2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（解析版）

專(zhuān)題24三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】...............................................................10

【考點(diǎn)1］三角函數(shù)的定義域和值域............................................10

【考點(diǎn)2】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性..................................15

【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的單調(diào)性..................................................22

【分層檢測(cè)】...............................................................27

【基礎(chǔ)篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................34

【培優(yōu)篇】.................................................................38

考試要求：

1.能畫(huà)出三角函數(shù)的圖象.

2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（?。┲?

3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì).

■知識(shí)梳理

L用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

（1）正弦函數(shù)尸sinx,xG［O,2同的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:（0,0）,1,1）,（71,0）,停,

（2兀，0）.

⑵余弦函數(shù)尸cosx,日0,2兀］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,住o）,（口，一1）,修，0）,

（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左WZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象/I\1T2P

.ljr

定義域RR且杼女兀+弓

值域LI，11Ll，11R

最小正周期2兀2兀71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

（左兀一與左兀+習(xí)

遞增區(qū)間2kn—^,2E+J「2左兀一兀，2-兀］

?兀-T?3兀

遞減區(qū)間2E+],2^71+~「2左兀,2%兀+兀］無(wú)

,+$0)住，。

對(duì)稱(chēng)中心（女兀，0）)

對(duì)稱(chēng)軸方程x=kn~\~x=kjt無(wú)

|常用結(jié)論

1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心、相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱(chēng)中

心與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是9個(gè)周期.正切曲線相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間的距離是半個(gè)周期.

2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為j=Asincox或y=Atan①x的形式，偶函數(shù)一般可化為y=Acos

（ox-\-b的形式.

3.對(duì)于尸tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間［兀苫，內(nèi)為增

2

函數(shù).

.真題自測(cè)

一、單選題

71

1.（2023?全國(guó)?高考真題）函數(shù)y=/（九）的圖象由函數(shù)y=cos（2x+Ej的圖象向左平移器個(gè)單位長(zhǎng)度得到,

6

則y=/（x）的圖象與直線y的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

712兀

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)〃x）=sin（Gx+0），3>O）在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x=B和x=§

6'TO3

5兀

為函數(shù)V=/（x）的圖像的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸，則/（）

12

A.4

B.CD.—

2-I2

3.(2022?全國(guó)?iWj考真題)設(shè)函數(shù)在區(qū)間（0,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值

范圍是（）

5135191381319

A.B.C.D.

37~639~6~6,3~6,~6

71JT

4.（2022,全國(guó)考真題）函數(shù)y=（3"—3一、）cos%在區(qū)間-的圖象大致為（）

2

5.（2022?全國(guó)?高考真題）記函數(shù)f（x）=sin<T<%,且y=f(x)

71

的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則/()

3

35r

A.1B.—C.-D.3

22

二、多選題

6.（2022?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/0）=5皿2》+切（0＜夕＜無(wú)）的圖像關(guān)于點(diǎn)（^,0）中心對(duì)稱(chēng)，則（）

A.在區(qū)間單調(diào)遞減

B./（x）在區(qū)間（—五石"］有兩個(gè)極值點(diǎn)

7兀

c.直線X=：是曲線丁=/（尤）的對(duì)稱(chēng)軸

O

D.直線y=走-x是曲線＞=/（元）的切線

-2

三、填空題

7.（2023?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/■（x）=cosw-l（O＞0）在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范

圍是?

8.（2023?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)〃x）=sin（0x+。），如圖A,B是直線y=J與曲線y=/（%）的兩個(gè)交

點(diǎn)，若|AB|=g貝仃（兀）=____.

6

9.（2022,全國(guó)?高考真題）記函數(shù)f（x）=cos（cox+^＞）（a＞＞0,0＜。＜兀）的最小正周期為T(mén),若/'（T）=,x=—

為于（X）的零點(diǎn)，則a的最小值為.

