2025屆江門市高三數(shù)學上學期10月調(diào)研測試卷（附答案解析）

2025屆江門市高三數(shù)學上學期10月調(diào)研測試卷

試卷滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上，

2.做選擇題時，必須用2B鉛筆將答題卷上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選

涂其它答案標號.

3.答非選擇題時，必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將答案寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.

5.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1已知集合/={xeN0<x2<9j,8={xeN0J<l°},則一八（）

A.{X|0<X<9}B.{1,2,3}c.{X|0<X<3}D,{0,1,2,3}

2.設(shè)%〃eR,則“（加+1）3=/"是“2加<2"”的（）

A充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

3.下列命題為真命題的是（）

a+C

A.若a>6>c>0,貝B.若。>力>0,c<0,則

bb+cab

C.a>b>0則ac2>be1D.若a>b,則a>"十">b

f2

e+e<2,

4.已知函數(shù)/（x）=<x則/(ln27)=(

,x>2,

810728730

A.B.—C.—D.

3327~27~

以兀為周期，且在區(qū)間m，兀上單調(diào)遞增的是（

5.下列函數(shù)中,

A.y=sin|x|B,y=cos|x|c.y=|tanx|D.y=|cosx|

6.在正方形48CD中，亞=麗，/=2麗,4F與。E交于點M,貝■]cosNEME=()

.V2R￡rV2nX

551010

7.金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存.己知金

針菇失去的新鮮度〃與其來摘后時間/(天)滿足的函數(shù)解析式為力=加拈(/+。)(。>0).若采摘后1天，

金針菇失去的新鮮度為40%；若采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為

60%,則采摘后的天數(shù)為()(結(jié)果保留一位小數(shù)，出土1.41)

A.1.5B,1.8C.2.0D.2.1

8.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{/J滿足q=1，4=2，-anan_2>an_{an_2(??>3,?eN+),則下

列結(jié)論中一定正確的是()

A.%>124B,a20>1024C,tz8<124D,tz20<1204

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若函數(shù)/(x)=x(x—c)2在》=1處取得極大值，貝|()

A.c=1f或c=3

B.切(x+l)<0的解集為(-1,0)

C當0<x<]時，f(cosx)>/(cos2x)

D./(2+x)+/(2-x)=4

10.在V48c中，AB=\,AC=4,8C=,點。在邊8C上，4D為/氏4c的角平分線，點E

為NC中點，貝ij()

A.VZ8C的面積為百B.BA-CA=2y/3

c.BE=6D.AD=^Y-

11.已知<(x)=sin2"x+cos2"x(〃eN+),則()

A.八(x)的最小正周期為:

2

B.力（x）的圖象關(guān)于點—+―eZ）對稱

C.4（x）的圖象關(guān)于直線X=5對稱

D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/（x）=x1nx的單調(diào)遞減區(qū)間為—

13.已知函數(shù)/⑴是定義在R上的偶函數(shù)，當xNO時，/（x）=sinx（l+cosx）,則當x<0時,

/(x)=

..4b+8

14.已知a〉0,bw0,且a+同=4,則,+碼的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知角0的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P（4,-3）.

（1）求sin2。的值;

（2）若角廳滿足sin（（z+〃）=m，求cos"的值.

16.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且3s“=4"M—4（〃eN+）.

（1）證明：數(shù)列｛10g24｝為等差數(shù)列;

1111100

（2）記數(shù)列｛log2%｝的前〃項和為北，+~+—+r,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

’1'2‘3LiI。I

17.已知VZ8C的三個內(nèi)角4民。所對的邊分別為見“c,且a=4,c=36,記VZ8C的面積為S,內(nèi)

切圓半徑為廠，外接圓半徑為R.

若6=、/份，求siiL4；

記夕=g(a+b+c),證明:S

(2)r=——

P

(3)求rH的取值范圍:

18設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=l--(x〉0).

,X

3

(1)求/(X)在X=1處的切線方程；

(2)證明：/(x)>g(x)：

(3)若方程4(x)=g(x)有兩個實根，求實數(shù)。的取值范圍，

19.如果定義域為[0』的函數(shù)/(x)同時滿足以下三個條件：(1)對任意的xe[0』，總有/(x)20；

(2)=(3)當國之0,%2之0,且X[+々<1時，/(』+%2)?/(』)+/(工2)恒成立?則稱/(X)

為“友誼函數(shù)”.請解答下列問題：

(1)已知/(X)為“友誼函數(shù)”，求/(O)的值；

(2)判斷函數(shù)g(x)=3=x-是否為“友誼函數(shù)”？并說明理由；

(3)已知/(x)為“友誼函數(shù)”，存在％使得/(Xo)e[O/]，且/(/(%))=%,證明：

fM=x0.

