2025屆四川省瀘州市瀘縣某中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)第一次診斷性考試（高考一模）數(shù)學(xué)試題【含解析】

數(shù)學(xué)試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁，第II卷3至4

頁.共150分.考試時(shí)間120分鐘.

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1,已知全集。=R,集合八{(lán)刈7〈I8={巾<1或x"},則山（川（）

A.{x11<x<2}B,{x|0<x<4}

C.{x|l<x<2}D,{x|0<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)并集、補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.

【詳解】由8={x|x<1或x24}得。8={x11Vx<4},

所以ZU（C5）={x[0<x<4}.

故選：B.

2.命題“Hxe（―oo,l）,J+2x—1<0"的否定是（）

3-GO3

A.3xe[1,+oo],x+2x-1^0B.e（,1）>x+2x-1^0

33

C.Vxe[l,+co],x+2x-1^0D.Vxe（-co,l）,x+2x-1^0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.

【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：

命題“土/+2》_1<0，，的否定是“\/》《（一8,1）,/+2X—接0”.

故選：D.

sm1

-----------二44

3.已知.(兀)，貝！Jtana=()

273

A.-273B.-V3C.

亍

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦展開式和三角函數(shù)化簡求值得出.

tana

所以J31

------tana

22

所以tana=2^3-2tan(7，

解得tana=-----

3

故選：D

4.已知tan￡=2&，則cos26?=()

8877

ABD

-9-9-9-9-

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角公式，結(jié)合正余弦齊次式法計(jì)算即得.

,JA-,/-czi2八.2ccos0—sin01—tan?07

R【詳解】由tan9=2j2，得cos28=cos-9—sm~8=----------；—=-----?—=—

cos2+sin21+tan2^9

故選：C

5.將函數(shù)/(x)=cos3x的圖象向右平移四個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱軸方

6

程是()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判定.

兀

【詳解】由題意得g（x）=cos3x=cos3x——=sin3x

I2

顯然由3x=]+E（左€2）=>%=崇+個(gè)（左?2）,

TT

當(dāng)左=1時(shí)，X=:是其一條對(duì)稱軸，而B、C、D三項(xiàng)，均不存在整數(shù)上滿足題意.

故選：A

6.｛%｝為等差數(shù)列，若知+。10<0,q+49〉0，那么S,取得最小正值時(shí)，〃的值（）

A.11B.17C.19D.21

【答案】C

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得力?！?,%i<0,從而得d<0,由s“=〃（%；%）,結(jié)合條件得到

519>0,520<0,即可求解.

【詳解】因?yàn)?+%0<0,4+%9=2%（）>0,所以A。,對(duì)<0,故等差數(shù)列｛4“｝的公差d<0,

又,又Q”+%0=%+。20<0,%+%9=2%0>°，

得至U$20=20（4+"20）<0,519=19（1+陽）>0,

22

所以S“取得最小正值時(shí)，，的值為19,

故選：C.

7.如圖，在正方形4BCD中，￡為8c的中點(diǎn)，P是以4B為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)

就=工石+y春（%,了?11）,則2%+了的最小值為（）

B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(X。,外),利用坐標(biāo)法將x,y用p點(diǎn)坐標(biāo)表示，即可求出2x+y的最

小值.

以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B所在直線為X軸，所在直線為N軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)45=2,P(x0,y0),則4(0,0),。(0,2),E(2,l),半圓的方程為(x—+凡=132。),

所以ZE=(2,1),AD=(0,2),AP=(x0,j^0),

因?yàn)?=*石+>筋(x/eR),HP(2,l)=x(0,2)+v(x0,j0)>

2

y=—

2=阿，肌%

所以

l=2x+yy02x=l-生

%

1—Vn

所以2x+y=l+2?—也，又尸(%,九)是半圓上的任意一點(diǎn),

%0

所以％o=l+cos。，yQ=sinO,6^G[0,^],

1?￡}

所以2x+y=l+2--sm,所以當(dāng)，=工時(shí)，2x+y取得最小值1.

