第2章電磁學(xué)基本理論

一、場量的定義和計(jì)算(一)電場(二)電位(三)磁場

(四)矢量磁位二、麥克斯韋方程組的建立(一)安培環(huán)路定律(二)法拉第電磁感應(yīng)定律(三)電場的高斯定律(四)磁場的高斯定律(五)電流連續(xù)性方程第2章電磁學(xué)基本理論三、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力的大小和它們的電量的乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比。作用力的方向在兩點(diǎn)電荷的連線上，且“同性相斥，異性相吸”。一、庫侖定律實(shí)驗(yàn)§2.1電場的基本物理量

——電場強(qiáng)度

——電位：單位矢量，由施力電荷指向受力電荷：真空介電常數(shù)。：源點(diǎn)位置矢量：場點(diǎn)位置矢量適用范圍：點(diǎn)電荷

R>10-14m庫侖力的疊加原理：二、電場強(qiáng)度1、電場帶電體間的相互作用通過什么實(shí)現(xiàn)呢？實(shí)驗(yàn)證明：電力作用是通過中介物質(zhì)—電場來傳遞的歷史上的兩種觀點(diǎn)：超距作用——無須物質(zhì)傳遞，作用速度無窮大，瞬間即達(dá)近距作用——必須由物質(zhì)傳遞，以有限速度傳遞電荷

電場

電荷

電場的外在表現(xiàn)：

☆帶電體在電場中受到力的作用☆帶電體在電場中移動(dòng)時(shí)，電場力做功☆處于電場中的導(dǎo)體——產(chǎn)生靜電感應(yīng)介質(zhì)——將被極化存在于電荷周圍，能對其他電荷產(chǎn)生作用力的特殊的物質(zhì)稱為電場。電荷是產(chǎn)生電場的源。2、電場強(qiáng)度

定義：單位正電荷在電場中某點(diǎn)受到的作用力稱為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度單位(SI):牛/庫(N/C)

伏/米(V/m)場源場點(diǎn)討論：由是否能說，與成正比，與成反比？

電場強(qiáng)度的計(jì)算：(1)點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度：：源點(diǎn)指向場點(diǎn)例1：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)一點(diǎn)電荷q位于點(diǎn)，計(jì)算空間點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解：點(diǎn)的位置矢量為：點(diǎn)的位置矢量為：由點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的計(jì)算公式其中：(2)

點(diǎn)電荷系的電場強(qiáng)度：是所有點(diǎn)電荷在該場中產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和。(3)連續(xù)帶電體的電場強(qiáng)度：a.線電荷分布：電荷沿某一曲線連續(xù)分布

線電荷密度：

單位長度上的電荷量。上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為：該線電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度：b.面電荷分布：電荷沿空間曲面連續(xù)分布

面電荷密度：單位面積上的電荷量。

上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為：該面電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度：c.體電荷分布:電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布體電荷密度：單位體積內(nèi)的電荷量。上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為：該體電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度:例2：長度為L的均勻帶電直導(dǎo)線位于x軸，線電荷密度為，求距離直線段中點(diǎn)為z處的電場強(qiáng)度。L解：選取直角坐標(biāo)系源點(diǎn)：場點(diǎn)：討論：解：根據(jù)題意，選取圓柱坐標(biāo)系源點(diǎn)：例3：一個(gè)均勻帶電的環(huán)形薄圓盤，內(nèi)徑為a，外徑為b，面電荷密度為，求z軸上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。場點(diǎn)：a=0，實(shí)心圓盤a=0，b→∞，無限大平面a=0，z<<bz>>b，(a=0)無限大均勻帶電平面產(chǎn)生的電場是均勻的,與距離無關(guān)，方向?yàn)樵撈矫娴姆ň€方向。帶電體能否看成無限大或點(diǎn)電荷，不在于其本身絕對尺寸的大小，而在于其到場點(diǎn)距離的相對大小。討論：三、電位

移動(dòng)電荷作功：電荷在靜電場中沿任意路徑以不變速率由P點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)，外力（克服電場力）所做的功為電位差：單位正電荷由P點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)，外力（克服電場力）所做的功稱為A點(diǎn)和P點(diǎn)之間的電位差

