2025年高考數(shù)學一輪復習講義：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷版）

專題10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1】指數(shù)累的運算......................................................4

【考點2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應用..............................................5

【考點3】指數(shù)函數(shù)的性質及應用...............................................7

【分層檢測】................................................................9

【基礎篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................11

【培優(yōu)篇】.................................................................12

考試要求：

1.理解有理數(shù)指數(shù)嘉的含義，了解實數(shù)指數(shù)嘉的意義，掌握指數(shù)嘉的運算性質.

2.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.

3.理解指數(shù)函數(shù)的單調性，特殊點等性質，并能簡單應用.

知識梳理

1.根式的概念及性質

n

⑴概念：式子、打叫做根式,這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

⑵①負數(shù)沒有偶次方根.

n

②0的任何次方根都是0,記作訴=。.

n

③(g)"=W(〃GN*,且〃>1).

④為大于1的奇數(shù)）.

n._[a,

⑤而=|a|=《八（〃為大于1的偶數(shù)）.

—g,〃<0

2.分數(shù)指數(shù)幕

m打?----

規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)累的意義是"=應（。>0,m,"GN*,且〃>1）；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)

m1

易的意義是相:=’~（。>0,m,〃GN*,且〃>1）；0的正分數(shù)指數(shù)易等于0；0的負分數(shù)指數(shù)累

沒有意義.

3.指數(shù)幕的運算性質

實數(shù)指數(shù)累的運算性質：aras=ar+s-,（陵）$=貯；（abY=a'br,其中a>0,b>0,r,s@R.

4.指數(shù)函數(shù)及其性質

⑴概念：函數(shù)y=〃（a>0,且aWl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質

a>\0<a<l

二】

圖象

二

i左

定義域R

值域(0,+8)

過定點（0,1）,即x=0時，y=l

性質

當x>0時，y>l；當x<0時，y>l；

2

當x<0時，0<y<l當x>0時，0<y<l

在（一8,+8）上是增函數(shù)在（一8,+8）上是減函數(shù)

丁=〃與的圖象關于y軸對稱

常用結論

1.畫指數(shù)函數(shù)y=〃（a>0,且aWl）的圖象，應抓住三個關鍵點：（1,a）,（0,1）,f-1,\

2.指數(shù)函數(shù)丁=爐3>0,且。#1）的圖象和性質跟。的取值有關，要特別注意應分。>1與0<a<l

來研究.

3.在第一象限內，指數(shù)函數(shù)丁=〃3>0,且aWl）的圖象越高，底數(shù)越大.

*真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）設函數(shù)〃%）=2+甸在區(qū)間（0,1）上單調遞減，則a的取值范圍是（）

A.(-00,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

已知,叱為是偶函數(shù)’則）

2.（2023?全國?高考真題）

A.-2B.-1C.1D.2

已知函數(shù)/（））記。=/座、

3.（2023,全國考真題）■x=e-g2.2J,b=I2J，貝IJ()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.（2022?全國?|Wj考真題）已知9加=10,〃=10加一ll,b=8”一9,貝！J)

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

5.（2022?全國?高考真題）設Q=0.1e°i/c=—ln0.9,則(

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.（2021?全國?高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

?.?4

A.=x2+2x+4B.

C.y=2"+22TD.y=lnx+—

Inx

7.（2023?北京?高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,y）上單調遞增的是()

3

A./（尤）=-lnxB.y（x）=：

c./（%）=--D./（X）=3M

尤

8.（2023?天津?高考真題）設。=1.01。5,6=1。1。6,。=0.6°5,則a,6,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

.考點突破

【考點1】指數(shù)幕的運算

一、單選題

1.（2022?重慶九龍坡?模擬預測）雷達是利用電磁波探測目標的電子設備.電磁波在大氣中大致沿直線傳

播.受地球表面曲率的影響，雷達所能發(fā)現(xiàn)目標的最大直視距離

L=｛（R+%y-R2+&R+生）_笛=8%+h；+個2甌+片（如圖），其中4為雷達天線架設高度，區(qū)為

探測目標高度，R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km,故R遠大于九，%.假

設某探測目標高度為25m,為保護航母的安全，須在直視距離412km外探測到目標，并發(fā)出預警，則艦載

預警機的巡航高度至少約為（）

（參考數(shù)據(jù)：,2x8.49合4.12）

雷達直視距離

A.6400mB.8100mC.9100mD.10000m

2.（2024?廣東深圳?一模）已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù),在區(qū)間（0,+“）上單調遞增，且對任意為,三,

