoints等分

t=0.0; for(inti=0;i<=npoints;i++) { //分別求出npoints+1個(gè)離散點(diǎn)points的坐標(biāo)

points[i]=decas(n,P,t);

t+=delt; }}

設(shè)給出四點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所確定三次Bezier曲線(xiàn)在t=1/3時(shí)的值P(1/3)，算法的計(jì)算過(guò)程Bezier幾何作圖算法計(jì)算過(guò)程

分裂法思想：將原控制點(diǎn)集分為兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相同的新控制點(diǎn)集，分別對(duì)應(yīng)原曲線(xiàn)的前半段和后半段，新控制點(diǎn)集比原控制點(diǎn)集更接近直線(xiàn)，分裂過(guò)程繼續(xù)進(jìn)行，控制點(diǎn)集會(huì)迅速向曲線(xiàn)靠近，當(dāng)滿(mǎn)足某個(gè)允許的界限時(shí)，可依次連接各點(diǎn)的折線(xiàn)來(lái)表示曲線(xiàn)分裂法設(shè)控制點(diǎn)序列P0，P1，…，Pn確定的n次Bezier曲線(xiàn)是P(t)，用如下遞歸方式計(jì)算另一組點(diǎn)集：

如果令Pa(s)和Pb(s)分別是以控制點(diǎn)序列和確定的Bezier曲線(xiàn)，其中0≤s≤1，那么就有：己知四點(diǎn)P0，P1，P2，P3，確定了一條三次Bezier曲線(xiàn)P(t)，可寫(xiě)出下式，

分裂法中的遞歸計(jì)算分裂法的示意圖

驗(yàn)證Bezier曲線(xiàn)分成前后兩段的正確性。以P0的系數(shù)為例，驗(yàn)證兩端它的系數(shù)是相等的。左端顯然就是B0,3(t)=(1-t)3。再看右端。若0≤t≤，這時(shí)就用前半段的表達(dá)式，觀察分裂計(jì)算圖注意到中有1份P0，中有份，中是份，中是份。

右端對(duì)≤t≤1，注意到僅中有份的P0。1/21/41/81/21/23/81/21/4設(shè)己知三次Bezier曲線(xiàn)P(t)的控制頂點(diǎn)是P0，P1，P2，P3，在P()處將曲線(xiàn)分為兩段，求出前半段的控制頂點(diǎn)Q0，Ql，Q2，Q3和后半段的控制頂點(diǎn)R0，R1，R2，R3。有算法如下voidsplit_Bezier(PointP[]){ PointR[4],Q[4]; inti,j; for(i=0;i<=3;i++) R[i]=P[i];

for(i=0;i<=2;i++)

{ Q[i]=R[0]; for(j=0;j<=2-i;j++){ //分別對(duì)相鄰兩控制點(diǎn)間的線(xiàn)段進(jìn)行分裂

R[j].x=(R[j].x+R[j+1].x)/2; R[j].y=(R[j].y+R[j+1].y)/2; } } Q[3]=R[0];}分裂算法的計(jì)算根據(jù)Bezier曲線(xiàn)的凸包性質(zhì)，知道曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到線(xiàn)段P0P3的距離，小于P1和P2到線(xiàn)段P0P3距離中的較大者，即有：任意事先給定的對(duì)畫(huà)出曲線(xiàn)近似程度的要求ε>0，可以取max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3))<ε為分裂停止的條件。voidnew_split_Bezier(PointP[]){ PointR[4],Q[4]; inti,j; constdoubleepsilon=0.01; if(maxdistance(P)<epsilon){ /*maxdistance(P)為求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3))的函數(shù)*/ MoveTo(P[0].x,P[0].y); LineTo(P[3].x,P[3].y); }else{ for(i=0;i<=3;i++)R[i]=P[i]; for(i=0;i<=2;i++){ Q[i]=R[0]; for(j=0;j<=2-i;j++){ R[j].x=(R[j].x+R[j+1].x)/2; R[j].y=(R[j].y+R[j+1].y)/2; } } Q[3]=R[0]; new_split_Bezier(Q);new_split_Bezier(R); }}doublemaxdistance(Pointp[]){ doubles1,s2,h1,h2; s1=((p[0].x-p[1].x)*(p[0].y+p[1].y)+ (p[1].x-p[3].x)*(p[1].y+p[3].y)+ (p[3].x-p[0].x)*(p[3].y+p[0].y)); s2=((p[0].x-p[2].x)*(p[0].y+p[2].y)+ (p[2].x-p[3].x)*(p[2].y+p[3].y)+ (p[3].x-p[0].x)*(p[3].y+p[0].y)); doubledistance=sqrt((p[0].x-p[3].x)*(p[0].x-p[3].x)+ (p[0].y-p[3].y)*(p[0].y-p[3].y)); h1=fabs(s1/distance); h2=fabs(s2/distance); returnmax(h1,h2);} 五、Bézier曲線(xiàn)的升階設(shè)給定原始控制頂點(diǎn)P0，P1，…，Pn，定義了一條n次Bézier曲線(xiàn)，增加一個(gè)頂點(diǎn)，曲線(xiàn)提升一階后，仍定義同一條曲線(xiàn)的新控制頂點(diǎn)為則有對(duì)上式左邊乘以得比較等式兩邊項(xiàng)的系數(shù)，得兩邊除以，得式中1新的控制頂點(diǎn)是以參數(shù)值按分段線(xiàn)性插值從原始控制多邊形得出的。2升階后新的控制多邊形在原始控制多邊形的凸包內(nèi)。3控制多邊形更靠近曲線(xiàn)。此式說(shuō)明：六、有理Bezier曲線(xiàn)

