2025高考物理復(fù)習(xí)教案：磁場(chǎng)中的動(dòng)態(tài)圓模型

第十一章磁場(chǎng)

專題十五磁場(chǎng)中的動(dòng)態(tài)圓模型

核心考點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

“平移圓”模型

本專題內(nèi)容為解決帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的模型歸

納，單獨(dú)考查的可能性不大，但在解決大量帶電粒子在

“旋轉(zhuǎn)圓”模型

磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，會(huì)使解題更加方便快捷.

2020：全國預(yù)計(jì)2025年高考可能會(huì)通過與帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周

“放縮圓”模型

IT18運(yùn)動(dòng)有關(guān)的現(xiàn)代科技，考查帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中

“磁聚焦”與2021：湖南運(yùn)動(dòng)的臨界與極值問題.

“磁發(fā)散”模型T13

題型1“平移圓”模型

同種帶電粒子速度大小相等、方向相同，入射點(diǎn)不同但*X*****

在同一直線上.粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周X

適用條件運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為W，則圓周運(yùn)動(dòng)半\\\

徑廠=哼，如圖所示（圖中只畫出了粒子帶負(fù)電的情境）

qB

軌跡圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓圓心在同一直線上，H直線與入

圓心共線射點(diǎn)的連線平行

界定方法語率徑為7=篝的圓進(jìn)行平祿T從而探索粒子運(yùn)動(dòng)的臨界條產(chǎn)

垂直于磁場(chǎng)邊界不斷地發(fā)射速度相同的同種帶電粒子，不考慮粒子間的相互作用，則粒子

經(jīng)過磁場(chǎng)的區(qū)域（陰影部分）可能是（c）

XXXXX

茄子演

粒子源粒子源

R

一一工―_…

：LUi：UJi

寂播通了演

c.n

解析帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，粒子源最左端發(fā)射的粒子落在A

點(diǎn)，最右端發(fā)射的粒子落在B點(diǎn)，故選C.

和子源

題型2“旋轉(zhuǎn)圓”模型

同種帶電粒子速度大小相等，方向不同.粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)①

時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，圓周轉(zhuǎn)向相乙工總

適用條件同，圓心位置不同，軌跡不同.若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為第

vo,則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R=噂，如圖所示（圖飛上工-

qB磅、…，'

中只畫出粒子帶正電的情境）

如圖.帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心在以：:

軌跡圓

入射點(diǎn)為圓心、半徑R=翳的圓上

圓心共圓

將半徑為尺=吟的圓以帶電粒子入射點(diǎn)為定點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而悠粒子至藥

界定方法qB

的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

2.[2023四川德陽期末]如圖所示，豎直平行線MN、P。間距離為a,其間存

在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（含邊界產(chǎn)。），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,MN上

。處的粒子源能沿不同方向釋放速度大小相等、方向均垂直磁場(chǎng)的帶負(fù)電粒

子，己知粒子的電荷量為q,質(zhì)量為九粒子間的相互作用及重力不計(jì)，其中

沿0=60。射入的粒子，恰好垂直PQ射出，則（D）

A.粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為百。

B.粒子的速率為陋

m

C.沿9=60。射入的粒子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為您

3qB

D.P。邊界上有粒子射出的長度為2百a

解析粒子沿9=60°射入時(shí)，恰好垂直PQ射出，則粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過30°,如圖甲所

2

示，由幾何關(guān)系有Rsin30°=a,解得R=2a,由洛倫茲力提供向心力有qvB=m上,則v

R

=碼￡故AB錯(cuò)誤.沿0=60°射入的粒子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=四丁丁=工義2"=

m36012v

—,故C錯(cuò)誤.如圖乙所示，e=0°時(shí)，粒子從PQ上離開磁場(chǎng)的位置與B點(diǎn)的距離

6v6qB

為6,當(dāng)e增大時(shí)，粒子從PQ上離開磁場(chǎng)的位置下移，直到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ相

切；9繼續(xù)增大，則粒子不能從PQ邊界射出；粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ相切時(shí)，由半徑R=2a

可知，粒子轉(zhuǎn)過的甬度為60°,所以出射點(diǎn)在PQ上O點(diǎn)的水平線下方巡a處；所以PQ

邊界上有粒子射出的長度為2百a,故D正確.

XTJ.

