2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：定值問題（原卷版）

專題52定值問題（新高考專用）

目錄

【真題自測】................................................................2

【考點(diǎn)突破】................................................................2

【考點(diǎn)1】長度或距離為定值...................................................2

【考點(diǎn)2】斜率或其表達(dá)式為定值..............................................4

【考點(diǎn)3］幾何圖形的面積為定值..............................................6

【分層檢測】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................10

真題自測

一、解答題

L(2024?全國?高考真題)已知橢圓C：5+，=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)在C上，且MF口軸.

⑴求C的方程；

⑵過點(diǎn)尸(4,0)的直線交C于A3兩點(diǎn)，N為線段萬的中點(diǎn)，直線N3交直線初尸于點(diǎn)。，證明：軸.

2.(2023?全國?高考真題)已知橢圓C:￡+==l(a>b>0)的離心率是好，點(diǎn)A(-2,0)在C上.

ab3

⑴求C的方程；

⑵過點(diǎn)(-2,3)的直線交C于尸,。兩點(diǎn)，直線AP,A。與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線段MN的中點(diǎn)為定

點(diǎn).

3.(2023?北京?高考真題)己知橢圓E：1+，=l(a>6>0)的離心率為冬A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，

B,。分別是E的左、右頂點(diǎn)，14cl=4.

⑴求E的方程；

(2)設(shè)尸為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線PD與直線BC交于點(diǎn)直線出與直線、=-2交于點(diǎn)N.求證:

MN//CD.

4.(2022?全國?高考真題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R點(diǎn)。(p,0),過尸的直線交C于跖N

兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，\MF\^3.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)直線M2ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,8,記直線的傾斜角分別為名當(dāng)a-6取得最大

值時(shí)，求直線AB的方程.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】長度或距離為定值

一、解答題

1.(24-25高三上?江西九江?開學(xué)考試)已知橢圓C：「+4=l(a>b>0)的離心率為5，右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、

(4當(dāng)在

⑴求C的方程；

⑵已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線/：、=履+%(左二。)上，若直線/與C相切，且E4，/,求山的值.

22

2.(24-25高三上?江西?開學(xué)考試)已知雙曲線C:]-}=l(a>0,b>0)其左、右焦點(diǎn)分別為居，不，若

陽閭=12,點(diǎn)居到其漸近線的距離為4立.

2

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)過點(diǎn)F2的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，且|前|=忸用，若|隹明，忸閭成等

比數(shù)列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為"黃金雙曲線”，并說明理由.

3.(24-25高三上?青海西寧?開學(xué)考試)已知橢圓石：5+/=1(°>6>0)的離心率為半，點(diǎn)尸在橢圓E上

運(yùn)動(dòng)，且,P月工面積的最大值為百.

⑴求橢圓E的方程；

⑵設(shè)A,8分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，不過原點(diǎn)的直線/與直線AB平行，且與x軸，'軸分別交于

點(diǎn)M,N,與橢圓E相交于點(diǎn)C,D,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(0)求一OCM與△<?用的面積之比；

(回)證明：為定值.

4.(24-25高三上?山東德州?開學(xué)考試)已知雙曲線E焦點(diǎn)在x軸上，離心率為耳，且過點(diǎn)(0,4),直線乙

與雙曲線E交于M,N兩點(diǎn)，乙的斜率存在且不為0,直線4與雙曲線E交于只。兩點(diǎn).

⑴若的中點(diǎn)為直線的斜率分別為左他,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求發(fā)出；

1\TP\TN

(2)若直線《與直線4的交點(diǎn)T在直線x=巳上，且直線4與直線4的斜率和為0,證明：lM=.

22

5.(24-25高三上?安徽?開學(xué)考試)已知橢圓C:1r+}=l(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A、B,R是橢圓C上異

于A、8的動(dòng)點(diǎn)，滿足當(dāng)R為上頂點(diǎn)時(shí)，八旬尺的面積為8.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵過點(diǎn)2)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)(D,E與A、B不重合)，直線AP,AE分別與直線

x=-6交于RQ兩點(diǎn)，求的值.