1+cos。2

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查二元變量的最值求法，關(guān)鍵是根據(jù)已知把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

中，把有關(guān)點(diǎn)與向量用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

tzx-Inx,x>0

8.已知函數(shù)/(%)=〈[/、八，若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)七,％2，記過點(diǎn)4>1，/區(qū)))，3(%2，/(%2))

tzx+m(-x),x<0

的直線的斜率為左，若0〈人K2e,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[―,eB.1―,2C.(e,2e]D.^2,2d—

【答案】A

【解析】

【分析】當(dāng)x>0時(shí)，求導(dǎo)，根據(jù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得。>0,由奇函數(shù)的定義可得/(x)為奇函數(shù)，

不妨設(shè)％=—當(dāng)〉0,則有々=工，所以31},l+lna；—(1+lna)：由直線的斜率公式上的表

達(dá)式，可得左=a(l+lna),a〉,，令〃(a)=a(l+lna),a〉,，利用導(dǎo)數(shù)可得人僅)在化+②上單調(diào)遞

ee<e)

增，又由〃[g]=0,〃(e)=2e,根據(jù)單調(diào)性可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/(x)=ax-lnx的導(dǎo)數(shù)為廣(x)=a-工=竺二，

JCX

由函數(shù)/(X)由兩個(gè)極值點(diǎn)得a>Q.

當(dāng)0<x<工時(shí)，/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;

a

當(dāng)x>工時(shí),/'(x)>0,/(X)單調(diào)遞增.

a

故當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)為x=』.

a

當(dāng)x<0時(shí)，則_x>0,則/(-x)=a(_x)_ln(_x)=_[ax+ln(-x)]=_/(x),

同理當(dāng)x>0時(shí)，也有/(—x)=—/(x),

故/(x)為奇函數(shù).

不妨設(shè)々=一%〉0,

則有》2=L所以"Ll+lna；可得士―(1+lna)

由直線的斜率公式可得k=/(6/&)=a(l+\na\a>0,

x2-x1

又女〉0,l+lna>0,所以a〉工

e?

設(shè)/Z(Q)=Q(l+lna),a〉1,得/Z'(Q)=2+lnQ=l+(l+lna)〉0,

所以〃(a)在上單調(diào)遞增，又由/z]：)=0,/z(e)=2e,

由0〈左<2e,得所以』<a〈e.

故選:A.

【點(diǎn)睛】對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切

線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

（極值），解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)

選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知關(guān)于x的不等式辦2+及+°>0的解集為（一*l）U（2,+oo）,貝。（）

A.。>0且。>0

[2

B.不等式6x+c>0的解集是《'工〉]>

C.a—b+c〉0

D.不等式以2+法+口<0的解集為

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意可知a>0且1和2是方程a/+bx+c=O的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得6=-3a,c=2a,由

此易判斷A,將氏c替換成。，由此可求B、D,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可以判斷C.

【詳解】???關(guān)于的的不等式辦2+.+c〉0的解集為（—0,1）32,+e）,

...a>0且1和2是方程a/+bx+c=。的兩個(gè)根，

bc

+x——=3,X]%2=l=2,:.b=-3a,c=2a

2aa

對(duì)A,Ta〉。,>0,故A正確.

對(duì)B,vb=-3a,c=2q,/.Zzx+c>0可化為—3〃x+2〃>0

2

va>0-3x+2>0,解的x<一,

3

二.不等式bx+c>0的解集為故B錯(cuò)誤.

對(duì)C」.?a>0,1和2是方程a/+ftx+c=0的兩個(gè)根，

且二次函數(shù)y=ax2+b%+c開口向上，

，當(dāng)久=—1時(shí)，y>0,即。一6+。>0,故C正確.

對(duì)D,不等式c*+及+。<0可化為2ax2+”<0,

?.?。>0,2》2—3x+l<0,即（2x-l）（x-l）<0,解得g<x<l,

不等式cl+9+°<0的的集為{x||<x<l},故D正確.

