2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：排列與組合（解析版）

專(zhuān)題59排列與組合（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................8

【考點(diǎn)1】排列問(wèn)題..........................................................8

【考點(diǎn)2】組合問(wèn)題..........................................................12

【考點(diǎn)31排列與組合的綜合問(wèn)題..............................................15

【分層檢測(cè)】...............................................................19

【基礎(chǔ)篇】.................................................................19

【能力篇】.................................................................26

考試要求：

1.理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.

2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

.知識(shí)梳理

1.排列與組合的概念

名稱(chēng)定義

并按照一定的順序排成一列,叫做從〃個(gè)

排列從〃個(gè)不同元素

元素中取出機(jī)個(gè)元素的一個(gè)排列

中取出m（mWn）

作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m

組合個(gè)元素

個(gè)元素的一個(gè)組合

2.排列數(shù)與組合數(shù)

（1）從n個(gè)不同元素中取出mOnW”）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出

加個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)AT表示.

⑵從n個(gè)不同元素中取出"?（mW"）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出

加個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)CT表示.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

12!

(1)A伊一〃(〃一1)(及一2>??(〃一加十—加].

A伊n(〃-1)(〃-2)…(n—m+1)

公式⑵-A廠(chǎng)加

_?1一("，加￡N*,且加特別地C2—1

加kn—m)!

(1)0!=1；A[="！.

性質(zhì)

(2)c俄=c「m；a=c^+a-i

I常用結(jié)論

1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法（合理分類(lèi)）和間接法（排除法）.分類(lèi)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)

一,避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.

2.對(duì)于分配問(wèn)題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.

真題自測(cè)

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

2

2.（2023?全國(guó)?高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,

則不同的抽樣結(jié)果共有（）?

A.C-C器種B.C2.C或種

D.C%C北種

3.（2023?全國(guó)?高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有

1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

4.（2023?全國(guó)?高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從

這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120

5.（2022?全國(guó)?高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和

丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

6.（2022?全國(guó)?高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

、填空題

7.（2024?全國(guó)?高考真題）在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中,

則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

8.（2024?全國(guó)?高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次,

每次取1個(gè)球.記機(jī)為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，”為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則加與”之差

的絕對(duì)值不大于1的概率為

2

9.（2023?全國(guó)?高考真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修

3

2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

10.（2022?全國(guó)?高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率

為.

參考答案:

題號(hào)123456

答案BDCBBD

1.B

【分析】解法一：畫(huà)出樹(shù)狀圖,結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類(lèi)討論甲乙的位置,結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】解法一：畫(huà)出樹(shù)狀圖，如圖,

甲

乙丙丁

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

丙

甲乙丁

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹(shù)狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法,

其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，

Q1

故所求概率p=五=十

解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種;

當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意;

基本事件總數(shù)顯然是A：=24,

Q1

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為五="

故選：B

2.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

4

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60X￡K=40人，高中部共抽取60xv=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C%c嘉種.

故選：D.

3.C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有或種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有A；=120種，

故選：C.

4.B

【分析】利用分類(lèi)加法原理，分類(lèi)討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,6,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有A；=12

種方法，

同理：女c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

5.B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排歹U方式，

故選：B

6.D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

5

【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法,

若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種，

21-72

故所求概率尸=一=彳.

213

故選：D.

7.24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果，

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a/,c,d),%6,Gd分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11.22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(H,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列

舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果.

8.」

15

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為以第三個(gè)球的號(hào)碼為c,則

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分類(lèi)討論后可求隨機(jī)事件的概率.

【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為。，6,第三個(gè)球的號(hào)碼為。，則”(二一審4；,

故|2c-(<7+6)歸3,故-3W2c-(“+Z043,

6

若c=l,則a+H5,則（。㈤為:（2,3）,（3,2）,故有2種，

若c=2,則1＜。+647,則（a,b）為:（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,4）,

（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,3）,故有10種，

當(dāng)c=3,則3Va+AV9,則（a,6）為：

（1,2）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,5）,

（2,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（5,4）,

故有16種，

當(dāng)c=4,則5Va+Z?Vll,同理有16種,

當(dāng)c=5,貝!]7Va+Z?W13,同理有10種，

當(dāng)c=6,貝!]9Wa+bW15,同理有2種，

共m與”的差的絕對(duì)值不超過(guò)之時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為2（2+10+16）=56,

故所求概率為1=：.