江門市2025屆普通高中高三調(diào)研測試

數(shù)學

本試卷共5頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知集合八小N0<x*9}，八{xeN°<x<l°},則小八()

A.{X|0<X<9}B.{1,2,3}c.{X|0<X<3}D.{0,1,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意求集合48,集合交集運算求解.

【詳解】由題意可得：^={xeN|0<x2<9}={0,l,2,3},

5={xeN|0<x<10}={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

所以/cB={01,2,3}.

4

故選：D.

2.設(shè)私〃eR,則“（加+1）3=/"是，2，"<2"”的（）

A,充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分、必要條件的判定方法進行判斷.

【詳解】由（加+1）3=〃3n加+i=〃=>2"=2",

又2“<2"陽，所以2'"<2"，故"（加+廳=/”是“2加<2"”的充分條件；

又若2"'〈2"，如m=0,〃=2,此時（加+1）3="3不成立，

所以“（加+1）3=/"是“2m<2"”的不必要條件.

綜上："（m+1）3=〃3”是“2m<2"”的充分不必要條件.

故選：A

3.下列命題為真命題的是（）

na+ccc

A.若Q〉6>C>0,則一<----B.若a>人>0,c<0,則一<一

bb+cab

C.a>b>0,則ac2>be2D.若a>6,則a>"十">b

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)作差法比較大小或取特殊值判斷，即可得出結(jié)果.

…,aa+ca(b+c)-b(a+c)

【詳解】對于A,---

因為Q>6〉C〉0,所以a-Z?>0](b+c)>0,

aa+cc(a-b)

所以1一溫r"〉°'即AEf'故A錯誤;

對于B,因為?！捣?gt;0,所以一<—，

ab

5

又c<0,所以一〉一，故B錯誤;

ab

對于C,當c=0時，ac2=bc2=0i故C錯誤;

對于D,若a>6,貝！12a〉a+仇a+b〉2Z?,

所以故D正確.

2

故選：D.

ex+e-x,x<2,

4.已知函數(shù)/（x）=<則/(ln27)=)

戶>2,

810728730

A.-B.—C.---D.---

332727

【答案】B

【解析】

【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得答案.

【詳解】因為1=出6<1!13<11162=2

e八%+Ie八一X</2c

所以In27=ln33=31n3〉3,又因為/(x)=<

,x>2

ln2731n31i

]n3}n3c110

所以/(ln27)=/-=f(\n3)=c+e-=3+c=3+-=—

"IF33

故選：B.

5.下列函數(shù)中，以兀為周期，且在區(qū)間'，兀上單調(diào)遞增的是（

A.y=sin|x|B.y=cos|x|c.y=|tanx|D.y=|cosx|

【答案】D

【解析】

【分析】先判斷各函數(shù)的最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可選擇判斷.

兀=1,sin-包

【詳解】對于A：由sin-不=-1,可知兀不是其周期，（也可說明其不是周期函數(shù)）故

22

錯誤;

6

..(cosx,x>0cosx,x>0

對于B：y=cosx=<.=COSX,其最小正周期為2兀，故錯誤;

11cos-x,x<0COSX,X<0

對于C：^=g1詞滿足忖11(》+乃)|=恤11$,以兀為周期,

當兀時，y=|tanx|=-tanx,由正切函數(shù)的單調(diào)性可知y=|tanx|=-tanx在區(qū)間［1■,7l)上單

調(diào)遞減，故錯誤;

對于D,y=|cosx|滿足k°s(x+n)|=|cosx|,以兀為周期,

當?，兀J時，J=|cosx|=-cosx,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，N=-cosx在區(qū)間［■|,兀)上單調(diào)遞

增，故正確；

故選:D

6.在正方形48CD中，石=麗，元=2礪與￡>E交于點M,貝!1cos/EME=()

V21V21

A.—B.-C.—D.—

551010

【答案】C

【解析】

【分析】建立平面直角坐標系，利用向量的坐標計算夾角的余弦值即可.