10.（2021?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/（x）=2cos（0x+0）的部分圖像如圖所示，則滿足條件

（/（X）—/［一—的最小正整數(shù)x為.

4

1.c

【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，(x)=-sin2x,再作出/■(力與〉=?！?；的部分大致圖像，考慮

特殊點(diǎn)處/(尤)與y=的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.

【詳解】因?yàn)閥=cos(2x+「向左平移自個(gè)單位所得函數(shù)為〉=儂2\x+^]+y=cos(2x+，|=-sin2x,

koyoV0/0」V

所以〃無(wú))=-sin2x,

而y=gx_g顯然過(guò)(o,與(i,o)兩點(diǎn)，

作出f(x)與y=的部分大致圖像如下，

yi

,,一1丫1

七4c371c371c7K3TI3TI7?！癨-11_.&n

考慮2x-,2x=—,2x=—,BNRLJx=,x=—x=—y=-x--的大小r關(guān)系,

22244

當(dāng)戶卡時(shí)‘小二=Tin1/=T,y=.'3兀113兀+4

「4廠2-8<b

、I,3兀x/3兀).3兀13TI13兀一4

當(dāng)欠二—時(shí)，/—=-sin—=1,y=-x--------=<1：

414J2,2428

、1,771l,7兀).7兀17兀1771-41

n>1；

414J272428

所以由圖可知，f(x)與y=3x-g的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

2.D

5

5兀

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入X=即可得到答案.

兀2兀

【詳解】因?yàn)?■（x）=sin（0x+°）在區(qū)間單調(diào)遞增,

6'3

T2兀7tit2兀

所以萬(wàn)=9y=5,且0>°,貝用=?！?2.

當(dāng)X=￡時(shí)，/'（X）取得最小值，則2譚+0=2加一:，keZ,

則°=2防I-技5兀，keZ,不妨取左=0,貝!J/(x)=sin[2_r_票)，

6

5兀5兀_V|

則/一,

1232

故選：D.

3.C

【分析】由X的取值范圍得到0X+1TT的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

【詳解】解：依題意可得0>0,因?yàn)閤e（O,i）,所以++

要使函數(shù)在區(qū)間（0,萬(wàn)）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又、=5也》，3萬(wàn)］的圖象如下所示：

川

1-

~O~

貝lj竽<0萬(wàn)+彳43%，解得即

2363I63

故選：C.

4.A

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】令/⑴=（3「3』）COSX,XG，

貝［J/（-x）=（3T-3x）cos（-x）=-（3X-3T）cosx=-"x）,

所以〃x）為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)時(shí)，3-3T>0,cosx>0,所以〃x）>0,排除C.

故選：A.

6

5.A

【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.

【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足?＜丁〈萬(wàn)，得?＜‘＜?,解得2＜。＜3,

33CD

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn),2〕對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)￡=左肛左eZ,且b=2,

所以0=_：+'|匕左eZ,所以0=/(x)=sin]gx+?]+2,

所以d「=sin[9+￡|+2=L

故選：A

6.AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出.

2兀4兀[4兀

【詳解】由題意得：fsin+。)=0,所以彳+。=%兀，keZ,

33

47r

即^:一三+而/七%,

2兀,故/(x)=sin[2x+/1.

又0＜夕(兀，所以上=2時(shí)，^=—

?「八5兀、,八2兀2兀3Ji5兀

對(duì)A,當(dāng)時(shí)，2x+—e，由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=f(%)在0,上是單調(diào)遞減;

33212

711171,_2K715兀

對(duì)B,當(dāng)工￡時(shí)，2%H-----G，由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=/(x)只有1個(gè)極值點(diǎn)，由

12'1232'2

2x+?=J解得》=泮即x=為函數(shù)的唯一極值點(diǎn);

77r27r7Tt77r

對(duì)C,當(dāng)工=:時(shí)，2x+—=3K,/(—)=0,直線X=L不是對(duì)稱(chēng)軸;

6366

2兀2兀

對(duì)D,由y'=2cos2x+——1得:cos2x+

332,

2兀27r27t4兀

解得2x+W2E或2x+W2E,左eZ,

3333

、71

從而得：x=E或%=§+左兀,左WZ,

所以函數(shù)y=/(尤)在點(diǎn)[0，+J處的切線斜率為k=以=。=2cosy=-1,

切線方程為：(%-°)即＞=~^~~x.