7

故答案為：~

9.64

【分析】分類(lèi)討論選修2門(mén)或3門(mén)課，對(duì)選修3門(mén)，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】（1）當(dāng)從8門(mén)課中選修2門(mén)，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

（2）當(dāng)從8門(mén)課中選修3門(mén)，

①若體育類(lèi)選修課1門(mén)，則不同的選課方案共有C：C：=24種；

②若體育類(lèi)選修課2門(mén)，則不同的選課方案共有CjC；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

3,

10.—/0.3

10

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

7

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共10種選法;

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率尸=記.

3

故答案為：—.

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率尸=歷

3

故答案為：—

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］排列問(wèn)題

一、單選題

1.（2023?遼寧?三模）安排包括甲、乙在內(nèi)的4名大學(xué)生去3所不同的學(xué)校支教，每名大學(xué)生只去一個(gè)學(xué)校,

每個(gè)學(xué)校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有（）

A.36種B.30種C.24種D.12種

2.（23-24高三上?山西運(yùn)城?期末）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦,

這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和3個(gè)表演項(xiàng)目.現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A,B,C分別承擔(dān)這5個(gè)新增項(xiàng)目的比賽,

且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）

A.150種B.300種C.720種D.1008種

二、多選題

3.（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）若m,見(jiàn)為正整數(shù)且〃＞加＞1,則（）

（）1

C.mC：=n-lC'^D.A：+mA：-=A：'+1

4.（23-24高二上?遼寧遼陽(yáng)?期末）某班星期一上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)課，且該天上午總

共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（）

A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法

B.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語(yǔ)文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法

C.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法

D.若語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法

三、填空題

8

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）2023年10月18日，第三屆"一帶一路"國(guó)際合作高峰論壇在北京舉行.在“一帶

一路"歡迎晚宴上，我國(guó)拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國(guó)際貴賓們感受中國(guó)飲食文化、茶文化、酒文

化.這次晚宴菜單中有"全家?！?沙蔥牛肉""北京烤鴨""什錦鮮蔬""冰花鍋貼""蟹黃燒麥""天鵝酥""象形枇

杷”.假設(shè)在上菜的過(guò)程中服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜（每次只上一道菜），貝/沙蔥牛肉""北京烤鴨”相鄰的概率

為.

6.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物，分別取名為"琮琮""蓮蓮""宸宸"，是一組承載深厚

底蘊(yùn)和充滿(mǎn)時(shí)代活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”.現(xiàn)有6個(gè)不同的吉祥物，其中"琮琮""蓮蓮"和"宸宸"各2

個(gè)，將這6個(gè)吉祥物排成前后兩排，每排3個(gè)，且每排相鄰兩個(gè)吉祥物名稱(chēng)不同，則排法種數(shù)共有.

（用數(shù)字作答）

參考答案:

題號(hào)1234

答案BAADABC

1.B

【分析】利用間接法，先求所有的可能情況，再排除甲、乙安排在同一所學(xué)校的可能情況.

【詳解】若每名大學(xué)生只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少去1名，則不同的安排方法有CjA；=36種,

若甲、乙安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有A；=6種，

所以甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有36-6=30種.

故選：B.

2.A

【分析】分3,1』和2,2,1兩種情況，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)3,1,1個(gè)項(xiàng)目，則有=60種安排,

若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)2,2,1個(gè)項(xiàng)目，則有6=90種安排,

綜上，不同的安排方法有60+90=150種.

故選：A

3.AD

【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算即可判斷.

【詳解】對(duì)A：由組合數(shù)性質(zhì)：C：=C；E可知，A正確;

9

對(duì)B：€：；=&■,故B錯(cuò)誤；

73!

m_加一(D!，-1\f~\m-l_/

又寸C：mC〃-m"■一■■一〃~-,(〃-1)C_]—(〃-1)■",左右

m\(ji—m)\(m—l)!(n—m)!(m—l)!(n—m)!(m—l)!(n—m)!