建立平面直角坐標系，設(shè)正方形ABCD的棱長為2,

因為近=麗，正=2麗，

則￡(0,1),4(0,2),0(2,2),尸［刀］，

所以赤=(：,—2),DE=(-2,-l),

7

所以cos/EMF=|cosAF,nE|=—~■圓=—.

故選：C

7.金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存.已知金

針菇失去的新鮮度〃與其來摘后時間/(天)滿足的函數(shù)解析式為力=加拈?+。)(。>0).若采摘后1天，

金針菇失去的新鮮度為40%；若采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為

60%,則采摘后的天數(shù)為()(結(jié)果保留一位小數(shù)，后土1.41)

A.1.5B,1.8C.2.0D,2.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件得到兩個等式，兩個等式相除求出。的值，再根據(jù)兩個等式相除可求得結(jié)果.

mln(l+o)=0.4ln(3+a)

【詳解】由題可得〈,1；八。，兩式相除可得上一7=2,

7〃ln(3+a)=0.8ln(l+a)

則ln(3+a)=21n(l+a),3+a=(l+a『，

'''(2>0,解得<2=1,

設(shè)f天后金針菇失去的新鮮度為60%,

則7〃ln(7+1)=0.6,又加/〃(1+1)=0.4,

=g,21n(r+l)=3ta2,(r+1)2=23=8,7+1=2^=2x1.41=2.82，

則1=2.82-1=1.82。1.8,

故選：B.

8.已知各項都為正數(shù)的數(shù)歹!]{??}滿足%=1,%=2,一。3-%4_2>?！耙粏嵋?"23,〃eN+),則下

列結(jié)論中一定正確的是()

A.4Z8>124B,a2Q>1024

C.tz8<124D,a2Q<1204

【答案】B

8

【解析】

【分析】由片一。3~anan-2>》3,〃eN+)得(%+??_1)[??-(??_1+??_,)]>0,由題意,

an>a,—+an_2，根據(jù)遞推公式可驗證B,通過對a3賦值，可驗證ACD.

【詳解】由一N),

—anan_2>(?>3,ne+

得(4+a?.i)-(4.i+%.2)]>°,

因為數(shù)列｛冊｝各項都為正數(shù)，

所以％+??-1>0,故%—(%T+。"_2)>°，即％>an-l+an-2，

所以生〉。2+%=2+1=3,

對于A,設(shè)q=4,則。4，%+2=4+2=6,

設(shè)為=7,貝!J%>%+%=7+4=11,

設(shè)牝=12,則。6〉。5+。4=12+7=19,

設(shè)七二20,則%>。6+%=20+12=32,

設(shè)的=33,貝！j6>%+。6=33+20=53,

則%可以為54<124,故A錯誤；

對于B,。4〉。3+。2>3+2>5,(25>tz4+tz3>5+3>8,

tz6>?5+^4>8+5>13,a7>a6+a5>13+8>21,

as>a7+a6>21+13>34,a9>a^+a1>34+21>55,

qo>。9+%>55+34〉89,an>tz10+%>89+55>144,

an>au+。]0>144+89>233,ai3>an+an>233+144>377,

。14>%3+《2〉377+233>610,aX5>。恭+au>610+377>987,

>a

。16\5+q4>987+610>1597,a*>ai6+tz15>1597+987>2584,

48>a、7+q6>2584+1597>4181,ai9>tz18+a*>4181+2584>6765,

。2?！礱i9+48>6765+4184>10946>1024,故B正確;

9

對于C,若用=124,由于a“>a〃T+4_2，則。8〉124,故C錯誤；

對于D,若生=1024,由于4>4T+。“_2，則。20〉1。24,故D錯誤；

故選：B

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若函數(shù)/(x)=x(x—4在》=1處取得極大值，則()

A.c=1,或c=3

B.切(x+l)<0的解集為(TO)

C,當0<尤■時，/(cosx)>/(cos2x^

D./(2+x)+/(2-x)=4

【答案】BCD

【解析】

【分析】A選項，由題可得/'(1)=0,據(jù)此得c的可能值，驗證后可判斷選項正誤；B選項，由A分析,

可得獷'(x+1)表達式，解相應不等式可判斷選項正誤；C選項，由A分析結(jié)合cosx,cos?》大小關(guān)系

可判斷選項正誤；D選項，由A分析，驗證等式是否成立可判斷選項正誤.