XX義'、￥

\B

x0

題型3“放縮圓”模型

同種帶電粒子速度方向相同，大小不同.粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒

適用條件

子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度大小的變化而變化

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情境），速度v越大,

軌跡圓

運(yùn)動(dòng)半徑越大.帶電粒子沿同一方向射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌

圓心共線

跡的圓心在垂直入射速度方向的直線PP'上:：

以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于直線PP上，將半徑放縮確定運(yùn)動(dòng)軌跡，從

而探索出粒子運(yùn)動(dòng)的臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

3.真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為。和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與

圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示.一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng).已知電子

質(zhì)量為機(jī)，電荷量為e,忽略重力.為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，

磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（C）

解析為使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓

周運(yùn)動(dòng)的半徑最大時(shí)軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r,軌跡圓圓心為M,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)

強(qiáng)度最小為B由幾何關(guān)系有+r=3a,解得r=^a,電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周

運(yùn)動(dòng)有evB=m些，解得B=?巴，選項(xiàng)C正確.

r4ae

題型4“磁聚焦”與“磁發(fā)散”模型

原理圖像證明

如圖甲所示，大量同種帶正電的粒

四邊形3為菱形，是

子，速度大小相同，平行入射到圓

6特殊的平行四邊形，對(duì)邊

形磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子的重力及粒

平行，必平行于AO

磁聚焦子間的相互作用，如果軌跡圓半徑

.（即豎直方向），可知從

與磁場(chǎng)圓半徑相等（R=r）,則所

A點(diǎn)入射的帶電粒子必然

有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)

經(jīng)過B點(diǎn)

B點(diǎn)射出

如圖乙所示，有界圓形磁場(chǎng)的磁感

所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心

應(yīng)強(qiáng)度為2,圓心為0,尸點(diǎn)有大

與磁場(chǎng)圓圓心。、入射

量質(zhì)量為優(yōu)、電荷量為q的帶正電

點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱

粒子，以大小相等的速度v沿不同

形，也是特殊的平行四邊

磁發(fā)散方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重

形，OiA、0殂、03c均平

力及粒子間的相互作用，如果帶正

圖乙行且等于P。，即出射速

電粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場(chǎng)

度方向相同（均沿水平方

半徑相等，則所有粒子射出磁場(chǎng)的

向）

方向平行

4.如圖所示，半徑為R的;圓形區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

B,磁場(chǎng)的左邊垂直無軸放置一線形粒子發(fā)射裝置，能在OWyWR的區(qū)間內(nèi)各處沿x軸正方

向同時(shí)發(fā)射出速度相同、帶正電的同種粒子，粒子質(zhì)量為加、電荷量為q,不計(jì)粒子的重

力及粒子間的相互作用力，若某時(shí)刻粒子被裝置發(fā)射出后，經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)擊中y軸上的同

一位置，則下列說法中正確的是（D）

A.粒子都擊中。點(diǎn)處

B.粒子的初速度為詈

2m

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為千

qB

D.粒子到達(dá)y軸上的最大時(shí)間差為焉一苴

解析由題意，某時(shí)刻發(fā)出的粒子都擊中y軸上一點(diǎn)，由最高點(diǎn)射出的粒子只能擊中（0,

R）,可知擊中的同一點(diǎn)就是（0,R）,A錯(cuò)誤；從最低點(diǎn)射入的粒子也擊中（0,R）,

由幾何關(guān)系可知粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,由洛倫茲力提供向心力得qvB=m匕，則

速度v="2B錯(cuò)誤；偏轉(zhuǎn)角最大的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，顯然從最低點(diǎn)射入的

m

粒子偏轉(zhuǎn)角最大，為90：故其在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，時(shí)間t=^T=^X空空=您，C

44qB2qB

錯(cuò)誤；從最高點(diǎn)直接射向（0,R）的粒子到達(dá)y軸的時(shí)間最短，則最長與最短的時(shí)間差為

ARTtmm八十『女

At=t—=——,D正確.

v2qBqB

朕基礎(chǔ)練知識(shí)通關(guān)

1.如圖所示為邊長為L的正方形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)ABCD,帶電粒子從A點(diǎn)沿

AB方向射入磁場(chǎng)，恰好從C點(diǎn)飛出磁場(chǎng)；若帶電粒子以相同的速度從

4。的中點(diǎn)尸垂直射入磁場(chǎng)，則從。C邊的M點(diǎn)飛出磁場(chǎng)（M點(diǎn)未畫

出）.設(shè)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間為小從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用

的時(shí)間為益.帶電粒子重力不計(jì)，貝Li：叁為（C）

A.2：1B,2：3C.3：2D.1

解析畫出粒子從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)到從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)的軌跡，并將該軌跡向

下平移，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=L,從C點(diǎn)射出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

R

tl=-;由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用時(shí)間為t2,圓心角為cos0則

4R2

T

8=60°,故t2=g所以￡=今=|，C正確.