不相等，故C錯(cuò)誤；

.riIriI,,nIriI

=5+1)7-A；=(("+?x=A；+1,故D正確.

故選：AD

4.ABC

【分析】選項(xiàng)A將數(shù)學(xué)排在后三節(jié)，再將其余3個(gè)科目全排列即可；選項(xiàng)B采用捆綁法進(jìn)行求解；選項(xiàng)C

采用插空法進(jìn)行求解；選項(xiàng)D根據(jù)除序法進(jìn)行求解.

【詳解】對(duì)于A(yíng),有3A：=18種排法，故A正確；

對(duì)于B,采用捆綁法，有A；=6種排法，故B正確；

對(duì)于C,采用插空法，有A；A；=12種排法，故C正確；

對(duì)于D,有冬=4種排法，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

1,

5.-/0.25

4

【分析】根據(jù)元素相鄰關(guān)系進(jìn)行捆綁并結(jié)合排列問(wèn)題得出結(jié)果.

【詳解】服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜有A：種排法，

"沙蔥牛肉"，"北京烤鴨"相鄰有A；種排法，

A2.A71

所以所求概率尸

A；4

故答案為：

6.336

【分析】

分兩種情況，前排含有兩種不同名稱(chēng)的吉祥物和前排含有三種不同名稱(chēng)的吉祥物，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行

求解.

10

【詳解】

由題意可分兩種情形：

①前排含有兩種不同名稱(chēng)的吉祥物，

首先，前排從"琮琮""蓮蓮"和"宸宸"中取兩種，有C；種情況，

從選出的兩種吉祥物中，其中一種取兩個(gè)，另一種選一個(gè)，有c；c；c；種排法，

選出的三個(gè)吉祥物進(jìn)行排列，選一個(gè)的一定放中間，名字相同的放兩邊，

由于屬于不同的吉祥物，故有A；種排法，

綜上，有C；C；C；C；A：=24種排法；

其次，后排剩余兩個(gè)相同名字的吉祥物和另一個(gè)名字不同的吉祥物，

故有A；=2種排法，故共有24x2=48種不同的排法；

②前排含有三種不同名稱(chēng)的吉祥物，

先從"琮琮""蓮蓮"和"宸宸"各二選一，有C；C；C；種選法，

再進(jìn)行全排列，故有C；C；C；A；=48種排法；

同理后排有A；=6種排法，止匕時(shí)共有48x6=288種排法；

因此，共有48+288=336種排法，

故答案為:336.

反思提升：

排列應(yīng)用問(wèn)題的分類(lèi)與解法

(1)對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)

一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類(lèi)過(guò)多

的問(wèn)題可以采用間接法.

(2)對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件

的排列問(wèn)題的常用方法.

【考點(diǎn)2】組合問(wèn)題

一、單選題

1.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))將8個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個(gè)名額，

則不同的分配方案種數(shù)為()

A.56B.84C.126D.210

11

2.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）若S（"）=f”與c,則5（98）=（）

M（左+1）伏+2）

101Kl010

“2-102。2-101「2°-101c2"-100

A.-------D.------------------C.--------------D.-------------

102001020099009900

二、多選題

3.（2023?吉林?三模）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若4人中男生女生各選2人，則有18種選法

B.若男生甲和女生乙必須在內(nèi)，則有12種選法

C.若男生甲和女生乙至少有1人在內(nèi)，則有15種選法

D.若4人中既有男生又有女生，則有34種選法

4.（2024?河南信陽(yáng)?二模）下列命題中真命題是（）

A.設(shè)一組數(shù)據(jù)4孫…,％的平均數(shù)為"方差為$2,則$2=,￡尤；-（可2

〃i=\

B.將4個(gè)人分到三個(gè)不同的崗位工作，每個(gè)崗位至少1人，有36種不同的方法

C.一組數(shù)據(jù)148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位數(shù)為158

D.已知隨機(jī)變量乂的分布列為「（*=7）=吊%（，=1,2,3,...,100）,則。=粉

三、填空題

5.（2024?湖北?二模）已知x,y,zeN*,且y>2,z>3,則方程x+y+z=10的解的組數(shù)為.