【詳解】A選項，由題/(力=爐-2cx，+c?x,則/'(x)=3--4cx+。2,

因在x=l處取得極大值，則/4c+3=0nc=l或c=3.

當c=］時，/'(X)=3/—4x+l,令/'(x)〉0nxeu(l,+o?)；/'(x)<0=>xe.

則/(x)在8，3，(1，+力)上單調(diào)遞增，在［J上單調(diào)遞減，則/(x)在x=l處取得極小值，不合

題意；

當c=3時，/r(x)=3x2-12x+9,令/'(x)>0nx￡(-8,l)u(3,+8)；/'(%)<0nx6(l,3).

則/(x)在(-8，l)，(3,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，則/(X)在X=1處取得極大值，滿足題

~Vr.

忌；

則。=3,故A錯誤;

10

B選項，由A可知，f(x)=x(x-3)2,則獷(x+1)=x(x+l)(x-2)2<0nx(x+l)<0n%￡(-1,0).

故B正確；

C選項，當0<x<],貝U,貝Ucos?%<cosx，由A分析，/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，

則/(cosx)〉/(cos2x),故C正確；

D選項，令x+2=m,2-x=n,由A可知，f(x)=x3-6x2+9x.

則/(x+2)+/(2—x)=/(加)+/(〃)

=m3-6m2+9m+n3-6n2+9n=(加+〃)(療-mn+n2^-6^m2+“2)+9(加+〃),

又加+〃=4,則/(加)+/(〃)=一4加〃一2(加？+〃2)+36=36一2(加+〃)~=4,故D正確.

故選：BCD

10.在V45C中，48=1,AC=4,8C=而，點。在邊3C上，4D為NR4C的角平分線，點E

為ZC中點，貝！I()

A.VZ8C的面積為6B.BA-CA=2s/3

D"考

C.BE=43

【答案】ACD

【解析】

7T

【分析】根據(jù)余弦定理可得=進而可得面積判斷A,再結(jié)合向量的線性運算及向量數(shù)量積可判斷

BC,根據(jù)三角形面積及角分線的性質(zhì)可判斷D.

A

【詳解】

如圖所示,

AB?+AC?-BC?1+16-131

由余弦定理可知cosZBAC=

2AB-AC2x1x42

而N5/C為三角形內(nèi)角，故N3/C=W，sinZBAC=—

32

11

所以V45c面積S=！48?/C?sinNA4C=Lxlx4><Y^=J^，A選項正確；

222

A4-G4=A8-l4C=|25|-|l4C|-cosZ^C=lx4x1=2,B選項錯誤；

由點E為ZC中點，則礪=存一次=!就一在，

2

22

所以礪2=1gk_在]=^^C+A5-2g-^C=4+l-2=3)貝”屜|=6,C選項正確;

TT

由40為/A4c的角平分線，則/B4D=/C4D=一,

6

所以S=6山/5/。+/C/Q?11/04。，

2

即百=，><1XL/Q+LX4XLZD=*ZD,則力。=拽，D選項正確；

222245

故選：ACD.

11.已知￡,(x)=sin2nx+cos2"x(〃eN+),則()

A.人(x)的最小正周期為1

B.力卜)的圖象關(guān)于點9,0\[keZ)對稱

\2o

C.<(X)的圖象關(guān)于直線工='對稱

D-，〈工(x)〈l

【答案】ACD

【解析】

【分析】用函數(shù)對稱性的定義及函數(shù)周期性的定義可判斷ABC選項的正誤；利用導數(shù)法可判斷D選項的

正誤.

【詳解1人(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2-2sin2xcos2x=1-^sin22x

1II-cos4x3+cos4x

—I----x-------------------------

224f

2.7171

所以/(X)的最小正周期為T=—=—,故A正確；

42

令4x=]+E，可得x=1+g#eZ,所以力卜)的圖象關(guān)于點+keZ)對稱，故B錯誤;