26

2.[2021全國乙]如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量

為加、電荷量為q（q>0）的帶電粒子從圓周上的加點(diǎn)沿直徑V0N/

方向射入磁場(chǎng).若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為V1,離開磁場(chǎng)時(shí)速度M\xxOx

\XXXX/

方向偏轉(zhuǎn)90。；若射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為V2,離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向'..XX」，

偏轉(zhuǎn)60。.不計(jì)重力，則”為（B）

B-TD.V3

解析設(shè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為R,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，沿直徑

MON方向以速度vl射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)速度方

向偏轉(zhuǎn)90°,則其軌跡半徑為rl=R,由洛倫茲力提供向心力得qvlB

=m或，解得vl=避；沿直徑MON方向以速度v2射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)

r-im

區(qū)域的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)60°,由幾何關(guān)系得tan30°=-,可得其軌跡半徑為

r2

r2=V3R,由洛倫茲力提供向心力得qv2B=m吱，解得v2=漁蟠，則以=:=立，B正確.

丁2??11?2V33

3.［多選］如圖所示，空間中存在一半徑為R、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN是一豎

直放置的足夠長的感光板.大量相同的帶正電粒子從圓形磁場(chǎng)最高點(diǎn)尸以速率v沿不同方向

垂直磁場(chǎng)方向射入，不考慮速度沿圓形磁場(chǎng)切線方向入射的粒子.粒子質(zhì)量為"3電荷量為

q,不考慮粒子間的相互作用和粒子的重力.關(guān)于這些粒子的運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是

(ACD)

A.對(duì)著圓心入射的粒子，速度越大在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短

B.對(duì)著圓心入射的粒子，速度越大在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長

C.若粒子速度大小均為v=幽,出射后均可垂直打在MNk

m

D.若粒子速度大小均為v=蟠，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定小于胃

mqB

解析對(duì)著圓心入射的粒子，速度越大在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑越大，軌跡對(duì)應(yīng)的

圓心角越小，由1=21=也可知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短，故A正確，B錯(cuò)誤.粒子速度大小均為v

211qB

=幽時(shí)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得粒子的軌跡半徑r=虻=R,根據(jù)幾何關(guān)系可知，

mqB

入射點(diǎn)P、O、出射點(diǎn)與軌跡圓的圓心的連線構(gòu)成菱形，射出磁場(chǎng)時(shí)的軌跡半徑與PO平

行，故粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根據(jù)幾何關(guān)

系可知，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角小于180°,粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tV^T=吧，故C、D正

2qB

確.

4.［2023豫北名校聯(lián)考/多選］如圖所示，直角三角形A3C區(qū)域內(nèi)有一方向垂直紙面向里、磁

感應(yīng)強(qiáng)度大小為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，NA=30。，48=L在4點(diǎn)有一個(gè)粒子源，可以沿AB方向

發(fā)射速度大小不同的帶正電的粒子.己知粒子的比荷均為k,不計(jì)粒子間相互作用及重力，

則下列說法正確的是（CD）

A.隨著速度的增大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間變短久

B.隨著速度的增大，粒子射出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角變大p\

C.從AC邊射出的粒子的最大速度為竽

D.從AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為三；

解析

從4c邊（在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角度e相同，B錯(cuò)誤

射出的《?

粒子1在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間仁整相同，A錯(cuò)該

空還，C正確

能力練重難通關(guān)

5.［多選］如圖所示，正方形abed區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，0

點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn).一個(gè)帶正電的粒子（重力忽略不計(jì)）從。點(diǎn)沿紙面以

垂直于cd邊的速度射入正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間如剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng).