6.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）將1到10這10個(gè)正整數(shù)平均分成甲、乙兩組，每組5個(gè)正整數(shù)，且甲組的中位

數(shù)比乙組的中位數(shù)小1,則不同的平分方法共有種.

參考答案:

題號(hào)1234

答案BCADABC

1.B

【分析】將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為將10個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名額的分法,

利用隔板法即可求解.

【詳解】將8個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個(gè)名額的分法，

等價(jià)于將10個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名額的分法.

用3個(gè)隔板插入10個(gè)小球中間的空隙中，將球分成4堆，

由于10個(gè)小球中間共有9個(gè)空隙，因此共有C；=84種不同的分法.

故選：B.

2.C

12

【分析】利用組合數(shù)公式可得,再求和并結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出5("),然后

(左+1)(左+2)(〃+2)(〃+1)

賦值即得.

n\n\

【詳解】依題意,

(左+1)(左+2)(%+2)(左+1)?%!(〃一%)!(女+2)!("_%)!

1(幾+2)!

(〃+2)5+1)(左+2)![(〃+2)—(％+2)]!(n+2)(n+l)

「左+2

11,+2

則$(")=￡5+2ZC震=(ZC—久)

k=0(〃+2)(九+1)(〃+2)(〃+1)氏=0(〃+2)(〃+1)k=0

12n+2-n-3

[2"+2-(H+2)-1]=

(〃+2)(〃+1)(〃+2)(〃+1)

2100-101

所以5(98)=

9900

故選：C

n\

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：正確掌握并運(yùn)用組合數(shù)公式C：而二初及階乘的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

ml

3.AD

【分析】選項(xiàng)A、B根據(jù)組合及分步計(jì)數(shù)原理的知識(shí)可列出表達(dá)式，進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果；選項(xiàng)C、D可采用

間接的方法，先計(jì)算出反面一共有多少種，然后用總的種數(shù)減去反面的種數(shù)即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,依題意，根據(jù)組合及分步計(jì)數(shù)原理，可知一共有=6x3=18種.所以該選項(xiàng)正確;

對(duì)選項(xiàng)B,依題意，要從7名同學(xué)中選取4人，而甲乙必須在內(nèi)，則相當(dāng)于從5名同學(xué)中選取2人，一共有

砥=10種.所以該選項(xiàng)不正確；

對(duì)選項(xiàng)C,依題意，要從7名同學(xué)中選取4人，一共有C：=35種，而甲乙都不在內(nèi)一共有C；=5種，

.?.甲與乙至少要有1人在內(nèi)有C；-C；=35-5=30種.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D,依題意，假設(shè)全是男生一共有C：=l種，全是女生的情況沒(méi)有，

,既有男生又有女生一共有C；-C：=35-1=34種.所以該選項(xiàng)正確.

故選：AD

4.ABC

【分析】對(duì)于A(yíng),由方差公式平均數(shù)公式化簡(jiǎn)即可；對(duì)于B,由先分組再分配即可；對(duì)于C,由百分位數(shù)的

定義求解即可；對(duì)于D,由所以概率之和為1,裂項(xiàng)求和即可判斷.

1〃7

【詳解】對(duì)于A(yíng),由方差定義可得$2=—2(%-可

ni=l

所以52=工￡任2-2XjX+)=—-2x^xi+加之］

n

NJ=13=1i=l)

13

=—^^-2rix2+rix^=—^j^-x2,A正確；

對(duì)于B,先把4個(gè)人分成3組，每組至少一個(gè)人，有Cj=6種分法,

再把三族人分配到三個(gè)不同的工作崗位，有A；=6種分配方法，

所以共有6x6=36種不同的方法，故B正確;

對(duì)于C,10x75%=7.5,所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為158,故C正確;

對(duì)于D,尸(X=J=一4)?=1,2,3,…,100),

2(ZI1)kIII1J

111111Cl1110°〃1而山_101

?T以Q|1---1-----F???H---------I=QI1-------------1所以”而,故D錯(cuò)誤.

(223100101J1101J101

故選：ABC.

5.15

【分析】問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的方法個(gè)數(shù)，

利用隔板法求解即可.