故選：AD.

7

7.［2,3）

【分析】令/（x）=。，得cos0x=l有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)樗?/p>

令/（尤）=cosox—l=0,則cos（yx=l有3個(gè)根，

令t=a＞x,則cost=l有3個(gè)根，其中te［O,2＜W7t］,

結(jié)合余弦函數(shù)y=cosf的圖像性質(zhì)可得4兀〈2環(huán)＜6兀，故24。＜3,

尸cost

故答案為：［2,3）.

8.一曲

2

【分析】設(shè)A［占,；）,8卜2，￡|,依題可得，々-占=￡,結(jié)合sinx=：的解可得，0（x?-xj=g,從而得

到0的值，再根據(jù)/（|\=0以及〃0）＜0,即可得/（x）=si“4x-W，進(jìn)而求得〃兀）.

［詳解］設(shè)A、］,小"J,由網(wǎng)4可得超一七=￡,

I兀、5兀

由sin%=—可知，％=—+2e或％=—+2E,kwZ,由圖可知，

266

a>x2+夕一(①%+0)=:兀一弓弓，即口(%2一%)=g，.,.co=4.

.［8K、八叱…8兀8

因?yàn)榱藄mly+1=0,所以可+(p=ku,BP(p=--Ti+kjiZeZ.

3

八一2兀+配,

所以/(%)=sin4x-%+E=sin2

3JI3J

所以/(x)=sin(4x-2|?兀］或/(x)=-sin(4x-|兀］,

3

又因?yàn)榱刷?lt;0,所以〃x)=sin14x-gj,兀)=sin14兀一f=一!.

故答案為：-坐.

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)F（尤）的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),

以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

9.3

8

【分析】首先表示出T,根據(jù)〃T)=岑求出。，再根據(jù)x=2為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出。的取值，從而得

解；

【詳解】解：因?yàn)椤╔)=COS(0X+e),((9>0,0<?<兀)

所以最小正周期T=—,因?yàn)?(T)=cos^-—+(P^=COS(2TI+(P)=COSq>=,

乂0<夕<無(wú)，所以夕=巳，即〃x)=cos(0x+(j,

又x=g為了("的零點(diǎn)，所以10+5=5+祈，462,解得o=3+9KZeZ,

9962

因?yàn)椤?gt;0,所以當(dāng)上=0時(shí)/in=3；

故答案為：3

10.2

【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)/⑺的解析式，再求出了(-：)"(蒲)的值，然后求解三角不等式可得最小正

整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.

【詳解】由圖可知=37=等13TT一冗個(gè)=37r?，即7=2二冗=/，所以。=2；

41234co

由五點(diǎn)法可得2xg+e=g,即e=-g

326

所以/(x)=2cos(2x-f.

r~i、r/?/7兀、_(11兀11工/4九、c/5兀)八

因?yàn)?(一-—)=2cosl---1=1,f(―)=2cosII=；

所以由(/(%)-F(-97)ir)(/(x)-/4o71)>0可得f(x)>1或/(x)<0；

43

因?yàn)椤╨)=2cos(2q]<2cosg-j=l,所以，

方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足F(x)<。，即COS(2X-￡1<0,

解得左兀+巴〈尤〈左兀+2,%eZ,令左=0,可得<色，

3636

可得％的最小正整數(shù)為2.

方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足〃x)<0,又/(2)=2cos(4-崇]<0,符合題意，可得x的最

小正整數(shù)為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解。，根據(jù)特殊點(diǎn)求解夕.