6.(24-25高三上?廣西階段練習(xí))橢圓及]+，=l(a>b>0)的離心率為半，過點(diǎn)尸(。⑼的直線/與

橢圓E交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線/過坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，|MN|=2巡.

⑴求橢圓E的方程.

(2)設(shè)A,2分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M作無軸的平行線分別與直線AB,交于C,。兩點(diǎn).試

探究。，C,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由.

反思提升：

探求圓錐曲線中的定線段的長的問題，一般用直接求解法，即先利用弦長公式把要探求的線段

3

表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系

式，把這個(gè)關(guān)系式代入弦長表達(dá)式中，化簡可得弦長為定值.

【考點(diǎn)2】斜率或其表達(dá)式為定值

一、解答題

r221

1.(24-25高三上?北京?開學(xué)考試)已知橢圓C:5+「v=l(a>6>0)的離心率為二，左、右頂點(diǎn)分別為A、

ab2

B,左、右焦點(diǎn)分別為月、F2.過右焦點(diǎn)尸2的直線/交橢圓于點(diǎn)V、N,且△片"N的周長為16.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記直線AM、BN的斜率分別為。k2,證明：?為定值.

22

2.(24-25高三上?陜西?開學(xué)考試)已知雙曲線C:1—}=1.>0/>0)的左焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為E,虛軸

的上端點(diǎn)為尸,且忸同=3,|尸耳=右.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)M、N是雙曲線C上不同的兩點(diǎn)，。是線段腦V的中點(diǎn)，。是原點(diǎn)，直線MN、的斜率分別為《、"

證明：々「心為定值.

229

3.(24-25高三上?遼寧鞍山?開學(xué)考試)已知橢圓C：A+與=l(a>b>0),右焦點(diǎn)為網(wǎng)2,0)且離心率為彳，

ab3

直線/：x=6,橢圓c的左右頂點(diǎn)分別為A、4，P為/上任意一點(diǎn)，且不在X軸上，PA與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)

為聞,尸&與橢圓c的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

⑴直線MAt和直線MA的斜率分別記為kM^kMAi,求證：34?為定值;

(2)求證：直線MN過定點(diǎn).

4

22

4.（23-24高二上?云南昆明?階段練習(xí)）已知雙曲線C:鼻-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

片（-石,0）,巴（右,0）,左、右頂點(diǎn)分別為M,N,且經(jīng)過點(diǎn)尸［向,！

⑴求C的方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)A在圓/+產(chǎn)=02上，動(dòng)點(diǎn)B在雙曲線c上，設(shè)直線AM,MB的斜率分別為勺,網(wǎng),若N,A,B=

點(diǎn)共線，試探索勺,質(zhì)之間的關(guān)系.

5.（2024高二上?江蘇?專題練習(xí)）已知圓C的圓心坐標(biāo)為C（3,0）,且該圓經(jīng)過點(diǎn)A（0,4）.

（2）直線相交圓C于M,N兩點(diǎn)，若直線AM,AN的斜率之和為0,求證：直線式的斜率是定值，并求出該

定值.

22

6.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:5-2=l（a>0,6>0）的離心率為近,右焦點(diǎn)到雙曲線C的

ab

一條漸近線的距離為1,兩動(dòng)點(diǎn)在雙曲線C上，線段的中點(diǎn)為M（2〃?,77Z）（77件0）.

（1）證明：直線A3的斜率后為定值；

2

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OA3的面積為求直線A3的方程.

反思提升：

第一步求圓錐曲線的方程

第二步特殊情況分類討論

第三步聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程

第四步應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)

第五步根據(jù)相關(guān)條件計(jì)算推證

第六步明確結(jié)論

【考點(diǎn)3］幾何圖形的面積為定值

一、解答題

22

1.（2024高二上?江蘇?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C：A+當(dāng)=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)為A,

ab

上頂點(diǎn)為5,右焦點(diǎn)為死連接8廠并延長交橢圓。于點(diǎn)橢圓P.

5

⑴若尸|I，-竽）|BP|=y,求橢圓C的方程；

s

⑵若直線42與直線AP的斜率之比是-2,證明：產(chǎn)為定值，并求出定值.