【詳解】由題意，原問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的

方法個(gè)數(shù)，在7個(gè)相同的小球之間形成的6個(gè)空中，任選2個(gè)放入兩個(gè)隔板，共有C；=?==15種方法，

2x1

即方程x+y+z=10的解的組數(shù)為15.

故答案為：15

6.36

【分析】首先確定甲和乙的中位數(shù)，再?gòu)钠渌臄?shù)字分組，利用組合數(shù)公式，即可求解.

【詳解】依題意，甲組的中位數(shù)必為5,乙組的中位數(shù)必為6,

所以甲組另外四個(gè)數(shù)，可從L2,3,4和7,8,9,10這兩組數(shù)各取2個(gè)，共有C：Cj=36.

故答案為：36

反思提升：

組合問(wèn)題常有以下兩類(lèi)題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元

素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題必須十分重視“至少”與“至多

這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類(lèi)復(fù)

雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.

【考點(diǎn)3】排列與組合的綜合問(wèn)題

一、單選題

14

1.（22-23高三下?湖北?階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A3,C三

個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在A(yíng)小區(qū)的概率

為（）

19310025

A.-----B.-----C.—D.一

24324339

2.（22-23高三下?江蘇蘇州?開(kāi)學(xué)考試）將六枚棋子A,B,C,D,E,尸放置在2x3的棋盤(pán)中，并用紅、黃、

藍(lán)三種顏色的油漆對(duì)其進(jìn)行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子48的顏

色必須相同，則一共有（）種不同的放置與上色方式

A.11232B.10483C.10368D.5616

二、多選題

3.（21-22高二?全國(guó)?單元測(cè)試）帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，貝|（）

A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有45種放法

B.放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有C：種放法

C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有C；C；種放法

D.全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有C；A：種不同的放法

三、填空題

4.（2024?廣東佛山?二模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車(chē)，已知3人都將在第4站至第8站

的某一公交站點(diǎn)下車(chē)，且在每一個(gè)公交站點(diǎn)最多只有兩人同時(shí)下車(chē)，從同一公交站點(diǎn)下車(chē)的兩人不區(qū)分下

車(chē)的順序，則甲、乙、丙3人下車(chē)的不同方法總數(shù)是.

5.（2023?廣東汕頭?三模）現(xiàn)在有5人通過(guò)3個(gè)不同的閘機(jī)進(jìn)站乘車(chē)，每個(gè)閘機(jī)每次只能過(guò)1人，要求每個(gè)

閘機(jī)都要有入經(jīng)過(guò)，則有種不同的進(jìn)站方式（用數(shù)字作答）

參考答案:

題號(hào)123

答案BCACD

1.B

【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去A的情況數(shù)，從而得到甲不去A小區(qū)的情況數(shù)，再

結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有35=243種情況，

再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，

5人被分為3,1,1或2,2,1

當(dāng)5人被分為3,1,1時(shí)，情況數(shù)為C；xA；=60；

15

當(dāng)5人被分為2,2,1時(shí)，情況數(shù)為生與蟲(chóng).=90；

A；

所以共有60+90=150.

由于所求甲不去A,情況數(shù)較多，反向思考，求甲去A的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，

當(dāng)5人被分為3,1,1時(shí)，且甲去A,甲若為1,則C；xA；=8,甲若為3,則C；xA；=12

共計(jì)8+12=20種，

當(dāng)5人被分為2,2,1時(shí)，且甲去A,甲若為1,則"|xA；=6,甲若為2,貝|C；xC；xA；=24,共計(jì)6+24=30

種，

所以甲不在A(yíng)小區(qū)的概率為-（20+3。）=W2

243243

故選：B.

2.C

【分析】進(jìn)行顏色分配，然后利用分類(lèi)原理的相加和分步相乘的原理進(jìn)行分析即可.