故選：ACD

10.已知函數(shù)/（x）=|log2（xT）|,若西<加,/（再）=/（%2）,則（）

11,r-

A.XJ<2<X2B.2<XJ<X2C.一---=1D.+2X2>3+2V2

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出函數(shù)/（x）=|log2（x—l）|的圖象，根據(jù)/（西）=/（》2），結(jié)合函數(shù)圖象逐項(xiàng)判斷.

由圖象可知：1<玉<2,2〈%2，故A正確；B錯(cuò)誤；

由/（%）=/（%2），得現(xiàn)2（再-1）|=|log2（x2-l）|,即-k）g2（再-1）=log2（x2-l）,

11I

所以（再一1）（工2-1）=1,即玉%2=%1+%2，所以3+1=1，故C正確；

因?yàn)閄1+2/_3=（再_1）+2（々_1）22J（X]_1）?2（々_1）=2后,當(dāng)且僅當(dāng)（再—1）=2（%-1）時(shí)，等號(hào)

成立,

因?yàn)槲?lt;%,所以(西—1)</-1<2(%-1)，所以取不到等號(hào)，故D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將/(%)=/(%)轉(zhuǎn)化為(再-1)(%-1)=1而得解.

2

11.已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,an+]=a,,+1,貝iI()

A.an>rTB.an>2"^

ni

C.a2n>\6+1D.log2a2"24'T

【答案】BCD

【解析】

【分析】先證明｛4｝是遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為正，由遞推公式求得。2，。3，。4發(fā)現(xiàn)A錯(cuò)誤，然后由遞推關(guān)

系利用基本不等式變成不等式%>2%,,讓〃依次減1進(jìn)行歸納得出B正確，由遞推式適當(dāng)放縮得

442代

%+2>〉⑷了=。：，這樣對(duì)⑸進(jìn)行歸納得出a?”>(?2?_2)>(a2?_4)〉…〉應(yīng)產(chǎn)=2，此不

等式兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)可證明選項(xiàng)D,對(duì)2人由指數(shù)累運(yùn)算法則變形為=164""，然后證明

4"-2>w-b再結(jié)合｛4｝是正整數(shù)可得證C.

13

—

【詳解】??+1ct?=+1=(a?——)"+—>0,a”+i>?！?，｛%｝是遞增數(shù)列，

2

又q=l,所以a“〉0,a2=2,a3=5,%=26,a3<3,A顯然錯(cuò)誤；

an+l=o>l>2an>2?%_]>-?■>2%=2",Aan>2小，B正確；

對(duì)選項(xiàng)Ca,.〉。3〉⑷)2=。：，

a4

>?t-2>(2n-4)=Qi)'，依此類推:

4424

a2n>(?2?-2)>(?2?-4)〉…〉(外)''=2''，

24"'=1647,下證4-22〃—J,

”=1時(shí)，4T20，

〃=2時(shí)，4°=1>1>

〃=3時(shí)，42>2?

假設(shè)〃二左時(shí)，4"22左—1成立，k>2,

則”=斤+1時(shí)，4K-2=4.4"224（左—1）〉（左+1）—1,

所以對(duì)任意不小于3的正整數(shù)"，4"-2>?-1，

所以。2"=16‘7〉16"T,又出"是正整數(shù)，所以的"N16"T+1,C正確;

對(duì)選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C得生"22"'，所以log24,,210g22—=4"，D正確.

故選：BCD.

第II卷(非選擇題共92分)

注意事項(xiàng)：

(1)非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪

出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效.

(2)本部分共8個(gè)小題，共92分.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

|log2x|,0<x<2,

12.已知函數(shù)/（x）=?則/(/(3))=

—x+2,x>2,

12

【答案】1

【解析】

【分析】結(jié)合分段函數(shù)解析式，由內(nèi)向外計(jì)算即可.

【詳解】由題意得/（3）=—；x3+2=g,/f1j=log21=1.

所以/（/（3））=1,

故答案為：1.