9

彳考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］三角函數(shù)的定義域和值域

一、單選題

1.（23-24高一上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=Jsin卜+：的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

SJTJT

_77L_,7T/,\

A.2AJI---,2防IH（左￡Z）B.2E---,2^71+—（kGZ）

36J66J

__7T__27c/.__\

C.2左71H--,2左兀H----（左￡Z）D.2防uH—,2kiiH---（左￡Z）

6366

2.（23-24高一上?北京朝陽(yáng)?期末）函數(shù)/（x）=|sinx|+cosx是（）

A.奇函數(shù)，且最小值為B.奇函數(shù)，且最大值為0

C.偶函數(shù)，且最小值為一應(yīng)D.偶函數(shù)，且最大值為忘

二、多選題

3.（23-24高三下?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（尤）=cos2x+2sinx,則（）

A.Ax）的最小正周期為27tB.Ax）關(guān)于直線x=］對(duì)稱(chēng)

C.Ax）關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)D.Ax）的最小值為-3

4.（2024?貴州貴陽(yáng)?二模）函數(shù)〃x）=Atan（0x+0）（0>O,O<o<7r）的部分圖象如圖所示，則（）

B./（X）在0,1上的值域?yàn)?而3后+8）

c.函數(shù)y="（x）|的圖象關(guān)于直線X號(hào)對(duì)稱(chēng)

D.若函數(shù)y="（x）|+X/（x）在區(qū)間詞］上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是［-M］

三、填空題

jr

5.（2024?遼寧?二模）如圖，在矩形ABCD中，48=4,3C=2,點(diǎn)瓦產(chǎn)分別在線段8C,8上，且NE4尸=7,

10

則屈.市的最小值為

6.(2021?河南關(guān)B州?二模)在團(tuán)ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,=l,A=—，若助+c有

a4

最大值，則實(shí)數(shù)幾的取值范圍是—.

參考答案：

1.A

【分析】首先求出定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可得到單調(diào)增區(qū)間.

【詳角軍】令sin[x+g)>0,可得2左%4%+事42左》+犯左EZ.

當(dāng)2k兀―/<x+y<2k兀+Z時(shí)，函數(shù)y=+單調(diào)遞增.

TTTT

所以當(dāng)2%萬(wàn)〈尤+々42%萬(wàn)+&,左eZ時(shí)，/⑺單調(diào)遞增.

32

故Ax)在2k兀-32k兀'J(ZeZ)上單調(diào)遞增.

_36J

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，判定A、B不正確；再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得函數(shù)/'(X)

的最大值和最小值，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=|sin尤|+cosx,可得其定義域xeR,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

且f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=/(x),所以函數(shù)/(尤)為偶函數(shù)，

g|/(2K+x)=|sin(2?t+x)|+cos(2K+x)=|sinx\+cosx=f^x),

所以2兀為y=〃x)的一個(gè)周期，

不妨設(shè)尤以0,2兀],

若xe[0,7t]時(shí)，可得/(x)=sinj:+cosx=y/2sin(x+—),

4

因?yàn)橛萫[0,兀],可得尤+7e[：,--],

444

當(dāng)x+￡=5時(shí)，即x=W時(shí)，可得颯=0；

11

TT5冗

當(dāng)X+：=T時(shí)，即X=7l時(shí)，可得/。)而?=一1;

44

若xe[7i,27i],可得/(x)=-sinx+cos尤=0cos(x+：),

因?yàn)閤e[兀2%],可得xH—e[—,—],

444

當(dāng)嗚=2n時(shí)，即％=與時(shí)，可得了00mx=3;

當(dāng)x+工=2時(shí)，即X=7T時(shí)，可得〃尤).=一1,

447mm

綜上可得，函數(shù)/'(X)的最大值為0,最小值為-1.

故選：D.