1.電位差電位差：電場力將單位正電荷由A點(diǎn)移動(dòng)到P

點(diǎn)所做的功電場力做功可以與重力做功類比電場力做正功，電位減小電場力做負(fù)功，電位增大結(jié)論：空間兩點(diǎn)的電位差只與兩點(diǎn)的位置有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)例4：求原點(diǎn)處一點(diǎn)電荷q的電場中AP兩點(diǎn)之間的電位差。解：選取球坐標(biāo)系，任取一條由P到A的積分路徑。2.靜電場的保守性點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場：PAcd靜電場力沿任一閉合回路移動(dòng)電荷所作的功為零在靜電場中，電場強(qiáng)度的環(huán)量恒為零靜電場處處無旋——靜電場的環(huán)路定理——靜電場是保守場（1）電位定義：外力將單位正電荷是由無窮遠(yuǎn)處移到A點(diǎn)，則A點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處的電位差稱為A點(diǎn)的電位。3.電位該結(jié)果表示以無窮遠(yuǎn)處為零電位參考點(diǎn)。因此A點(diǎn)的電位實(shí)際上是A點(diǎn)和零電位參考點(diǎn)之間的電位差。電位是相對量,依賴于電位零點(diǎn)的選擇兩點(diǎn)間的電位差是絕對量,與電勢零點(diǎn)選擇無關(guān)電位零點(diǎn)的選擇是任意的未選擇電位零點(diǎn)時(shí)的電位：電位零點(diǎn)的選擇原則：使場中各點(diǎn)有確定電位值使電位表達(dá)式盡量簡單一個(gè)系統(tǒng)只能取一個(gè)電位零點(diǎn)通常取為大地或無窮遠(yuǎn)處,但當(dāng)無窮遠(yuǎn)處有源時(shí)，應(yīng)選取其它位置b.連續(xù)分布電荷源的電位線電荷分布：面電荷分布：體電荷分布：（2）電位計(jì)算：a.點(diǎn)電荷的電位：點(diǎn)電荷系的電位：4.電位與電場的關(guān)系

？任意結(jié)論：已知電位求電場空間一點(diǎn)上的電場強(qiáng)度矢量必與過該點(diǎn)的等位面垂直電場強(qiáng)度矢量指向電位的最快下降方向例5:

有一對等量異號(hào)相距很近的電荷構(gòu)成電偶極子,l<<R,求

P點(diǎn)的電位和電場強(qiáng)度。解：取球坐標(biāo)系，P點(diǎn)的電位因?yàn)殡娕紭O矩：解：例6:

兩無限長平行帶電細(xì)線距離為2C，線上電荷均勻分布，線電荷密度分別為和，如圖，求空間電位分布。等位面方程：傳導(dǎo)電流：自由電荷在導(dǎo)體中定向運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的電流運(yùn)流電流：由帶電物體作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的電流位移電流：由電場的變化所形成的電流§2.2磁場的基本物理量

——磁感應(yīng)強(qiáng)度

——矢量磁位補(bǔ)充：電流的相關(guān)概念恒定電流：電流是在電場的作用下電荷的定向運(yùn)動(dòng)，不隨時(shí)間變化的電荷流動(dòng)所形成的電流稱為恒定電流，此時(shí)對應(yīng)的電場稱為恒定電場。電流的分類：電流強(qiáng)度：單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體某橫截面的電量，即II體電流密度(矢量)：大?。旱扔谕ㄟ^與該點(diǎn)場強(qiáng)方向垂直的單位橫截面積上的電流。方向：與該點(diǎn)場強(qiáng)的方向相同單位：A/m2穿過任意曲面的電流：電流密度的變化面電流密度(矢量)：大?。旱扔谕ㄟ^與該點(diǎn)場強(qiáng)方向垂直的單位橫截線上的電流方向：與該點(diǎn)場強(qiáng)的方向相同單位：A/m電流元(矢量)：線電流元：面電流元：體電流元：單位：A?m一、磁感應(yīng)強(qiáng)度產(chǎn)生磁場的源：電流，即運(yùn)動(dòng)的電荷永久磁鐵變化的電場1.磁場：存在于載流回路或永久磁鐵周圍空間，能對運(yùn)動(dòng)電荷施力的特殊物質(zhì)稱為磁場。洛侖茲力：可見：運(yùn)動(dòng)速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度和最大磁場力三者相互垂直，且滿足右手螺旋法則。2.磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義電流元在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：畢奧—薩伐爾定律安培力實(shí)驗(yàn)定律：

