四川省合江縣馬街中學校2024-2025學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題

馬街中學高2023級高二（上）期中考試數(shù)學一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，故選：A.2.已知直線經(jīng)過點和點，則直線AB的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線上的兩點求直線的斜率，由斜率可得傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由題得直線的斜率為，因，所以.故選：D3.將10個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由題意，結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】，又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則，解得.故選：C4.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的定義，結(jié)合空間向量公式計算可求結(jié)果.【詳解】因為向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.5.已知某人收集一個樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70，方差為75，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中得兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90，在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)，方差計算公式可判斷各選項正誤.【詳解】設(shè)其他48個數(shù)據(jù)依次為，則，因為，因此平均數(shù)不變，即；又由方差計算公式可知：，，注意到，則.故選：C.6.已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法錯誤的是（）A.若與相互獨立，則B.若與互斥，則C.若，則事件與相互獨立D.若發(fā)生時一定發(fā)生，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和相互獨立事件的概率公式逐項判斷.【詳解】對于A，若A與B相互獨立，則，所以，故A正確；對于B，若A與B互斥，則，故B錯誤；對于C，因為，則，因為，所以事件A與相互獨立，故C正確；對于D，若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則，則，故D正確．故選：B.7.在我國古代，將四個角都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．在“鱉臑”中，平面，且，若該四面體的體積為，則該四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意計算分析該幾何體可以擴充為長方體，所以只用求長方體的外接球即可.【詳解】因為平面，且，，而,所以，所以該幾何體可以擴充為正方體方體，所以只用求正方體的外接球即可.設(shè)外接球的半徑為R，則,所以外接球的表面積為故選：B【點睛】多面體的外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：(1)公式法；(2)多面體幾何性質(zhì)法；(3)補形法；(4)尋求軸截面圓半徑法；(5)確定球心位置法．8.平行六面體底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得，進而結(jié)合數(shù)量積運算求模長.【詳解】由題意可知：，則，所以.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數(shù)據(jù)指標．如圖是某專業(yè)機構(gòu)統(tǒng)計的2022年112月中國校車銷量走勢圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高B.112月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)小于環(huán)比增長率的平均數(shù)C.112月校車銷量的環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差D.112月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差【答案】BCD【解析】【分析】由統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)對選項逐一判斷可得答案.【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故A錯誤；由校車銷量走勢圖知112月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)為負數(shù)，環(huán)比增長率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；112月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差，故C正確；由校車銷量走勢圖知112月校車銷量的環(huán)比增長率的波動大于同比增長率的，所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差，故D正確．故選：BCD.10.給出下列命題，其中正確的是（）A.若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B.在空間直角坐標系中，點關(guān)于坐標平面yOz的對稱點是C.若空間四個點P，A，B，C滿足，則A，B，C三點共線D.平面的一個法向量為，平面的一個法向量為.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三個向量是否共面判斷A，由點關(guān)于坐標面的對稱判斷B，由向量的運算確定三點共線可判斷C，根據(jù)向量共線求參數(shù)可判斷D?！驹斀狻繉τ贏,不共面，則不共面，所以也是空間的一個基底，故正確；對于B,點關(guān)于坐標平面yOz的對稱點是，故錯誤；對于C，由可得，即,所以A，B，C三點共線，故正確；對于D，由平面平行可得，所以，解得，故正確.故選：ACD11.如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，動點在正方體表面運動，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在中點時，平面平面B.異面直線所成角的余弦值為C.不在同一個球面上D.若，則點軌跡長度為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正方體圖像特征證明面，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)異面直線所成的角判斷B錯誤；根據(jù)五點共圓得到C；分析可知點軌跡是過點與平行的線段，根據(jù)軌跡求出長度得到D.【詳解】對于選項A：取的中點，連接，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，易知平面在面內(nèi)，所以面面，所以面面，所以，連接是正方形，，因為面面，所以，因為面面，所以面，因面，所以，綜上，面面，又，所以面面，故平面平面，故A正確；對于選項B：取的中點，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯誤；對于選項C：記正方體的中心為點，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C不正確；對于選項D：因為，且為的中點，所以，故，所以點軌跡是過點與平行的線段，且，所以，故D正確.