13.計(jì)算:-------4cos10°=

tan10°

【答案】V3

【解析】

【分析】切化弦，通分后結(jié)合二倍角和兩角和差正弦公式可化簡求得結(jié)果.

、士啟口、1.，八。cos10°.，八。cosl0°-4sinl0°coslO"cos10°-2sin20°

詳解】--------4cosl0=--------4cosl0=---------------------=---------------

tan10°sin10°sin10°sin10°

cosl0°-2sin（30°-10°）_cosl0°—cosltT+Gsinl0°_瓜in10。_.

sin10°sin10°sin10°”

故答案為：6

r2(r

14.已知函數(shù)/(x)=(znx—l)lnx+----mx,函數(shù)g(x)=/'(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%,乙?若西￡0,一，則

2Ie_

g(xj-g(x2)的最小值是_____.

4

【答案】一

e

【解析】

結(jié)合韋達(dá)定理可得當(dāng)=’,

【分析】求導(dǎo)后可知苞,》2是方程》2+癖+1=0在(0,+。)上的兩根,

1)(1)

a=一再—；將g(xj-g(%2)化為-2%+-—In%]+2%---,令

Vxi71。3\X\7

/z(x)=2^x-—^j-2^x+—^lnx^0<x<-^,利用導(dǎo)數(shù)可求得。(、丫由，

從而得到結(jié)果.

2

【詳解】因?yàn)?(%)=(加x—l)lnx+搭■一加x,

令g(%)=/'(%)=mInx+――-+x-m=mlnx+x-—(x>0),

XX

因?yàn)間'(x)=%+l+1=k+M+l,g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)七,》2，

XXX

所以X],%2是方程f+7HX+l=0在(0,+。)上的兩根，

(1)

所以占+》2=一機(jī)，Xx=1,所以％=一?,m=_XyH------------,

12項(xiàng)lX1

所以g(國)—g(%)=加In$+西一」--加In%1

-

X2H-------------

x\x2

,1,1」11(11

—Z77InXj+X]----FZ72InX|----FXj——2Xj+—InX]+2X]---,

1X]X]]

x\7Ix\7

設(shè)/z(x)=2—1—2^xH—]Inx(o<x?一),

貝…=2+，2flnx-21：]=-也羋』X,

X

所以當(dāng)xe]o」時(shí)，〃'(x)<0,所以為(x)在Lil口的惘住江

1o,-上單調(diào)遞減，

所以-e)++e)=：,即g(xj—g(%2)的最小值為"I.

4

故答案為：一.

e

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值的問題；本題求解最值的基本思路是將多個(gè)變量統(tǒng)一

為關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)的形式，通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(其中0>0,0<^<!)的最小正周期為兀，且.

①點(diǎn)在函數(shù)y=/(x)的圖象上；

②函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)為-?；

0

5兀JT]

[I.

請(qǐng)你從以上三個(gè)條件選擇一個(gè)(如果選擇多個(gè)，則按選擇的第一個(gè)給分)，補(bǔ)充完整題目，并求解下列問

題：

(1)求/(X)的解析式；

(2)用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)/(x)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

【答案】⑴無論選哪個(gè)條件，函數(shù)/⑺的解析式均為/(x)=sin2x+1

(2)答案見解析

【解析】

71sinf2x^-+(z?1=1,若選②,

【分析】(1)若選①，則/

12

,由此求出分別求出。即可得解.

(2)直接用“等距法”按照五點(diǎn)畫圖的步驟作圖即可.

【小問1詳解】

2兀

由題意最小正周期為了=同=兀,。>0,解得0=2,所以/(x)=sin(2x+G),

若選①，則/三=sin2x二+o=1,所以巴+o==+2E/eZ,

I12J62

JTIT

又o<°<W，所以左=o,0=—,

23

所以函數(shù)/(X)的解析式為/(x)=sin12x+m)；

JTIT

又0<夕<5，所以左=0,0=—,

23

所以函數(shù)/(X)的解析式為/(x)=sin12x+m

I57rTT

若選③，即/(X)的一個(gè)增區(qū)間為-石，五

57171(5nn]

當(dāng)xe時(shí)，t=2x+(p

n,12

JT

又0＜。＜萬,

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只能g+9，；+。

三，所以函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=sin(2x+gj；

(P=

3

綜上所述，無論選哪個(gè)條件，函數(shù)/(x)的解析式均為/(x)=sin2x+g.