3.磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算：畢奧—薩伐爾定律:真空磁導(dǎo)率根據(jù)洛侖茲力：閉合電流回路的磁感應(yīng)強(qiáng)度：畢奧—薩伐爾定律線電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度：面電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度：體電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度：例5：求長為l，載有電流I的細(xì)直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：選用圓柱坐標(biāo)系源點(diǎn)：場點(diǎn)：討論：例6：求如圖所示的電流線I在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：取圓柱坐標(biāo)系將電流線分成三段分別求這三段電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（1）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的（2）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的（3）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度:解：如圖，選用直角坐標(biāo)系上流過的電流為例7：設(shè)一面電流密度為的無限大均勻?qū)Я髅?，求：距該平面h高處的磁感應(yīng)強(qiáng)度？與對稱的取線元其中：該面電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：無限大均勻?qū)Я髅鎯蓚?cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：二、磁通連續(xù)原理1.磁通量

2.磁通連續(xù)性原理穿過空間任意閉合曲面的磁通量恒為零它說明磁感線是連續(xù)的閉合矢線不存在磁單極子磁場是無散場

？1.矢量磁位的引入三、矢量磁位矢量稱為矢量磁位單位:韋伯/米Wb/m

2.矢量磁位的計(jì)算a.線電流矢量磁位計(jì)算庫侖規(guī)范：例8：求電流為I,半徑為a

的小圓環(huán)在遠(yuǎn)離圓環(huán)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：先求再求，選用球坐標(biāo)系源點(diǎn)：場點(diǎn)：當(dāng)時(shí)磁偶極矩：磁偶極子：當(dāng)載流圓環(huán)很小，觀測點(diǎn)遠(yuǎn)離圓環(huán)時(shí)，可將該載流圓環(huán)稱為磁偶極子。S§2.3安培環(huán)路定律——麥克斯韋第一方程一、安培環(huán)路定律引出：研究無限長載流直導(dǎo)線周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度沿閉合回路的積分積分路徑為半徑為r的圓環(huán)：積分路徑為包圍電流I的任意閉合回路：積分路徑為不包圍電流I

的任意閉合回路：任意載流回路的磁場沿任意閉合回路的積分：積分回路中包含多個(gè)電流：說明：磁場的環(huán)量與積分回路所限定的曲面上穿過的總電流有關(guān)電流的正負(fù)取決于電流方向與積分路徑是否符合右手法則磁場的環(huán)量與電流在積分回路所限定的曲面上穿過的位置無關(guān)磁場的環(huán)量與積分回路所限定的曲面的形式無關(guān)磁場的環(huán)量與不穿過積分回路所限定的曲面的電流無關(guān)空間任一點(diǎn)的磁場與所有電流都有關(guān)，由全部電流共同決定——安培環(huán)路定律引入一個(gè)新矢量，令，矢量稱為磁場強(qiáng)度，單位為安培/米（A/m）則：

安培環(huán)路定律：（真空中）磁場強(qiáng)度沿任意回路的線積分，等于該回路所限定的曲面上穿過的總電流。磁場是有旋場，電流是其渦旋源。應(yīng)用安培環(huán)路定律求磁場問題：

在一些對稱情況下，例如當(dāng)沿著某一路徑上磁場的大小均相等，且其方向與積分線元相同時(shí)，可以方便地利用該定律求解磁場。例9:

如圖所示，一無限長同軸電纜芯線通有均勻分布的電流I，外導(dǎo)體通有均勻等量反向電流，求各區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:

取圓柱坐標(biāo)系。（1）區(qū)域內(nèi)導(dǎo)體的電流密度:取積分回路為半徑為r的圓環(huán)，

根據(jù)安培環(huán)路定律:

同理取半徑為r

的圓為積分回路，則有:（2）區(qū)域（3）區(qū)域外導(dǎo)體的電流密度為:同理取半徑為r的圓為積分回路，則有:（4）區(qū)域解：方法1：將面電流轉(zhuǎn)化為無限長線電流求解。方法2：應(yīng)用安培環(huán)路定律求解。選取矩形閉合回路，由安培環(huán)路定律：例7：設(shè)一面電流密度為的無限大均勻?qū)Я髅?，求：距該平面h高處的磁感應(yīng)強(qiáng)度？二、位移電流