?APF

22

2.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）已知橢圓？:三+2=1（。>6>0）,7與圓產(chǎn)+產(chǎn)=房一爐在第一、第二象

ab

jr

限分別交于0、P兩點(diǎn)，且滿足ZPOQ=~,PQ=\,

⑴求橢圓》的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）4是橢圓上的一點(diǎn)，若存在橢圓的弦BC使得OA//BC,OA=BC,求證:四邊形OABC的面積為定值.

3.（23-24高二上?福建泉州?期中）已知圓A：（X+1）2+/=16,直線1過點(diǎn)4（1,0）且與圓A交于點(diǎn)8,C,

BC中點(diǎn)為。，過&C中點(diǎn)￡且平行于4。的直線交AC于點(diǎn)P,記P的軌跡為「

⑴求r的方程；

（2）坐標(biāo)原點(diǎn)。關(guān)于4,4的對(duì)稱點(diǎn)分別為耳，層，點(diǎn)4,4關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為G，c2,過4

的直線4與r交于點(diǎn)M,N,直線4M,與N相交于點(diǎn)。.請(qǐng)從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證

明.

①△℃的面積是定值；②B耳星的面積是定值；③△QGCz的面積是定值.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過4（-2,0）,B（T,3）兩

點(diǎn).

⑴求C的方程；

（2）設(shè)P,M,N三點(diǎn)在C的右支上，BM//AP,AN//BP,證明：

（回）存在常數(shù)X,滿足OM+ON=XOP;

（回）一MNP的面積為定值.

22

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知橢圓C：n=l，A，4分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，斗鳥分別為橢圓C的

左、右焦點(diǎn)，斜率存在的直線/交橢圓c于p,Q兩點(diǎn)，記直線AP，尸4,AQ,Q\的斜率分別為%、月上3，院.

r3

⑴證明：k3a=-“

（2）若勺+&=g（左2+&），求S^PQ的取值范圍.

22

+

6.（2024jWj三,全國,專題練習(xí)）如圖所不，已知橢圓系方程。〃：［+4=〃（6/>Z?>0,MGN）,K、F2

ab

是橢圓的焦點(diǎn)，A（跖⑹是橢圓上一點(diǎn)，且月=0.

6

⑴求C"的離心率，求出C1的方程.

（2）尸為橢圓C3上任意一點(diǎn)，過尸且與橢圓g相切的直線/與橢圓C6交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱

點(diǎn)為。求證：-QMN的面積為定值.

反思提升：

探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即可先利用三角形面積公式

（如果是其他凸多邊形，可分割成若干個(gè)三角形分別求解）把要探求的幾何圖形的面積表示出來,

然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入

幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡即可.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

22

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知橢圓C：訝+|r=i（a>b>0）的上、下頂點(diǎn)分別為A，4,P是橢圓c上

異于A，劣的一點(diǎn)，直線24和尸&的斜率分別為尢，k2,則滿足左#2=-3的橢圓c的方程是（）

八％2y2□光2y2C.」=1D.3=1

A.—+—=1B.—+—=1

36456284

2

2.（2024?江西鷹潭?二模）雙曲線E：/-21=1的左，右頂點(diǎn)分別為A3,曲線E上的一點(diǎn)C關(guān)于X軸的

3

對(duì)稱點(diǎn)為。，若直線AC的斜率為根，直線5。的斜率為〃，則相〃=（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

3.（23-24高三上?湖北?期末）拋物線C的方程為無2=4%過點(diǎn)尸（0,2）的直線交C于42兩點(diǎn)，記直線

的斜率分別為匕,&，則上色的值為（）

11

A.-2B.—1C.—D.