3.ABD

【分析】將函數(shù)/(x)=cos2x+2sinx可變形為/。)=-2卜inx-g]+|,結(jié)合函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析計(jì)算即可

得.

【詳解】/(x)=cos2x+2sinx=l-2sin2x+2sinx=-2(sinx-l]+—,

由y=sinx的最小正周期為2兀，故了(力的最小正周期為2無(wú)，故A正確;

+|=/W-

/(71-^)=-2

且/(?！獂)W—/(x),

故/⑴關(guān)于直線x=],不關(guān)于點(diǎn)|J,0｝寸稱(chēng)，故B正確，C錯(cuò)誤;

由

/(x)=-2"x-gj+|>_l.sinxG[-l,l],

故/(X)min=_2x1—1—+：=_3,故D正確.

故選：ABD.

4.CD

【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)的圖象性質(zhì)確定其最小正周期，從而得。的值，再根據(jù)函數(shù)特殊點(diǎn)求得。,A的

值，從而可得解析式，再由正切型三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

TtTT(57r1

【詳解】函數(shù)的最小正周期為T(mén),則有7=—--二=0=1,即/(x)=Atan(尤+0),

12

71711,即/(x)=Atan[x+171J,

由函數(shù)的圖象可知:工+夕=彳=>。=

o23

由圖象可知：/(0)=Atany=2>^=>A=2,所以0.9=1,因此A不正確;

關(guān)于B"(x)=2tan[%+*當(dāng)x=m時(shí)，=故/(%)在x=B處無(wú)定義，

6326

故B錯(cuò)誤.

5兀5兀兀g+x5兀兀

因?yàn)榱?-----x=2tan------x+—=|2tanx|,f=2tan--Fx+—=12tanx1,

33333

5TT57r

所以,/ly+xl,所以函數(shù)y="(x)l的圖象關(guān)于直線尤=/對(duì)稱(chēng)，C正確;

3

71

y=\f(x')\+Af(x)=2tanxH—j+2Xtan|x—I,

3

兀71

當(dāng)時(shí)，

i'6y="(%)I+Zf(x)=

2tanIxH—I+22tan|x—71—2tanIxH—+2Xtan[%§二(2+22)tan[x+]),

33I3

517171

當(dāng)％￡，一(時(shí)，y=|/(尤)|+X/(尤)=2tanxH—I+2XtanIxH—j=-2tan|xH—

6333

+24tan[x+—j—(—2+2%)tan[%+—兀),

3

當(dāng)函數(shù)y="(x)I+?(元)在區(qū)間(-g年)上不單調(diào)時(shí)，則有(2+22)(-2+22)<0^-1<2<1,故D正確.

故選：CD.

5.16(V2-1)

明

，M=I

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得cosecos(：-e,即可由數(shù)量積的定義求解，結(jié)合和差角公

式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.

TT

【詳解】設(shè)/BA石=e[o<e<]J,則ZDAF=一一夕，

4

故吠，網(wǎng)=

cos6cos]：—e

71V242

^,AEAF=A￡|.|AF|cos-=

故42cos。cos[￡-e

8y/28A/2

cos0+\--6j+cos0-\-71-0A/2+cos128一：

44~T

13

當(dāng)=時(shí)，cos2。一四=1,即四時(shí),

4I4）8

此時(shí)通?存取最小值費(fèi)-=16（萬(wàn)T）.

彳+

故答案為：16（0-1）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的表達(dá)式，從而得解,

【分析】由正弦定理可得芻=」/=百，根據(jù)目標(biāo)式結(jié)合正弦定理的邊角互化，易得勸+C

sinBsinC

=J（0"l）2+l-sin（3+。）且tan6>=&；_I、Be］。,7］,可知勿+c存在最大值即B+6=1^,進(jìn)而可求X

的范圍.