傳導(dǎo)電流連續(xù)是安培環(huán)路定律成立的前提傳導(dǎo)電流不連續(xù)會(huì)怎樣？

位移電流的提出：在電容器兩極板間，由于電場隨時(shí)間的變化而存在位移電流位移電流的數(shù)值與傳導(dǎo)電流相等，方向與傳導(dǎo)電流相同位移電流具有磁效應(yīng)穿過的傳導(dǎo)電流為，則：

穿過的傳導(dǎo)電流為，則：

為什么相同的線積分結(jié)果不同？怎么辦？平板電容器極板上的電荷：位移電流的計(jì)算傳導(dǎo)電流：位移電流：位移電流密度：穿過某曲面的位移電流：電位移矢量三、全電流定律

引入位移電流之后，穿過曲面S的總電流為：總電流密度為：穿過某曲面上的全電流為：——全電流定律（麥克斯韋第一方程）物理意義：磁場不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，也能由隨時(shí)間變化的電場，即位移電流產(chǎn)生。安培環(huán)路定律：進(jìn)一步深入：提出位移電流的背景及意義電磁感應(yīng)定律：電場高斯定律：磁場高斯定律：電荷守恒定律：全電流定律：變化的磁場產(chǎn)生電場，變化的電場產(chǎn)生磁場變化的電磁場相互激發(fā)和轉(zhuǎn)化，形成向空間傳播的電磁波科學(xué)的創(chuàng)造性在于發(fā)現(xiàn)矛盾和解決矛盾！矛盾！§2.4

法拉第電磁感應(yīng)定律——麥克斯韋第二方程一、法拉第電磁感應(yīng)定律當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通發(fā)生變化時(shí)，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢和感應(yīng)電流，感應(yīng)電動(dòng)勢的大小正比于磁通對時(shí)間的變化率，方向由楞次定律確定：感應(yīng)電動(dòng)勢的方向總是企圖阻止回路中磁通的變化。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)Collaton靜電場與時(shí)變電場的區(qū)別？引起磁通變化的原因：

(2)動(dòng)生電動(dòng)勢：閉合回路與恒定磁場之間存在相對運(yùn)動(dòng)(3)既存在時(shí)變磁場又存在回路的相對運(yùn)動(dòng)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢為：(1)感生電動(dòng)勢：閉合回路靜止，與之交鏈的磁場隨時(shí)間變化變壓器感應(yīng)方程例10:

如圖所示，一個(gè)矩形金屬框的寬度d是常數(shù)，其滑動(dòng)的一邊以勻速v向右移動(dòng)，求：下列情況下線框里的感應(yīng)電動(dòng)勢。

解：（1）（2）（1）（2）

二、法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣

——麥克斯韋第二方程變化的磁場產(chǎn)生電場，電荷是電場的源，變化的磁場也是電場的源；感應(yīng)電場的環(huán)量不為零，感應(yīng)電場是非保守場，即有旋場，變化的磁場是其渦旋源。產(chǎn)生感應(yīng)電流的本質(zhì)是什么？法拉第：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通發(fā)生變化時(shí)，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢和感應(yīng)電流麥克斯韋：當(dāng)穿過任意閉合曲線所限定曲面的磁通發(fā)生變化時(shí)，沿著該曲線就產(chǎn)生感應(yīng)電場和感應(yīng)電動(dòng)勢?！?.5

電流連續(xù)性方程——麥克斯韋補(bǔ)充方程從閉合曲面流出的電流，必然等于閉合曲面內(nèi)正電荷的減少率；電荷密度變化的點(diǎn)即為電流密度的源點(diǎn)。電荷守恒定律：在孤立系統(tǒng)內(nèi)，電荷既不能產(chǎn)生，也不能消滅，只能發(fā)生轉(zhuǎn)移；任意時(shí)刻，系統(tǒng)內(nèi)正負(fù)電荷的代數(shù)和保持不變?！娏鬟B續(xù)性方程（麥克斯韋第五方程）一、電場的高斯定律——麥克斯韋第三方程§2.6