【小問2詳解】

列表如下:

7171兀7715K

X

~~612i~n~6

c兀兀371

t—2xH—0712兀

32~2

/(x)=sin[2x+；]

010-10

描點(diǎn)、連線(光滑曲線)畫出函數(shù)/(X)一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示:

\-ax

16.已知定義在R上的函數(shù)/(%)=-----(?！?且awl).

1+優(yōu)

(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

(2)若/(1)=—g,試判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性并加以證明；并求/(x)+l—

=0在[-2,3]上有解時(shí),

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)/(x)為奇函數(shù)，理由見解析

19

(2)/(x)為減函數(shù)，證明見解析；me

1455

【解析】

【分析】(1)先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用定義證明即可.

(2)求出參數(shù)值得到原函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題求解參數(shù)范圍即可.

【小問1詳解】

/(x)為奇函數(shù)

對(duì)任意xeR,都有-xeR,且該函數(shù)的定義域?yàn)镽,顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

l-axl-a-x1—a'a'—1?

可得/(x)+/(—%)=-----------1-----------------+-----=0.

l+ax1+「\+axax+1

，/(x)為奇函數(shù).

【小問2詳解】

當(dāng)/。)=一』時(shí),可得上上解得。=3,

21+。2

此時(shí)=/在R上為嚴(yán)格減函數(shù)，證明如下：

1+3

]_劣超1_4項(xiàng)

任取》2＞天，且Xi，X2eR,則/(%)-/(xj=]+3金-

(1-3*+)(1+3*)2(3』3日)

???x2>,3巧〉3』〉0，，/(》2)一/(石)<。，

413

/(x)在R上為嚴(yán)格減函數(shù)，而/(-2)=-,/(-3)=—房，

1—qx「［34-

.?./(乃=二-在［—2,3］上的值域?yàn)橐?V，二,

1+3VL145j

要使/(x)+1—掰=0在［-2,3］上有零點(diǎn)，

此時(shí)等價(jià)于>=加與y=/(x)+1在［-2,3］上有交點(diǎn)，

'191「19一

而當(dāng)xe［-2,3］時(shí)，可得/(x)+le-,j，故機(jī)e-,j.

17.在△45C中，已知tark4+tari5=C(tarL4tanS-l).

(1)求C；

(2)記G為△48C的重心，過G的直線分別交邊G4,C5于MN兩點(diǎn)，設(shè)函=及火函=〃福.

11

(i)求:+一的值；

A〃

(ii)若C4=C8,求ACMN和△4SC周長之比的最小值.

7T

【答案】(1)c=-

3

(2)(i)3(ii)-

3

【解析】

【分析】(1)借助三角形內(nèi)角關(guān)系及兩角和的正切公式化簡并計(jì)算即可得；

(2)⑴設(shè)。為48的中點(diǎn)，結(jié)合重心的性質(zhì)及向量運(yùn)算可得M=西，再利用三點(diǎn)共線

3Z3〃

定理即可得解；(ii)由題意可得△48C為等邊三角形，可設(shè)其邊長為1,則可用4必表示兩三角形周長之

比，結(jié)合(i)中所得與基本不等式即可得解.

【小問1詳解】

由題可知tanC=tan(7i-A-B)=-tan(A+B)=-taiL^+tarL^=,

')')l-tarUtaaS

又Ce(O,兀)，所以C=g；

【小問2詳解】

—?1—1—?

(i)設(shè)。為48的中點(diǎn)，則CQ=—C4+—CB,

22

_.9_—.1—,1—,1.1—.