粉上=，=_*_=應(yīng)

【詳解】回a=l,A=—,由正弦定理得：sinBsinC拒，

4--

2

cos八"sin/

團(tuán)/lb+c=sinB+sinC)=6九sinB+后sin——5j=九sinB+

2J

,又Be嗎,

(04-1)sinB+cosB=7(A/22-1)2+1-sin(B+6)，其中tan夕=近二

TT7171

團(tuán)"?+c存在最大值，即5+6=大有解，即

2

_51

團(tuán)&-1>0,解得苧，又方Q>1，解得2〈后，故力的范圍是

故答案為：［萬(wàn)―?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系、輔助角公式，結(jié)合三角形內(nèi)角和、三角函數(shù)的性質(zhì)列不等

式組求參數(shù)范圍.

反思提升：

1.求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式（組），解三角不等式（組）常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）常見(jiàn)的幾種類(lèi)型：

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin（0x+0）+c的形式，再求值域（最值）；

⑵形如y=asin2x+Z?sinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=f,化為關(guān)于7的二次函數(shù)求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx十雙sinx土cosx）+c的三角函數(shù)，可先設(shè)f=sinx土cosx,化為關(guān)于/的二

次函數(shù)求值域（最值）.

14

【考點(diǎn)2】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性

一、單選題

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)〃x）=sin（2x-T的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于坐標(biāo)

原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則夕的值可以為（）

2兀兀兀71

A.B.1C.D.

T64

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（x）=3cos（0x+°）。<0,一的最小正周期為兀，在區(qū)間

上單調(diào)遞減，且在區(qū)間I。,，）上存在零點(diǎn)，則夕的取值范圍是（）

71717171

B.C.D.

2i372

3.（2024?北京西城?二模）將函數(shù)/Q）=tanx的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象再關(guān)于，軸對(duì)稱(chēng)，得

到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）=（）

A.1—tanxB.-1—tanxC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

二、多選題

sinx,2kn———<x<2kn+—

44

4.（2024?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/。）=(jteZ)則（)

cosx,2kn+—<x<2左兀+—

44

A.f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=：+bt,（左eZ）

B./（x）的最小正周期為4兀

C.7（幻的最大值為1,最小值為-受

2

7157r

D./⑺在-,71上單調(diào)遞減，在K,—上單調(diào)遞增

5.（2024?遼寧?二模）已知函數(shù)7'0）=?0$（0工+0）（0>0,|0<5）滿足/卜-5）=/（-2,/（￡）+/'[]]=0,

且在|上單調(diào)遞減，則（）

A.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.夕可以等于-:

C.?？梢缘扔?D.。可以等于3

6.（23-24高三上?山西運(yùn)城?期末）已知函數(shù)7'（x）=tan]x+￡|+：l,則（）

A./（x）的一個(gè)周期為2B.7（尤）的定義域是1+太上eZ

C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D."%）在區(qū)間[L2]上單調(diào)遞增

15

7.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=；+V§sins：coss-cos2s若/（%）的圖象在[0,可上有

且僅有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則外的取值范圍是.

8.（2024?四川雅安?三模）已知函數(shù)〃x）=[e-￡[cos2x是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

9.（2023?四川達(dá)州?一模）函數(shù)〃x）=ln浸+%t皿+3,且/'⑺=6,則/（T）的值為.

參考答案：

1.B

JT

【分析】由三角函數(shù)的平移變化結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得2e+g=E,keZ,解方程即可得出答案.

【詳解】因?yàn)椤傲ο蛴移揭葡€(gè)單位后解析式為產(chǎn)sin（2x-2"-2，

又圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

C兀77B兀kjLJC7Y|-t_L7T

:.2（p—=kit,kQZ,:.cp=-----1，攵￡Z,0>0,.,.攵=1日寸，cp——,

3623

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)給定周期求得。=-2,再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點(diǎn)所在區(qū)間列出不等式組，

然后結(jié)合已知求出范圍.