12

對于c：

/(乃一x)=[sin("一x)T"+[cos(〃-=(sinx「+(-cosx「=sin2,!x+cos2"x=/(x),

所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=]對稱，c對；

對于D：,因為

(cosx)2，，+(-sinxf=sin2flx+cos2nx=/(x),

所以，函數(shù)/(X)為周期函數(shù)，且T是函數(shù)/(X)的一個周期,

只需求出函數(shù)/(x)在0,|上的值域，即為函數(shù)/(x)在R上的值域,

f(x)=sin2nx+cos2nx,則

/r(x)=2nsin2"2"1xcosx-2ncos2w_1xsinx=2nsinxcosx(sin2M_2x-cos2w-2x

71716

當工￡時，0<cosx<—<sinx<1，

Z'52

因為〃22且左￡N*，則2〃—222,故5出2〃一2%>352〃一2%，此時/G)>0,

所以，函數(shù)/(x)在p|上單調(diào)遞增,

當時,0<sinx<—<cosx<l>

2

因為左且左eN*，則2〃—222,故si/i》<cos?"-?》，此時/&)<o,

所以，函數(shù)/(x)在Of上單調(diào)遞減，

所以，當xe0,-時,/⑺—=/(：)=(；)x2=g),

又因為/(0)=/［卜，則/(—，

因此，函數(shù)/(X)的值域為,1,D對.

故選：ACD

13

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/(x)=x」nx的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】##(0,e-']

【解析】

【分析】利用導數(shù)求得/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】函數(shù)的定義域為(0,+動，?.?/'(x)=lnx+l,

令lnx+140得

e

，函數(shù)/(x)=x」nx的單調(diào)遞減區(qū)間是1o,：.

故答案為：[o。

13.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x?O時，/(x)=sinx(l+cosx),則當x<0時,

/3=-

【答案】-sinx(l+cosx)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與三角函數(shù)的奇偶性求解即可.

【詳解】因為當x2O時，/(x)=sinx(l+cosx),

所以當x<0時，貝所以/(-x)=sin(—x)[l+cos(-x)]=-sinx(l+cosx),

又函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(x)=/(—x)=-sinx(l+cosx).

故答案為：-sinx(l+cosx).

,,46+8

14.已知a〉O,bwO,且a+網(wǎng)=4,則[+下「的最小值為.

【答案】2+2V2.

【解析】

14

4b+848b48

【分析】先將所求式子化簡一+力1=—+而+而，再根據(jù)基本不等式得到一+方的最小值，則可判

a\b\a\b\\b\a|o|

斷當b<0,求得最小值.

4b+848b

【詳解】根據(jù)題意：

若/?〉o,則，=1,若6〉o,則5=一1‘

因為則為|>0,

+卸=3+?酢3+2(^=3+2"

網(wǎng)2a

當且僅當"即a=4（、匯—1）,例=4（2—/）時取等號;

4b+848,「「

則當Z?<0時，］+下「=/+同一1的最小值是3+2&—1=2+2返，

當且僅當a=4（正-1）,6=4（72-2）時取等號.

故答案為：2+2后.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知角。的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P（4,-3）.

（1）求sin2a的值；

（2）若角廳滿足sin（（z+〃）=m，求cos"的值.

24

【答案】（1）--

25

、33-63

（2）——或----

6565

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，求三角函數(shù)值，再根據(jù)二倍角公式，即可求解；

（2）利用角的變換cos￡=cos［（a+，）-a］,再結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求解.

【小問1詳解】

由題意可知，P（4,-3）,則r=5,

15

則sina=——，cosa=—,

55

24

sm2(z=2sintzcosfz=-----；

25

【小問2詳解】

sin(cr+,所以cos(a+y3)=±—,

、)13\)13

所以cos尸=cos[(a+=cos(a+/?)cos(z+sin((z+Q)sin(z,

當cos(a+,所以cos夕=

、)1313513I5)65

,/°、12▼12、45/3、63

當cos（a+0=一百，所以cos夕+=>

綜上可知，cos/3的值為—或----

6565

16.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",且3S“=4"+-4（〃eN+）.

（1）證明：數(shù)列｛10g2%｝為等差數(shù)列；

1111100

（2）記數(shù)列｛log2%｝的前〃項和為北，^―+—+-7+--+-7<—,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

12131n1U1

【答案】（1）證明見解析

⑵99

【解析】

【分析】（1）利用退一相減法可得%及10g24，即可得證；

/\11

(2)根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得(=〃(〃+1),則7=—,利用裂項相消法可得

1n

1111,1

=1———,解不等式即可.