圖中h0=h1=h3=1，當(dāng)h2=0、1/2、1、2、4時(shí)曲線(xiàn)逐漸地靠近P2點(diǎn)

圖中h0=h1=h3=1，當(dāng)h2=0、1/2、1、2、4時(shí)曲線(xiàn)逐漸地靠近P2點(diǎn)

第四節(jié)Bezier曲面若在空間給定(m+1)(n+1)個(gè)控制點(diǎn)，Vij，i=0，1，…，m，j=0，1，…，n，令上式曲面為m×n次的Bezier曲面二、Bézier曲面的性質(zhì)(2)邊界線(xiàn)位置(1)端點(diǎn)位置是曲面的四個(gè)端點(diǎn)Bézier曲面的四條邊界線(xiàn)以、和，為控制多邊、形的Bézier曲線(xiàn)(3)端點(diǎn)的切平面，相切

、、、三角面在、、、處與曲面(4)凸包性

位于其控制頂點(diǎn)Vij，

(i=0，1，…，m，j=0，1，…，n)

的凸包內(nèi)。

的形狀和位置與坐標(biāo)系選

擇無(wú)關(guān)，僅和點(diǎn)Vij，(i=0，1，…，

m，j=0，1，…，n)的相對(duì)位置有關(guān)。(5)幾何不變性曲面曲面三、Bézier曲面示例(1)雙一次（線(xiàn)性）Bézier曲面當(dāng)m=n=1時(shí)，得雙—次（線(xiàn)性）Bézier曲面。給定(m+1)×(n+1)=2×2=4個(gè)控制點(diǎn)：

設(shè)V0,0，V0,1，V1,0，V1,1四點(diǎn)依次是(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，則可得P1,1(u，w)的坐標(biāo)形式的參數(shù)方程為：雙曲拋物面(馬鞍面)方程

(2)雙二次Bézier曲面

當(dāng)m=n=2時(shí)，得到雙二次Bézier曲面，給定(m+1)×(n+1)=3×3=9個(gè)控制點(diǎn)，即

(3)雙三次Bézier曲面當(dāng)m=n=3時(shí)，得到雙三次Bézier曲面，給定(m+1)×(n+1)=4×4=16個(gè)控制點(diǎn)

四、Bézier曲面的拼接控制網(wǎng)格（1）連續(xù)于是有（2）連續(xù)最簡(jiǎn)單的解： 兩曲面片在該邊界上有公共的切平面

兩邊關(guān)于w的多項(xiàng)式次數(shù)相同

或 第五節(jié)B樣條曲線(xiàn)一、B樣條曲線(xiàn)的定義給定n+1個(gè)控制點(diǎn)P0，P1，…，Pn，它們所確定的k階B樣條曲線(xiàn)是：其中Ni,k(u)遞歸定義如下：這里u0，u1，…，un+k，是一個(gè)非遞減的序列，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，(u0，u1，…，un+k)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)向量。定義中可能出現(xiàn)，這時(shí)約定為0。B樣條曲線(xiàn)包含n-k+2段。

