2025屆湖北省監(jiān)利一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆湖北省監(jiān)利一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．3．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的最大值為A．2 B． C． D．4．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當(dāng)直線AD與平面BCD所成角為時(shí)，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．中，點(diǎn)在邊上，平分，若，，，，則（）A． B． C． D．6．“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱，旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來(lái)，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年，我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是()A．這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進(jìn)口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降7．已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A．1 B．2 C．3 D．48．若點(diǎn)(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或9．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．72 B．64 C．48 D．3210．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對(duì)任意正整數(shù)，函數(shù)，若，則的取值范圍是_________；若不等式恒成立，則的最大值為_________．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點(diǎn)．若該三角形的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)a的值為_____．15．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，，的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為________.16．已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計(jì)情況如下表：同意不同意合計(jì)男生a5女生40d合計(jì)100（1）求a，d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查，記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）已知函數(shù)，,使得對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)根，且，求證：.19．（12分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無(wú)人休假，則調(diào)劑1人到該店維持營(yíng)業(yè)，否則該店就停業(yè).（1）求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率；（2）設(shè)營(yíng)業(yè)店鋪數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量．21．（12分）如圖，在中，，的角平分線與交于點(diǎn)，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面積.22．（10分）某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘）將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”．（1）請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：并通過計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會(huì)交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得，故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1．考點(diǎn)：程序框圖．2、C【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，，因?yàn)椋?，或，因?yàn)闀r(shí)，，或時(shí)，，，其圖象如下：當(dāng)時(shí)，至多一個(gè)整數(shù)根；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.3、C【解析】

設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設(shè)直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長(zhǎng)|AB|＝4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，判別式找到解決問題的突破口．4、A【解析】

設(shè)E為BD中點(diǎn)，連接AE、CE，過A作于點(diǎn)O，連接DO，得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到即為直線AC與平面ABD所成角，進(jìn)而求得其正弦值，得到結(jié)果.【詳解】設(shè)E為BD中點(diǎn)，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過A作于點(diǎn)O，連接DO，則平面，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，此時(shí)有平面，過C作與點(diǎn)F，又，所以，所以平面，從而角即為直線AC與平面ABD所成角，，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.5、B【解析】

由平分，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得，再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得，又，，，，..故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確；對(duì)B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對(duì)C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；對(duì)D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.8、D【解析】

由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)到直線的距離.9、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解?！驹斀狻坑深}意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。10、C【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性、極值，可得時(shí)，滿足題意，再在時(shí)，求解的x的范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則；，則，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為，∴時(shí)，的取值范圍為，∴又當(dāng)時(shí)，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.11、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，，，故函數(shù)是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤，為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，是奇函數(shù)，故正確．為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將代入求解即可；當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值；同理,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,由,得,而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,由,得,設(shè),,單調(diào)遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1)；(2)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.14、3【解析】

設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0），聯(lián)立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標(biāo)（0，1），∴B的坐標(biāo)為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當(dāng)且僅當(dāng)，即t時(shí)，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時(shí)，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.15、2【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺(tái)雙曲線的定義，求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo),結(jié)合已知列式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，連接，則，故四邊形為正方形，邊長(zhǎng)為圓的半徑，由，，得，與重合，，，即——①，——②聯(lián)立①②解得：，又因圓心的縱坐標(biāo)為，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.16、【解析】

由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，很明顯，且存在唯一的實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，即方程有6個(gè)根，也就是有6個(gè)根，即與有6個(gè)不同交點(diǎn)，注意到函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，繪制函數(shù)的圖像如圖所示，觀察可得：，即.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）,有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)；（2）詳見解析.【解析】

（1）根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）由題意可知X服從二項(xiàng)分布，利用公式計(jì)算概率及期望即可.【詳解】（1）因?yàn)?00人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為，即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為.由于總體容量很大，故X服從二項(xiàng)分布，即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】本題主要考查了相關(guān)性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)題意，在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)得，分類討論的單調(diào)性，結(jié)合題意，得出的解析式；（2）由為方程的兩個(gè)實(shí)根，得出，，兩式相減，分別算出和，利用換元法令和構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求出，即可證出結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意，對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立.則在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減.，當(dāng)時(shí)，由，有，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，綜上，，所以.（2）由為方程的兩個(gè)實(shí)根，得，兩式相減，可得，因此，令，由，得，則，構(gòu)造函數(shù).則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，可知，故，命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的解析式、以及利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想、解題分析能力和計(jì)算能力.19、（1）（2）見解析，【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)出事件，列出概率，運(yùn)用公式求解；（2）由題得，X的所有可能取值為，根據(jù)（1）和變量對(duì)應(yīng)的事件，可得變量對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列和期望值.【詳解】（1）記2家小店分別為A，B，A店有i人休假記為事件（，1，2），B店有i人，休假記為事件（，1，2），發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為P.則，，.所以.答：發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為.（2）依題意，X的所有可能取值為0，1，2.則，，.所以X的分布表為：X012P所以.【點(diǎn)睛】本題是一道考查概率和期望的?？碱}型.20、矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令解方程可得特征值，再由特征值