均有〃平成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（）

A.'=1巾B.y=x3C.y=2忖D.J=|x|

二、多選題

3.（2023?云南曲靖?模擬預測）若實數(shù)MV滿足2,+2>J1，則（）

4

A.xvO且yv-lB.x+y的最大值為-3

y-1

c.的最小值為7D.”<2

4.（22-23高一上?江蘇蘇州?階段練習）下列說法正確的是（）

A.若％,且％+y>4,則x,y至少有一個大于2

B.VxeR,正=x

C.若2Vbe4,貝?。菀?<%一/?<4

D.dx2+3+j2+3的最小值為2

三、填空題

3

5.（2023?黑龍江齊齊哈爾?一模）請寫出滿足方程3,-：=log5y的一組實數(shù)對（尤,y）：

______O3

6.（2023?湖北武漢?模擬預測）已知實數(shù)。，6滿足4"+2a=3,log2^3^71+&=-,貝此+：6=

反思提升：

（1）指數(shù)露的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)幕，以便利用法則計算，還應注意：

①必須同底數(shù)幕相乘，指數(shù)才能相加.

②運算的先后順序.

（2）當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).

（3）運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).

【考點2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應用

一、單選題

3無+3r

1.（23-24高三下?山東濟南?開學考試）函數(shù)=的圖象大致為（）

5

2.（23-24高一上?湖北?階段練習）函數(shù)y=log.無+4+2（4>0且中1）的圖象恒過定點小力），若

On+rn

m+n=b-k,n>0,則-----的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.—D.一

22

二、多選題

3.（20-21高一上?山東濟南?期中）下列四個結論中，正確的結論為（）

A.函數(shù)〃x）=x與函數(shù)g（x）=jm相等

B.若函數(shù)f（x）=優(yōu)-。（。>0且的圖象沒有經(jīng)過第二象限，貝必>1

C.當x?l,2）時，關于x的不等式尤2+〃優(yōu)+4<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為旭<-5

D.若函數(shù)的最大值為最小值為機，則M+租=2

2

4.（2024?山東臨沂一模）已知函數(shù)〃x）=k：+a（aeR）,則（）

2—1

A.的定義域為（f,0）U（0,"）

B.〃尤）的值域為R

C.當a=l時，〃尤）為奇函數(shù)

D.當a=2時，/（-x）+/（x）=2

三、填空題

5.（2024?云南曲靖?一模）如圖，在第一象限內，矩形ABCD的三個頂點AB,C分別在函數(shù)

|的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標軸平行，若A點的縱坐標是2,則D點的

11

6.（2023?上海浦東新?模擬預測）設〃x）=x；2x-a+2.若函數(shù)y=〃力的定義域為（—,I）U（LE），則關

于x的不等式a-的解集為

反思提升：

6

L對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、

對稱變換得到.特別地，當?shù)讛?shù)。與1的大小關系不確定時應注意分類討論.

2.有關指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解.

【考點3】指數(shù)函數(shù)的性質及應用

一、單選題

L（2024?黑龍江哈爾濱?一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)

定：100mL血液中酒精含量達到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車.假設某

駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（）（結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

lg3?0.48,lg7^0.85）

A.1B.2C.3D.4

222024?湖北武漢?模擬預測）如果a<x<6,記國為區(qū)間（哂內的所有整數(shù).例如，如果2Vx<3.5,則［x］=3；

如果1.2<x<3.5,則國=2或3；如果2.3<x<2.7,貝打可不存在.已知丁=1+5+A+…+1

，則［r=

婀

()

A.36B.35C.34D.33

二、多選題

3.（2024?湖南?模擬預測）己知函數(shù)"力是定義域為R的偶函數(shù)，g（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且

〃x）+g（x）=2e［函數(shù)*耳=/（2耳-2〃礦（同在［0,+8）上的最小值為_11,則下列結論正確的是（）

A./（力=6'+/B.g（x）在實數(shù)集R單調遞減

C.m=3D.根=—3.3或—

4

?>1

4.（2021?遼寧葫蘆島?二模）設函數(shù)〃司=r王手，則下列選項正確的是（）

A./（力為奇函數(shù)

B.“X）的圖象關于點（0,1）對稱

C./（X）的最小值為e+1

則1-』<左<1+^，且左片1

D.若=上有兩個不等實根,

“尤)Tee

三、填空題

5.（2022?上海普陀?一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對站內進行消毒工作，設在藥物釋放過程中,

7

站內空氣中的含藥量y（毫克/每立方米）與時間（小時）成正比.藥物釋放完畢后，y與x滿足

關系y=9"r（b常數(shù)，X?g）.據(jù)測定，空氣中每立方米的含藥量降低到g毫克以下時，乘客方可進站，則

地鐵站應安排工作人員至少提前分鐘進行消毒工作.