由k階B樣條曲線(xiàn)的遞歸定義可以看出：（1）對(duì)n+1個(gè)控制點(diǎn)，曲線(xiàn)由n+1個(gè)混合函數(shù)所描述。（2）每個(gè)混合函數(shù)定義在u取值范圍的k個(gè)子區(qū)間，以節(jié)點(diǎn)向量值ui為起點(diǎn)。（3）參數(shù)u的取值范圍由n+k+1個(gè)給定節(jié)點(diǎn)向量值分成n+k個(gè)子區(qū)間。（4）節(jié)點(diǎn)向量(u0，u1，…，un+k)所生成的B樣條曲線(xiàn)僅定義在從節(jié)點(diǎn)值到節(jié)點(diǎn)值的區(qū)間上。（5）任一控制點(diǎn)可以影響最多k個(gè)曲線(xiàn)段的形狀。（6）是分段參數(shù)多項(xiàng)式。在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的多項(xiàng)式。從B樣條曲線(xiàn)的這個(gè)遞歸定義可以看出，曲線(xiàn)與給定的階數(shù)k及節(jié)點(diǎn)向量都有關(guān)系。就是說(shuō)，即使k相同，選擇不同的節(jié)點(diǎn)向量，也能得到不同的曲線(xiàn)。選取，n=2，k=1，控制頂點(diǎn)是P0，P1，P2，這樣應(yīng)選擇參數(shù)節(jié)點(diǎn)n+k+1=4個(gè)，設(shè)節(jié)點(diǎn)向量是(u0，u1，u2，u3)，按式定義，可寫(xiě)出三個(gè)基函數(shù)：由公式可知所定義的B樣條曲線(xiàn)是

2階B樣條由兩個(gè)1階B樣條與遞歸推得，是它們的凸線(xiàn)性組合節(jié)點(diǎn)向量為（0，1，2）的2階B樣條基函數(shù)如圖由兩個(gè)2階B樣條Ni,2與Ni+1,2遞推生成3階B樣條Ni,3Ni,2Ni+1,2Ni,3由兩個(gè)3階B樣條Ni,3與Ni+1,3遞推生成4階B樣條Ni,4Ni,3Ni+1,3Ni,4B樣條基函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）正性和局部性（2）規(guī)范性（3）權(quán)性：對(duì)從節(jié)點(diǎn)值到區(qū)間上的任一值u，全體基函數(shù)之和為1（4）遞推性：二、B樣條曲線(xiàn)的性質(zhì)（1）連續(xù)性：連續(xù)性（節(jié)點(diǎn)不重）（2）可微性：在定義域內(nèi)重復(fù)度為p的節(jié)點(diǎn)處有k-1-p次可微，或具有連續(xù)性（3）凸包性：（4）正性和局部支承性：（5）幾何不變性：（6）近似性：

在參數(shù)節(jié)點(diǎn)的眾多選取方法中，最多使用的是選擇參數(shù)u的每一區(qū)間為等長(zhǎng)的情況，這時(shí)所得到的B樣條函數(shù)稱(chēng)為是等距的，或均勻的。假定ui=i,i=0，1，…，n+k。

三、均勻B樣條曲線(xiàn)（1）均勻B樣條遞歸式，經(jīng)過(guò)計(jì)算，可以寫(xiě)出：由兩個(gè)2階B樣條Ni,2與Ni+1,2遞推生成3階B樣條Ni,3Ni,2Ni+1,2Ni,3由兩個(gè)3階B樣條Ni,3與Ni+1,3遞推生成4階B樣條Ni,4Ni,3Ni+1,3Ni,4如果固定在ui+3≤u<ui+4區(qū)間，可以寫(xiě)出：對(duì)參數(shù)進(jìn)行如下變換tj=u-ui+j以簡(jiǎn)化上式，這仍可以使ui+j≤u<ui+j+1與0≤tj<1保持一致的。上述結(jié)果對(duì)任意的0≤i≤n-3成立，令i=0，可寫(xiě)出四個(gè)B樣條函數(shù)：