T[T2T3T”n+1

【小問1詳解】

由已知3S"=4"i—4,

當”=1時，3。]=3S]=4?-4=12,即％=4；

當〃22時，3s4,

16

貝!J3V3Sn-3s=4"i—4—平+4=3?4〃，即4=4〃，

又〃=1時，4=4滿足=4〃，

所以%=4"=22",

設(shè)4=log2%=log22"'=2〃，2=2(〃+。-2〃=2,

即數(shù)列｛"｝為等差數(shù)列，即數(shù)列｛log24｝為以2為首項2為公差的等差數(shù)列;

【小問2詳解】

由等差數(shù)列可知T==(2+”=〃6+0,

1111

則F=(口\=77，

lnnn+1

1111+j__1

所以一+—+—+…+—=1」+」+=1-3

北T2T,Tn223nn+1

100

即1-------<-----MeN,

n+1101+

解得〃<100,

即滿足條件的最大整數(shù)〃=99.

17.已知V/8C的三個內(nèi)角48,C所對的邊分別為見“c,且a=4,c=36,記VZ8C的面積為S,內(nèi)

切圓半徑為廠，外接圓半徑為R.

(1)若6=收，求siM；

(2)記0=g(a+b+c),證明：r=—.

(3)求7吠的取值范圍：

【答案】(1)其1

3

(2)證明見解析(3)2J

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求得COS/,進而求得sin”.

17

(2)根據(jù)三角形的面積公式證得結(jié)論成立.

(3)用6表示此，然后利用導數(shù)求得質(zhì)的取值范圍.

【小問1詳解】

Q=4,6=y/2，c=3A/2，

b2+c2-a22+18—161

由余弦定理,得cos/=

2bc2xV2X3A/23

0<Z<兀，sinA=A/1-COS2^=

3

【小問2詳解】

?：NABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,

八

???So=-1Qxr+—1/?x〃+—1cxr=—1/a+b,+cA)r,

2222V7

1S

又p——(a+Z7+c),,*?S—pr,:?丫=.

2P

【小問3詳解】

an42

由正弦定理得---=2R,得R=——-=—~~-

sinA2sinZ2sinAsinA

因為tz=4,c=3b,

由(2)得5=°卜=；廠(4+6+36)=(2+26)r，

13b之

又因為S=—bcsinZ=xsinA,

22

.3bsinA3b

所CC以Hr=-----------,所以Rny=-x------

4(1+6)21+b

伍+3b>4

由＜,，”，解得1<6<2,

b+4>3b

令f(b)=W—Q<b<2),伍)=3半+"〉0,

2(1+6)2(1+6)

3

則/3)在(1,2)上單調(diào)遞增，所以

4

故用的取值范圍為

18

18.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=l——(x>0).

x

(1)求/(X)在X=1處的切線方程；

(2)證明：/(x)>g(x)：

(3)若方程4(x)=g(x)有兩個實根，求實數(shù)。的取值范圍，

【答案】(1)x-v-l=0

(2)證明見解析(3)(0,1)。(1,+8)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)切點和斜率求得切線方程.

(2)利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)證得不等式成立.

(3)利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)以及對。進行分類討論來求得。的取值范圍.

【小問1詳解】

=則左=/'(l)=l,/(l)=0.

.../(%)在工=1處的切線方程為^='—1,即X—V—1=0.

【小問2詳解】

令h(x)=/(%)-g(x)=InxH----€(0,+勿)

/(x)」—4=工

XXX

X—1

令〃(x)=T=0,解得x=l.

X

..0<x<1,hf(x)<0；x>1,h\x)>0.

%(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

%(%)>〃⑴=0,即/(x)>g(x).

【小問3詳解】

令加(x)=/(x)-g(x)=(21nx+--l,xe(0,+。),

Jx

問題轉(zhuǎn)化為冽(幻在(0,+8)上有兩個零點.

，/、a1ax-\

加(x)=----彳=——

XXX

19

①當時,

m(x)<0,加(x)在(O,+cQ)遞減，加(%)至多只有一個零點，不符合要求.

②當。>0時，

令加(x)=0,解得x=1

a

當0<x<，時，m(x)<0,加(%)遞減；

a

當時，m(x)>0,冽(x)遞增.

a

所以加(x)>加=—+Q—l=a—alna-l.

\a)a

當a=l時，mpJ=m(l)=0,m(x)只有一個零點，不合題意.

令夕(a)=a-alna-l，9'(a)=-lna,

當0<a<l時，(p'{ci)=-taa>0,

所以。⑷