2兀

【詳解】由函數(shù)“幻的最小正周期為兀，得「=兀，而。<0,解得。=-2,

則/（%）=3cos（―2%+。）=3cos（2九一。）,由2kji<2x—（p<2kit+n,kGZ,

TTJT

得2E+0<2x42E+jr+e，kcZ,又/（九）在（一一,一）上單調(diào)遞減，

66

因此;2&71+0工一三,且/V24兀+兀+夕，左￡Z,解得一g—<夕<一/一2左兀,左eZ①，

7171

由余弦函數(shù)的零點(diǎn)，得2%—0=〃兀+,,〃￡Z,BP2X=HK+—+^?,HGZ,

而了（九）在（0，B）上存在零點(diǎn)，則?！磶?￡+Z,

623

于是一mr-g<°<一rni-g/GZ②，又一聯(lián)立①②解得一5<0工一當(dāng)，

262223

所以夕的取值范圍是（-會(huì)-江

故選：B

3.D

【分析】根據(jù)正切函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱(chēng)變換即可得變換后的函數(shù)g（x）的解析式.

【詳解】將函數(shù)f（x）=tanx的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為/（x-l）=tan（x-1）,

16

則函數(shù)/(xT)=tan(x-l)的圖象再關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得函數(shù)g(x)=/(-x-l)=tan(-x-l)=-tan(x+l).

故選：D.

4.AD

【分析】作出函數(shù)/⑴的圖象，對(duì)于A,驗(yàn)算，+是否成立即可；對(duì)于B,由

xwR,f（2兀+x）=/（x）即可判斷；對(duì)于CD,借助函數(shù)單調(diào)性，只需求出函數(shù)Ax）在上的最大值和

最小值驗(yàn)算即可判斷CD.

【詳解】作出函數(shù)/（x）的圖象如圖中實(shí)線所示.

—一立e紅...

F\-142iy=f（x）

37rIT5TT

對(duì)于A,由圖可知，函數(shù)?。┑膱D象關(guān)于直線X=F'X=L=I對(duì)稱(chēng),

對(duì)任意的女￡Z,

/[2hi+^-x1f2兀

sin2kn+--x+cos2AJCH-----x

2I2.I2

=；(cosx+sin%)一；|cos%一sinx|=；(sinx+cosx)-g|sin%一cosx|=/(x),

所以函數(shù)/（犬）的對(duì)稱(chēng)軸為犬=：+E,（左￡Z）,A正確;

對(duì)于B,對(duì)任意的R,/(2TT+X)=/[sin(27r+x)+cos(27i+x)]-Jsin(27r+x)-cos(27i+x)|

=；(sin%+cosx)-g|sinx-cosx|=/(x),

結(jié)合圖象可知，函數(shù)/⑺為周期函數(shù)，且最小正周期為2兀，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由A選項(xiàng)可知，函數(shù)〃犬）的對(duì)稱(chēng)軸為冗=：+E,（左￡Z）,且該函數(shù)的最小正周期為2兀,

jr57r

要求函數(shù)/（X）的最大值和最小值，只需求出函數(shù)/（X）在了彳上的最大值和最小值，

TTS71

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在］，兀上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

JT，兀

所以當(dāng)xe時(shí)，/（x）^=/（n）=cos7t=-1,

17

所以=/]：）=與，因此f（x）的最大值為李，最小值為；，故C錯(cuò)誤；

IT57?

對(duì)于D,由C選項(xiàng)可知，函數(shù)"X）在-,7L上單調(diào)遞減，在71,—上單調(diào)遞增，D正確，

_4J4_

故選：AD.

jr57r

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是求出函數(shù)/（X）在上的最大值和最小值即可，由此即可順

利得解.

5.ABD

【分析】根據(jù)題意，可得函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于x=-￡對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性性

71

質(zhì)可得0=±2,從而判斷選項(xiàng)A、B；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出。的值