24

22

4.（23-24高三上?四川內(nèi)江?期末）橢圓土+匕=1的焦點(diǎn)為瓦、工，點(diǎn)M在橢圓上且班，九軸，則耳到

43一

直線8M的距離為（）

7

611J7

A.—B.3C.—D.3

5311

二、多選題

5.（22-23高三上?湖北咸寧?階段練習(xí)）過拋物線y2=2/（p>0）的焦點(diǎn)尸的一條直線交拋物線于AQ,M,

3（%,%）兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.>「必為定值

B.若經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線的頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C,則〃了軸

C.存在這樣的拋物線和直線A8,使得。4團(tuán)。8（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

D.若直線與x軸垂直，則|AB|=2p

6.（22-23高二下?河南?階段練習(xí)）已知橢圓C:；+丁=1（。>1）的兩個(gè)焦點(diǎn)為片,且，尸是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，

a

且4尸耳鳥的面積最大值是否，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.橢圓C的離心率是:

B.若AB是左，右端點(diǎn)，則1pli+|尸目的最大值為2行

C.若尸點(diǎn)坐標(biāo)是pf],則過尸的C的切線方程是x+2&y-3=0

D.若過原點(diǎn)的直線交C于兩點(diǎn)，則⑥

2222

7.（22-23高二上?江蘇泰州?期中）已知橢圓￡:工+與=1（%>4>0）與雙曲線C,J-2=1（%>0,6,>0）

ax%b?

有公共的焦點(diǎn)K，F(xiàn)2,設(shè)尸是G，G的一個(gè)交點(diǎn)，C與。2的離心率分別是%則下列結(jié)論正確的有

（）

A.|所卜|尸閶=廳+fB.4的面積5=她

兀12）ZFPKb

C.若/RPF2r則F+==4D.tan^^=U2

3G與，"i

三、填空題

22

8.（22-23高二上?全國?期中）若雙曲線C:土-匕=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,尸是。上的點(diǎn)（異于A,

43

B）,則直線R4與依的斜率乘積等于.

9.（23-24高二上?廣西南寧?期中）已知拋物線C:/=8x,過拋物線焦點(diǎn)產(chǎn)的直線與拋物線交于

4（%,,%）,3（%2，%），貝I]%尤2=.

8

22

10.（22-23高三下?遼寧本溪?階段練習(xí)）如圖，已知橢圓C工+上=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,8,點(diǎn)尸

1612

是直線x=-8上的一點(diǎn)，直線P8交C于另外一點(diǎn)記直線抬，AM的斜率分別為尤，k2,則派2=.

22

11.（24-25高三上?云南大理?開學(xué)考試）已知橢圓C:=+2=l（a>b>0）過點(diǎn)P（3,l）,焦距為4點(diǎn)，斜率

ab

為的直線I與橢圓C相交于異于點(diǎn)尸的M,N兩點(diǎn)，且直線PM,PN均不與x軸垂直.

⑴求橢圓C的方程.

（2）記直線PM的斜率為K，直線PN的斜率為k2,證明:左色為定值.

⑶若|MN|=廂,A為橢圓C的上頂點(diǎn)，求AMN的面積.

12.（20-21高三上?西藏日喀則?階段練習(xí)）設(shè)拋物線C:y2=4x,尸為C的焦點(diǎn)，過尸的直線/與C交于4

B兩點(diǎn).

⑴若/的斜率為2,求|明的值;

⑵求證：0408為定值.

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2024高二上,江蘇?專題練習(xí)）已知橢圓E：1r+%?=：!（.>6>0）經(jīng)過點(diǎn)（2,碼,右焦點(diǎn)為“2,0）,A,

8分別為橢圓E的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，若過（0」）且斜率存在的直線/與橢圓E交于CD兩點(diǎn)，直線3。與直線

AC的斜率分別為尢和自，則勺的值為（）

2

A.1B.3C.2D.-

3

二、多選題

2.（24-25高三上?江蘇南京?開學(xué)考試）拋物線C:/=2py的焦點(diǎn)為￡尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到a2）

時(shí)，|尸耳=4,直線/與拋物線相交于A3兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線的方程為：f=8y

B.拋物線的準(zhǔn)線方程為：V=-4

C.當(dāng)直線/過焦點(diǎn)產(chǎn)時(shí)，以AF為直徑的圓與x軸相切

9

D.當(dāng)直線/過焦點(diǎn)/時(shí)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切

三、填空題

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知曲線C的方程為X2-E=1（X21）,設(shè)點(diǎn)T