【詳解】①3個(gè)1,3個(gè)2,0個(gè)3如表：

□0

000

只用兩種顏色，并選取兩個(gè)位置放此時(shí)有：A；（C；+C；）=36種,

②1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3如表:

000

000

選用三種顏色（1+2+3,且只用一次的顏色放在拐角），并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：C〉A(chǔ)，（C；+C；）=96

種，

或

000

000

選用三種顏色（1+2+3,且只用一次的顏色放在中間），并選取兩個(gè)位置放物此時(shí)有：C>ANC：+C；）=48

16

種，

③2個(gè)工，2個(gè)2,2個(gè)3如表:

0

00

選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個(gè)位置放A3,此時(shí)有：C；?A；=18種,

或

n0

Q0

選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：C；?A；=18種,

所以不同的放置與上色方式有：

（36+96+48+18+18>A；?A：=10368.

故選：C.

3.ACD

【分析】對(duì)A：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；對(duì)B：分類(lèi)討論一共用了幾個(gè)球，再結(jié)合捆綁法運(yùn)算求解;

對(duì)C：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；對(duì)D：利用捆綁法運(yùn)算求解.

【詳解】對(duì)于A(yíng)：每個(gè)球都可以放入4個(gè)不同的盒子，貝IJ共有4x4x4x4x4=45種放法，A正確；

對(duì)于B：放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，則有：

全部投入4個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有

C；A：=240種放法，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：先選擇4個(gè)球，有C：種，再選擇一個(gè)盒子，有C；種，故共有C：C；種放法，C正確；

對(duì)于D：全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，則相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共

有C；A：=240種放法，D正確;

故選：ACD.

4.120

【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車(chē)和3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車(chē)，

另人在另外一公交站點(diǎn)下車(chē)，兩種情況討論即可，

【詳解】由題意，3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)工人獨(dú)自出下車(chē)，共有A；=60種，

17

3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車(chē)，另1人在另外一公交站點(diǎn)下車(chē)，共有C；A；=60種，

故甲、乙、丙3人下車(chē)的不同方法總數(shù)是60+60=120種.

故答案為：120.

5.720

【分析】考慮1+1+3和2+2+1兩種情況，結(jié)合同一閘機(jī)的不同人的順序，計(jì)算相加得到答案.

【詳解】將5人分為3組，有1+1+3和2+2+1兩種情況：

當(dāng)分組為1+1+3時(shí)：共有.A；=360；

當(dāng)分組為2+2+1時(shí)：共有V7^A，A；?A；=360；

A?

綜上所述：共有360+360=720種不同的進(jìn)站方式.

故答案為：720.

反思提升：

（1）對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件

的排列問(wèn)題的常用方法.

⑵對(duì)于分堆與分配問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)

①處理分配問(wèn)題要注意先分堆再分配.

②被分配的元素是不同的.

③分堆時(shí)要注意是否均勻.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?貴州?三模）2023年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖

北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來(lái)自某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少

有一名同學(xué)，則不同的站法有（）種.

A.48B.64C.72D.120

2.（2024?廣東深圳?二模）已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，

丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（）

A.72種B.96種C.144種D.288種

3.（2024?河北邯鄲?二模）某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，己排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2

個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（）

18

A.12B.18C.20D.60.

4.（2024?山東煙臺(tái)?一模）將8個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放

2個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（）

A.3B.6C.10D.15

二、多選題

5.（23-24高三上?福建廈門(mén)?期中）以下結(jié)論中，正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z（l—3i）=2-i,則+

B.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-2i|=l,則忖的最大值為3

C.已知復(fù)數(shù)2=。+歷，其中ae{—2,0,1}4€{0,1,4,9},則復(fù)數(shù)2=。+歷是純虛數(shù)的概率為；

D.A,B,C,D,E五名學(xué)生按任意次序站成一排，則A和8站兩端的概率為《

6.（2023?湖北武漢?一模）已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3（”,p）,其中〃wN*,0<p<l,記X為奇

數(shù)的概率為。，X為偶數(shù)的概率為6,則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.a-\-b=l8.2=3時(shí)，々=6

c.0<p<g時(shí)，。隨著"的增大而增大D.J<P<1時(shí)，。隨著〃的增大而減小

7.（2024?山東青島?一模）袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，

設(shè)事件A="取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)"，事件3="取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)"，事件C="取出的球的數(shù)

字之和為偶數(shù)"，則（）

A.事件A與B是互斥事件B.事件A與8是對(duì)立事件

C.事件B與C是互斥事件D.事件8與C相互獨(dú)立

三、填空題

8.（23