又因?yàn)镃G=4C。，所以CG=_C/+_C5=—CM+——CN,

333323//

因?yàn)椤?G,N三點(diǎn)共線，所以上+4=1,所以：+1=3；

3%3〃X//

jr

5)由cz=C8,c=~,可得△asc為等邊三角形，

3

設(shè)△45C的邊長為1,ACMN與△48C周長分別為G，G，則G=3,

MN—J/2+〃2—4〃,所以G=4+〃+J22+、2—4從,

所以G2+〃+,丸2+4〃

3

由：+2=3可得，3沏=之+〃22。5（當(dāng)且僅當(dāng)2=〃時(shí)等號(hào)成立），

+8）上單調(diào)遞增,

3

18.已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，2叼%，4。6成等差數(shù)列，且滿足%=44，等差數(shù)列數(shù)列｛0｝的

前〃項(xiàng)和j也+^4=6,S4=10.

（1）求數(shù)列｛4｝和｛g｝的通項(xiàng)公式;

設(shè)""=八0’；5a",〃eN*,｛4j的前〃項(xiàng)和7；,求證：7；<|.

(2)

。2〃+1。2〃+3

(3),求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和.

【答案】（1）%=；3="

(2)證明見解析(3)n~H----------------

994

【解析】

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,等差數(shù)列｛勾｝的公差為根據(jù)題意，列出方程組，分別求得

的值，即可求得數(shù)列｛4｝和｛勾｝的通項(xiàng)公式;

11

(2)由⑴求得4=2[],結(jié)合裂項(xiàng)法求和，求得數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和

(2〃+1)2(2〃+3)-2"+i

T"=t(2〃+13>2“

,即可得證;

(3)根據(jù)題意，求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和乘公比錯(cuò)位法求和，即可求解.

【小問1詳解】

解：由等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)公比為式4>0),

因?yàn)?%,%，4%成等差數(shù)列，且滿足%=4短,

45

a/=a1q+2axq2

2%=2a5+44Bn1=q+2q

可得《,2，即V3，即,

=4/axq=41=4axq

解得%=N=;，所以％J

設(shè)等差數(shù)列｛g｝的公差為d,

2b+4d=6

因?yàn)镠+“=6,§4=10,可得<[他+6小0’解得―

所以4=1+(〃—1)x1=〃，即數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為a=n.

【小問2詳解】

證明：由(1)知4=,b”=n，

b2H+52n+511

可得或=-(-r=2[n+f],

，2"+也n+3(2〃+1)(2〃+3)2(2?+1)-2"(2〃+3〉2’

1111(111

則T”=2+++???+

3^2-5^45-47-8T8946(2?+1)-2"(2"+3)-2",

=2"[|11

(2〃+3>2用3(2〃+3)2

1cli11

因?yàn)?---------->0,所以---------------<-,故T<一.

(2〃+3>2"3(2〃+3>2〃3"3

【小問3詳解】

鞏〃為奇數(shù)

解：因?yàn)??！?<黑吃數(shù))—:,“為偶數(shù)’

n.I

則數(shù)列｛，｝的前2〃項(xiàng)和W.=(1+3+…+2〃—1)+(2?工+4-,+3+2〃-

416

n(l+2n-l)2

令Un=1+3H----1-(2〃-1)=-----------二n

2

令，則'匕??1c1

jz=2--+4-—+---+2?-4=21-+4----1-----F2n-

"4162241664^2n+2

兩式相減得[匕=；+/+[+…+91—2小于工

qZODNZZ1--

4

—H---1-=-2--3-?-+-4---1-

22?+13322"+]

…"86〃+8186〃+8

所以％=廠方

4"99?4"

2

所以數(shù)列匕｝的前In項(xiàng)和Mn=Un+Vn=n+，一黑等

99,4

19.已知函數(shù)/(x)=ln(3-x)+cos(2-x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)若g(x)-iWax在定義域內(nèi)恒成立，求。的取值范圍;

2〃