故選：AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則__________.【答案】4【解析】【分析】先表示出的坐標，然后根據(jù)垂直對應(yīng)的坐標關(guān)系求解出的值.【詳解】因為，且，所以，解得，故答案為：.13.省農(nóng)科站要檢測某品牌種子的發(fā)芽率，計劃采用隨機數(shù)表法從該品牌800粒種子中抽取60粒進行檢測，現(xiàn)將這800粒種子編號如下001，002，…，800，若從隨機數(shù)表第8行第7列的數(shù)7開始向右讀，則所抽取的第4粒種子的編號是__________.（如下是隨機數(shù)表第8行至第9行）630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551013429966027954【答案】507【解析】【分析】根據(jù)隨機數(shù)表法讀取數(shù)據(jù)即可.【詳解】由題意，依次讀取的種子的編號為：785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507.故所抽取的第4粒種子的編號為507.故答案為：50714.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若角C的內(nèi)角平分線，則的最小值為______．【答案】8【解析】【分析】先根據(jù)，結(jié)合余弦定理求角C，再根據(jù)，再結(jié)合面積公式和基本不等式求出的最小值，再根據(jù)數(shù)量積定義求.【詳解】因，所以，而角為三角形內(nèi)角，所以，由，，所以，化簡得到，所以，則，當且僅當時，等號成立，所以，所以的最小值為8.故答案為：8.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的頂點坐標為是邊上的高.（1）求邊上的中線所在直線的方程；（2）求高所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用中點坐標公式及直線的截距式方程即可求解；（2）由兩垂直直線的斜率關(guān)系及直線的點斜式方程即可求解.【小問1詳解】AB的中點坐標0,1，又，所以邊上的中線所在直線的方程為：，即.【小問2詳解】因為是邊上的高，所以，所以，所以，因此高所在直線的方程為：，即.16.滬州堯壩古鎮(zhèn)位于四川省滬州市合江縣堯壩鎮(zhèn)，是川南醉美古鎮(zhèn)之一，歷史悠久，有“茶鹽古道”之稱.古鎮(zhèn)保存完好，有進士牌坊?大鴻米店?東岳廟?王朝聞故居?周公館等古建筑群，形態(tài)自然，獨具特色.為更好地提升旅游品質(zhì)，隨機選擇名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分分），根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計這名游客對景區(qū)滿意度評分的平均值；（2）若采用按比例分層抽樣的方法從評分在，的兩組中共抽取人，再從這人中隨機抽取人進行個別交流，求選取的人評分分別在和內(nèi)各人的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為可求得，根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法直接求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣原則可求得每組抽取的人數(shù)，采用列舉法可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，平均值為.【小問2詳解】評分在和80,90的頻率之比為，應(yīng)從評分在的組中抽取人，記作：；評分在80,90的組中抽取人，記作：；從人中隨機抽取人，則有，，，，，，，，，，，，，，，共個基本事件；其中滿足評分分別在和80,90內(nèi)各人的基本事件有：，，，，，，，，共個基本事件；評分分別在和80,90內(nèi)各人的概率.17.如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，為棱的中點，（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線線平行得到線面平行即可證明；（2）建立空間直角坐標系后，寫出點坐標，得到空間向量，求出平面法向量，由向量夾角余弦值求出線面角的正弦值.【小問1詳解】連接，再連接，因為底面是正方形，所以是的中點，又為棱的中點，所以，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，底面正方形，即，故以點為原點，以向量為軸的方向向量，建立空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，故n=1,?1,1，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；18.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為.（1）求證：平面；（2）若點為棱的中點，求點到平面的距離；（3）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成的角為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得；根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可得，結(jié)合菱形對角線互相垂直和線面垂直判定定理可證得結(jié)論；（2）方法一：以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據(jù)點面距離的向量求法可求得結(jié)果；方法二：取的中點，作，，根據(jù)平行關(guān)系可將所求距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，由平面，結(jié)合長度關(guān)系可求得結(jié)果；（3）方法一：設(shè)，根據(jù)面面角的向量求法可構(gòu)造方程求得的值，進而得到結(jié)論；方法二：假設(shè)存在點，根據(jù)二面角平面角的定義可知，由長度關(guān)系可求得結(jié)果.【小問1詳解】連接，，為等邊三角形，為中點，；由題意知：平面，又平面，，，平面，平面，平面，；四邊形為平行四邊形，，四邊形為菱形，，分別為中點，，，又，平面，平面.【小問2詳解】方法一：由（1）知：平面，；則以為坐標原點，正方向為軸正方向，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，令，解得：，，，點到平面的距離；方法二：取的中點，連接，過作交于，過作分別交的延長線于，則分別是的中點，，平面，平面，平面，點到平面的距離等于點到平面的距離；由（1）得：，平面，平面，是直角三角形，在菱形中，易得，，，，，即點到平面的距離為.【小問3詳解】方法一：，，，設(shè)，，，；由（2）知：平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量n=a,b,c則，令，解得：，，；，解得：（舍）或，此時，在棱上存在點，使得平面與平面所成的角為，此時；方法二：假設(shè)存在點滿足題意，取的中點，連接，過作交于，連接，，平面，又由（1）得：，，二面角的平面角為，；在菱形中，作，，，，為直角三角形，，，在棱上存在點，使得平面與平面所成的角為，此時.19.在空間直角坐標系中，定義：過點，且方向向量為的直線的點方向式方程為；過點，且法向量為的平面的點法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．（1）求經(jīng)過的直線的點方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，證明：；（3）已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大?。敬鸢浮浚?）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求直線的方向向量，結(jié)合題意即可得直線方程；（2）根據(jù)題意可得平面、、的法向量，進而可求交線的方向