上述結(jié)果對(duì)任意的i成立，令i=0，同時(shí)對(duì)t3用u進(jìn)行名稱(chēng)替換，可寫(xiě)出四個(gè)4階3次B樣條基函數(shù)：設(shè)給出n+1個(gè)控制點(diǎn)P0,P1,…,Pn,則所確定的4階3次等距B樣條曲線(xiàn)：整條曲線(xiàn)是分段定義第0段Q0(u)僅由頂點(diǎn)P0，P1，P2，P3確定。第1段Q1(u)由P1，P2，P3，P4確定，…，第n-3段由Pn-3，Pn-2，Pn-1，Pn確定。

按照同樣的方法，可以寫(xiě)出2階1次和3階2次均勻B樣條曲線(xiàn)的表達(dá)式：（2）均勻B樣條曲線(xiàn)的拼接問(wèn)題（2）均勻B樣條曲線(xiàn)的拼接問(wèn)題（2）均勻B樣條曲線(xiàn)的拼接問(wèn)題Qi(0)是控制點(diǎn)Pi，Pi+1，Pi+2，Pi+3確定的一段曲線(xiàn)的起點(diǎn)。將它的表達(dá)式改為該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)是Q''i(0)，改寫(xiě)為

（3）特殊曲線(xiàn)的控制點(diǎn)配置1．對(duì)于4階3次均勻B樣條曲線(xiàn)P(u)，若要在其中得到一條直線(xiàn)段，只要控制點(diǎn)Pi，Pi+1，Pi+2，Pi+3四點(diǎn)位于一條直線(xiàn)上，此時(shí)P(u)對(duì)應(yīng)的ui+3≤u≤ui+4的曲線(xiàn)即為一段直線(xiàn)，且和Pi，Pi+1，Pi+2，Pi+3所在的直線(xiàn)重合。2．為了使P(u)能過(guò)Pi點(diǎn)，只要Pi，Pi+1，Pi+2三點(diǎn)重合，此時(shí)P(u)過(guò)Pi點(diǎn)（尖點(diǎn)）。3．為了使B樣條曲線(xiàn)P(u)和某一直線(xiàn)L相切，只要求B樣條曲線(xiàn)的控制點(diǎn)Pi，Pi+1，Pi+2位于L上。由k階B樣條曲線(xiàn)的遞歸定義可以看出：（1）對(duì)n+1個(gè)控制點(diǎn)，曲線(xiàn)由n+1個(gè)混合函數(shù)所描述（2）每個(gè)混合函數(shù)定義在u取值范圍的k個(gè)子區(qū)間，以節(jié)點(diǎn)向量值ui為起點(diǎn)。（3）參數(shù)u的取值范圍由n+k+1個(gè)給定節(jié)點(diǎn)向量值分成n+k個(gè)子區(qū)間。（4）節(jié)點(diǎn)向量(u0,u1,…,un+k)所生成的B樣條曲線(xiàn)僅定義在從節(jié)點(diǎn)值到節(jié)點(diǎn)值的區(qū)間上。（5）任一控制點(diǎn)可以影響最多k個(gè)曲線(xiàn)段的形狀。（6）是分段參數(shù)多項(xiàng)式。在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的多項(xiàng)式。四、準(zhǔn)均勻B樣條曲線(xiàn)

給定n+1個(gè)控制點(diǎn)的k階B樣條，其參數(shù)值k和n通過(guò)下列計(jì)算可以生成準(zhǔn)均勻具有整型節(jié)點(diǎn)的向量

準(zhǔn)均勻B樣條多項(xiàng)式曲線(xiàn)通過(guò)第一和最后一個(gè)控制點(diǎn)。參數(shù)曲線(xiàn)在第一個(gè)控制點(diǎn)處的切向量平行于頭兩個(gè)控制點(diǎn)的連線(xiàn)；最后一個(gè)控制點(diǎn)處的切向量則平行于最后兩個(gè)控制點(diǎn)的連線(xiàn)。

選取n=3，k=2，于是有四個(gè)控制頂點(diǎn)P0，P1，P2，P3應(yīng)有參數(shù)節(jié)點(diǎn)n+k+1=6個(gè)，設(shè)節(jié)點(diǎn)向量是(0，0，1，2，3，3)，確定2階B樣條曲線(xiàn)。

