電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)(第1章)

FundamentalsofElectromagnetic

FieldsandWaves電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)（第2版）電子工業(yè)出版社2024/12/141電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)前言

電磁場(chǎng)與電磁波理論是近代自然科學(xué)中，理論相對(duì)最完整、應(yīng)用最廣泛的支柱學(xué)科之一。電磁場(chǎng)與電磁波技術(shù)已遍及人類(lèi)的科學(xué)技術(shù)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、文化以及日常生活的各個(gè)領(lǐng)域。人類(lèi)對(duì)電磁現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，但其知識(shí)與應(yīng)用開(kāi)始形成系統(tǒng)化和理論化則始于18世紀(jì)，伽伐尼、伏打、高斯、富蘭克林、卡文迪什、庫(kù)侖等著名科學(xué)家對(duì)電磁現(xiàn)象所作的卓有成效的研究啟動(dòng)了電磁世界這一巨輪的運(yùn)轉(zhuǎn)。

19世紀(jì)是電磁研究蓬勃開(kāi)展的時(shí)代，法拉第、歐姆、傅立葉、基爾霍夫、奧斯特、安培、畢奧、薩伐爾、麥克斯韋、斯托克斯、湯姆森、赫茲、楞次、雅可比、西門(mén)，單單從這些名字和科學(xué)家的陣容，你就可以感受到這一時(shí)期的電磁科學(xué)取得了多么輝煌的成就。

2024/12/142電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

伽利略、尤其是牛頓在引力方面所獲得的成果曾經(jīng)幾乎覆蓋了整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，它對(duì)人類(lèi)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響和推動(dòng)。然而，這種并不直接接觸、也不需要媒質(zhì)而瞬時(shí)就能產(chǎn)生作用的牛頓引力的背后還隱藏著什么呢？19世紀(jì)的許多科學(xué)家在被迫接受和承認(rèn)牛頓引力的超距作用的同時(shí)，卻拒不接受電力和磁力也是如此。于是，法拉第和麥克斯韋提出了場(chǎng)的概念，即場(chǎng)是以有限速度傳播的能夠作為物體間相互作用的媒介。由此而出現(xiàn)的場(chǎng)論，看似毀壞了牛頓物理的根基，實(shí)則是開(kāi)辟了通向電磁學(xué)、而后是相對(duì)論的道路。19世紀(jì)，科學(xué)界將物質(zhì)間的作用力歸結(jié)為三大類(lèi)：引力、電力和磁力

麥克斯韋的電磁理論這時(shí)就成為了電磁世界的理論核心，他的偉大理論簡(jiǎn)明扼要并嚴(yán)格地統(tǒng)一了電與磁的關(guān)系，這看起來(lái)好像是簡(jiǎn)化了物理學(xué)的理論，但實(shí)際上卻使問(wèn)題變得更加復(fù)雜了，因?yàn)樗官だ院团ｎD所構(gòu)筑的宇宙圖像“頓起禍端”。2024/12/143電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)20世紀(jì)以來(lái)，在對(duì)電磁場(chǎng)的理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行深入研究的過(guò)程中，人們所提出的兩個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題使得電磁學(xué)理論沿著兩個(gè)方向開(kāi)始發(fā)展。

麥克斯韋的理論將電磁輻射作為純粹的波來(lái)處理，但許多實(shí)驗(yàn)卻表明輻射并不連續(xù)。于是，普朗克假設(shè)，電磁波只能是以一種能量包的形式被發(fā)射或吸收，他由此創(chuàng)立了量子力學(xué)，這種能量包就被稱(chēng)為能量子。1905年，愛(ài)因斯坦用光量子理論成功地解釋了光電效應(yīng)，并指出所有物質(zhì)和輻射都具有波粒二象性。這一結(jié)論隨后即從物理學(xué)家們的理論分析和精密實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)，這個(gè)結(jié)論復(fù)活了牛頓的光微粒論，同時(shí)也使力學(xué)與電磁學(xué)近二十年的明顯對(duì)立消除了。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的研究產(chǎn)生了愛(ài)因斯坦的相對(duì)論。第一個(gè)問(wèn)題電磁輻射的本質(zhì)是什么？第二個(gè)問(wèn)題電磁波在什么媒質(zhì)中傳播？2024/12/144電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