高斯定律點(diǎn)電荷在球形高斯面的圓心處：++S'點(diǎn)電荷在任意形狀的高斯面內(nèi)：通過球面S的電場線也必通過任意曲面S'，即它們的電通量相等+S+點(diǎn)電荷在閉合曲面以外：穿進(jìn)曲面的電場線條數(shù)等于穿出曲面的電場線條數(shù)+閉合曲面內(nèi)包含點(diǎn)電荷系：閉合曲面內(nèi)包含連續(xù)分布電荷：

麥克斯韋第三方程——閉合曲面外的電荷對電通量沒有貢獻(xiàn)高斯定律的證明：以點(diǎn)電荷確定常數(shù)C：全電流定律+

電流連續(xù)性方程關(guān)于高斯定律的說明：有源性：高斯定律是反映電場有源性的基本定律，電荷是電場的源；電通量與場強(qiáng)：高斯定律中的電通量僅由曲面內(nèi)的電荷確定。但曲面上任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度或電位移矢量是曲面內(nèi)外的電荷共同產(chǎn)生的，并非只由曲面內(nèi)的電荷確定；電荷分布：通過閉合曲面的電通量與曲面內(nèi)電荷的空間分布無關(guān)。但閉合面上任意點(diǎn)的場強(qiáng)則受電荷分布的影響；若高斯面內(nèi)的凈電荷為零，則通過高斯面的電通量為零。但高斯面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度并不一定為零；高斯定理中所說的閉合曲面，通常稱為高斯面。電場高斯定律：穿過任一閉合曲面的電通量，等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和，與閉合曲面外的電荷無關(guān)。步驟：1.進(jìn)行對稱性分析，即由電荷分布的對稱性，分析場強(qiáng)分布的對稱性，判斷能否用高斯定理來求電場強(qiáng)度的分布2.根據(jù)場強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作適當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：穿過該高斯面的電通量容易計(jì)算待求場強(qiáng)的場點(diǎn)應(yīng)在此高斯面上高斯面各點(diǎn)的法矢量應(yīng)與電場平行或垂直，平行時(shí)，場強(qiáng)的大小要求處處相等，使得E能提到積分號(hào)外面3.計(jì)算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場強(qiáng)。

高斯定律應(yīng)用舉例——計(jì)算帶電體的電場只有滿足某些對稱性的場分布，才能應(yīng)用高斯定律求解常見的具有對稱性分布的源電荷及相應(yīng)的高斯面：球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板等軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等如果場分布沒有對稱性，則由高斯定理求電場并不方便，但高斯定理依然成立。例11：一均勻帶電球殼，電荷密度為，球殼內(nèi)外半徑分別為a、b，求各區(qū)域中的電位移矢量。解：選球坐標(biāo)系，由于球殼均勻帶電，所產(chǎn)生的電場具有中心對稱性。（1）區(qū)域取半徑為R

的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:（2）區(qū)域取半徑為R

的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:

（3）區(qū)域同理取半徑為R

的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:a→0時(shí)的情況a→b時(shí)的情況

解:

：面對稱高斯面：柱面例12：求無限大均勻帶電平面的電場，已知電荷密度ρSlr解：場具有軸對稱高斯面：圓柱面例13：均勻帶電圓柱面半徑為R，面電荷密度為ρS，求各區(qū)域的電場。(1)r<R(2)r>RlrR例14：一無限長均勻帶電直導(dǎo)線，線電荷密度為，

求：該導(dǎo)線周圍的電場強(qiáng)度。解：該導(dǎo)線周圍的電場具有軸對稱性，選柱坐標(biāo)系，高斯面選柱面?？傻茫弘妶鰪?qiáng)度：已知：磁通連續(xù)性原理：通過任意閉合曲面的磁通量恒為零。磁力線總是連續(xù)的，不存在磁單極子，磁場是無源場?！溈怂鬼f第四方程二、磁場的高斯定律——麥克斯韋第四方程證明：對恒定磁場：應(yīng)用電磁感應(yīng)定律§2.7麥克斯韋方程組1813：電高斯定律1820-1825：磁通連續(xù)性原理1825：安培環(huán)路定律1831：法拉第電磁感應(yīng)定律1861：位移電流1865：麥克斯韋方程組1887：赫茲實(shí)驗(yàn)“在我求學(xué)的時(shí)代，最吸引人的題目就是麥克斯韋的理論”?！蔼M義相對論起源于麥克斯韋電磁場方程”。1831-18