6.（2021?上海松江?一模）從以下七個函數(shù)：>=羽>=',>=元2,'=2",'=108，%>=$也尤,、=8$》中選取兩

X

個函數(shù)記為了（X）和8（尤），構成函數(shù)/（尤）=/（x）+g（x）,若尸（x）的圖像如圖所示，則尸（x）=___.

1.比較指數(shù)式的大小的方法是：（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)幕，再利用單調性比較大??；

（2）不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.

2.指數(shù)方程（不等式）的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行轉化.

3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關性質，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉

及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都栗借助“同增異減”這一性質分析判斷.

易錯警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調性時，當?shù)讛?shù)。與“1”的大小關系不確定時，要分類討論.

.分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）在等差數(shù)列也,｝中，已知生與佝是方程2/-%+〃?=0的兩根，則

人當兒等C.乎

8

2.(2。24?全國?模擬預測)已知小)=二??；廣，是定義在R上的偶函數(shù)，則…二()

A.-4B.0C.2D.4

3.(2024?天津?二模)已知函數(shù)y=/(x)的部分圖象如圖所示，則〃x)的解析式可能為().

X

A.“止*B?小)=|三D./(%)=

4.(2。23?貴州畢節(jié)?模擬預測)已知函數(shù)八")=￡,則對任意非零實數(shù)x,有()

A./(-x)-/(x)=OB.

C./(-x)+/(x)=lD./(-%)+/(%)=-!

二、多選題

5.(2023?全國?模擬預測)對函數(shù)〃尤)，g(x)公共定義域內的任意無，若存在常數(shù)MeR,使得

，(x)-g(x)歸”恒成立，則稱和g⑺是"―伴侶函數(shù)，則下列說法正確的是()

A.存在常數(shù)"eR,使得〃x)=log2(5x)與g(x)=log］是伴侶函數(shù)

B.存在常數(shù)MeR,使得〃尤)=3可與g(x)=3i是加―伴侶函數(shù)

C.，(尤)=lnx與g(x)=x+2是1一伴侶函數(shù)

D.若/㈣=g(x),則存在常數(shù)MeR,使得與g(尤)是"-伴侶函數(shù)

6.(2023?廣東廣州?模擬預測)下歹［J是。>b>c(a,b,g0)的必要條件的是()

A.aobcB.(ac)2>0c)~

C.T~c>T~bD.7"b>代c

7.(2022?全國?模擬預測)在下列四個圖形中，二次函數(shù)”蘇+法與指數(shù)函數(shù)y=的圖象可能是(

9

三、填空題

8.(2021?山東荷澤?二模)寫出一個同時滿足下列兩個條件的非常數(shù)函數(shù)

①當占尤2?。時，/(x1+x2)=/(%1)/(x2)；②“X)為偶函數(shù)

9.(23-24高一上?江蘇宿遷?期末)若命題"he；,+8,2*-加＜0"是假命題，則加的取值范圍為.

10.(2024?寧夏銀川一模)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足〃X)=/(2T),當xe[0,l]時，f(x)=2x.

函數(shù)g(x)=(T＜尤＜3),則/(%)與g(尤)的圖象所有交點的橫坐標之和為.

四、解答題

11.(2021?四川遂寧?模擬預測)已知函數(shù)＞=/(%)定義在H上有/(r)=-/(%)恒成立，且當時，

/W=-(1r+(|r.

(1)求〃-1)的值及函數(shù)/(X)的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)的值域.

12.(21-22高一上?陜西銅川?期末)已知函數(shù)〃元)=(片-3°+3”，是指數(shù)函數(shù).

⑴求/(X)的解析式;

(2)若log.(l-x)＞log.(x+2),求尤的取值范圍.

【能力篇】

一、單選題

1.(2024?寧夏石嘴山三模)定義在R上的偶函數(shù)滿足〃l+x)=/(l-x),且當xe[0,l]時,〃x)=e，-l,

10

若關于X的方程〃x)=M(x+l)(加>0)恰有5個實數(shù)解，則實數(shù)機的取值范圍為()

二、多選題

2.(22-23高三上?江蘇南通?開學考試)若實數(shù)x,>滿足2工+2川=1,m=x+y,〃=+gj，貝卜)

A.尤<0且y<TB.機的最小值為一3

C.〃的最小值為7D.n-2m<2

三、填空題