取n=4(5個(gè)控制點(diǎn))，k=3，可得節(jié)點(diǎn)向量的8個(gè)值事實(shí)上，當(dāng)k=n+1時(shí)，由式得準(zhǔn)均勻節(jié)點(diǎn)向量為

該節(jié)點(diǎn)向量定義的k階k-1次B樣條基函數(shù)就是k-1次Bernstein基函數(shù)，準(zhǔn)均勻B樣條曲線(xiàn)退化為Bézier樣條曲線(xiàn)選取n=3，k=4，四個(gè)控制頂點(diǎn)為P0，P1，P2，P3，參數(shù)節(jié)點(diǎn)n+k+1=8個(gè)，設(shè)選取節(jié)點(diǎn)向量為(0，0，0，0，1，1，1，1)

00001111000011110000111100001111uiui+1ui+2ui+3ui+4ui+5ui+6ui+7ui+8ui+9Ni,4Ni+1,4Ni+2,4Ni+3,4Ni+4,4Ni+5,4PiPi+1Pi+2Pi+3Pi+4Pi+5K=4,N=5在[ui+3,ui+4]節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)，只受Pi,Pi+1,Pi+2,Pi+3,4個(gè)控制點(diǎn)的影響，不受Pi+4,Pi+5的影響，因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)的基函數(shù)Ni,4,Ni+1,Ni+2,Ni+3處于[ui+3,ui+4]節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)。因此當(dāng)改變Pi+4,Pi+5的位置，不會(huì)影響[ui+3,ui+4]節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)的曲線(xiàn)形狀。以此可以說(shuō)明B樣條曲線(xiàn)的局部支撐性。對(duì)此進(jìn)行擴(kuò)展，可以說(shuō)明[ui,ui+1]節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)，只受Pj,j=i-k+1…I,k個(gè)控制點(diǎn)的影響，此處k=3五、B樣條曲線(xiàn)的繪制（1）deBoor算法曲線(xiàn)至多與k個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)由j替換j+1只與第i-k+2至第i個(gè)節(jié)點(diǎn)有關(guān)只與第i-k+2至第i個(gè)節(jié)點(diǎn)有關(guān)21+-kiP2+-kiPiP]1[2+-kiP]1[3+-kiP]1[iP]2[3+-kiP]2[iP]3[4+-kiP]1[-kiP1+-kiP+-kiPiP]1[2+-kiP]1[3+-kiP]1[iP]2[3+-kiP]2[iP]3[4+-kiP]1[-kiP21+-kiP2+-kiPiP]1[2+-kiP]1[3+-kiP]1[iP]2[3+-kiP]2[iP]3[4+-kiP]1[-kiP1+-kiP+-kiPiP]1[2+-kiP]1[3+-kiP]1[iP]2[3+-kiP]2[iP]3[4+-kiP]1[-kiP21+-kiP2+-kiPiP]1[2+-kiP]1[3+-kiP]1[iP]2[3+-kiP]2[iP]3[4+-kiP]1[-kiP1+-kiP+-kiPiP]1[2+-kiP]1[3+-kiP]1[iP]2[3+-kiP]2[iP]3[4+-kiP]1[-kiPvoidbspline_to_points(PointCP[],intn,intk,doubleknot[],Pointpts[],intnpoints){ doubleu,delt; inti,j; //在每個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間，將參數(shù)t變化區(qū)間進(jìn)行npoints等分

delt=(knot[n+1]-knot[k-1])/(double)npoints; i=k-1; u=knot[k-1];//u=knot[i]; for(j=0;j<=npoints;j++){ while((i<n)&&(u>knot[i+1]))i++;//確定參數(shù)u所在的節(jié)點(diǎn)區(qū)間[ui,ui+1) //在每個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間，分別求出npoints個(gè)離散點(diǎn)pts的坐標(biāo)

pts[j]=deboor(CP,i,k,knot,u); u+=delt; }}//輸入?yún)?shù)CP為控制點(diǎn)坐標(biāo)//控制點(diǎn)CP的個(gè)數(shù)為n+1//輸入?yún)?shù)k為B樣條曲線(xiàn)的階數(shù)//輸入?yún)?shù)knot為B樣條曲線(xiàn)節(jié)點(diǎn)向量//節(jié)點(diǎn)向量kn