現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從。點(diǎn)沿紙面以與Od成30。角的方向（如圖中虛線所示）且以各種不

同的速率射入正方形區(qū)域內(nèi)，那么下列說法正確的是（AD）

A.該帶電粒子不可能從正方形的某個(gè)頂點(diǎn)射出磁場(chǎng)

B.若該帶電粒子從油邊射出磁場(chǎng)，它在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間可能為|加

C.若該帶電粒子從be邊射出磁場(chǎng)，它在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間可能為|而

D.若該帶電粒子從cd邊射出磁場(chǎng)，它在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間一定為，

解析帶電粒子以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0剛好從c

點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則知帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=2t0.如圖

所示，隨粒子速度逐漸增大，軌跡由①一②一③一④依次漸變，由圖可以

"AB

知道粒子在四個(gè)邊射出時(shí)，不可能從四個(gè)頂點(diǎn)射出，故A正確；由幾何關(guān)

系可知粒子從ab邊射出時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間小于半個(gè)周期t0,從be邊射出時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間小于

-T,從cd邊射出時(shí)軌跡所對(duì)的圓心角都是300°,經(jīng)歷的時(shí)間為二=也，故B、C錯(cuò)誤,

363

D正確.

6.如圖所示，在屏的上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里.P

為屏上的一個(gè)小孔，PC與MN垂直.一群質(zhì)量為相、帶電荷量為一q的粒子（不計(jì)重力）,

以相同的速率v從尸處沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域.粒子入射方向在與磁場(chǎng)B垂直的

平面內(nèi)，且散開在與PC夾角為9的范圍內(nèi).則在屏上被粒子打中的區(qū)域的長度為

（D）

.2mvC

A.——XDXX：XXX

qBD

X.、XX：XX,x

n2mvcos3、:，/

x火、gx-jqe,,義x

xxxx

MP

qB

qB

解析當(dāng)粒子初速度方向與MN垂直時(shí)，粒子打中屏MN上被粒子打中的區(qū)域的最右端，

到P點(diǎn)的距離xl=2r=刎；當(dāng)粒子初速度方向與PC夾角為9時(shí)，粒子打中屏MN上被

qB

2mvcos0

粒子打中的區(qū)域的最左端，到P點(diǎn)的距離x2=2rcos9=f故在屏MN上被粒子打中

qB

的區(qū)域的長度為X1—x2=2m",D正確.

qB

7.[1形化/多選]如圖所示，紙面內(nèi)有寬為工、水平向右飛行的帶電粒，二T

子流，粒子質(zhì)量為相，電荷量為一q,速率為％,不考慮粒子的重力及粒|--

子間的相互作用，要使粒子都會(huì)聚到一點(diǎn)，可以在粒子流的右側(cè)虛線框帶電粒了流

內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，則磁場(chǎng)區(qū)域的形狀及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是下列選項(xiàng)中的(其

中員=安，A、C、D選項(xiàng)中曲線均為半徑為L的;圓弧，B選項(xiàng)中曲線為半徑為;的圓)

qL42

(AB)

B=B,B=2B?B=B?B=2B?

ABCD

8.如圖所示，正方形區(qū)域abed內(nèi)(含邊界)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ab=l,Oa=

0.4/,大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與邊成37。角的方向以不同的初速度vo射入磁場(chǎng)，不

計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用.已知帶電粒子的質(zhì)量為如電荷量為分磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)

度大小為8,sin37°=0.6,cos37°=0.8.

(1)求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間；

(2)若帶電粒子從ad邊離開磁場(chǎng)，求vo的取值范圍.

答案(1)理皿(2)^<v0<—

90qB4m9m

解析(1)粒子從次?邊離開磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，如圖甲

所示

有物物=遇，又7=陋，解得了=地

RVQBq

圖申

又由幾何關(guān)系得。=74。，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間

_360°—74°,丁143nm

360°90qB

(2)粒子軌跡與4d邊相切時(shí)，如圖乙所示，設(shè)此時(shí)初速度為voi,軌跡半徑為Ri,由幾何

關(guān)系可得

R+Risin37°=0.4/

又密知=等，解得知=詈

1Ri4m

粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與cd邊相切時(shí)，如圖丙所示，設(shè)此時(shí)初速度為"02,軌跡半徑為&,由幾何

關(guān)系可得

&+&cos370=/

創(chuàng)新練素養(yǎng)通關(guān)

9.[4024湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研/多選]如圖所示，在