由此看來(lái)，在任何意義上，我們都不能輕視一個(gè)多世紀(jì)來(lái)電磁場(chǎng)理論對(duì)科學(xué)技術(shù)以及人類(lèi)社會(huì)所做出的巨大貢獻(xiàn)?？梢院敛豢鋸埖卣f(shuō)，沒(méi)有電磁場(chǎng)理論的發(fā)展，就不可能有現(xiàn)代信息化社會(huì)的出現(xiàn)。由于電磁場(chǎng)理論對(duì)整個(gè)電子和信息技術(shù)的發(fā)展所起到的如此強(qiáng)大的推動(dòng)力，迫使人們必須去了解并解決各種復(fù)雜條件下的電磁工程中的技術(shù)和設(shè)計(jì)問(wèn)題，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)理論就成為了整個(gè)行動(dòng)的第一步。2024/12/145電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

麥克斯韋是繼法拉第之后，集電磁學(xué)大成的偉大科學(xué)家。他依據(jù)庫(kù)侖、高斯、歐姆、安培、畢奧、薩伐爾、法拉第等前人的一系列發(fā)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)成果，建立了第一個(gè)完整的電磁理論體系，不僅科學(xué)地預(yù)言了電磁波的存在，而且揭示了光、電、磁現(xiàn)象的本質(zhì)的統(tǒng)一性，完成了物理學(xué)的又一次大綜合。這一理論自然科學(xué)的成果，奠定了現(xiàn)代的電力工業(yè)、電子工業(yè)和無(wú)線(xiàn)電工業(yè)的基礎(chǔ)?？茖W(xué)家小傳●英國(guó)科學(xué)家詹姆斯.克拉克.麥克斯韋（JamesClerkMaxwell1831-1879）2024/12/146電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

電學(xué)是物理學(xué)的一個(gè)重要分枝，在它的發(fā)展過(guò)程中，很多物理學(xué)巨匠都曾作出過(guò)杰出的貢獻(xiàn)。法國(guó)物理學(xué)家查利·奧古斯丁·庫(kù)侖就是其中影響力非常巨大的一員。

1785年，庫(kù)侖用自己發(fā)明的扭秤建立了靜電學(xué)中著名的庫(kù)侖定律。同年，他在給法國(guó)科學(xué)院的《電力定律》的論文中詳細(xì)地介紹了他的實(shí)驗(yàn)裝置，測(cè)試經(jīng)過(guò)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

●法國(guó)物理學(xué)家查利·奧古斯丁·庫(kù)侖（CharlesAugustindeCoulomb1736～1806）2024/12/147電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

法拉第1791年9月22日生在一個(gè)手工工人家庭，父親是一個(gè)鐵匠，家里人沒(méi)有特別的文化，而且頗為貧窮。但由于他的勤學(xué)好問(wèn)，1812年成為了倫敦皇家學(xué)院院長(zhǎng)戴維的助手，他的科學(xué)研究道路由此而展開(kāi)。法拉第所研究的課題廣泛多樣，按編年順序排列,有如下各方面：鐵合金研究（1818－1824）；氯和碳的化合物（1820）；電磁轉(zhuǎn)動(dòng)（1821）；氣體液化（1823，1845）；光學(xué)玻璃（1825－1831）；苯的發(fā)明（1825）；電磁感應(yīng)現(xiàn)象（1831）；不同來(lái)源的電的同一性（1832）；電化學(xué)分解（1832年起）；靜電學(xué)，電介質(zhì)（1835年起）；氣體放電（1835年）；光、電和磁（1845年起）；抗磁性（1845年起）；"射線(xiàn)振動(dòng)思想"（1846年起）；重力和電（1849年起）；時(shí)間和磁性（1857年起）?！裼?guó)科學(xué)家邁克爾·法拉第

(MichaelFaraday1791—1867)2024/12/148電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

安培1775年1月22日生于里昂一個(gè)富商家庭。年少時(shí)就顯出數(shù)學(xué)才能。安培最主要的成就是1820～1827年對(duì)電磁作用的研究：

①發(fā)現(xiàn)了安培定則②發(fā)現(xiàn)電流的相互作用規(guī)律③發(fā)明了電流計(jì)④提出分子電流假說(shuō)⑤總結(jié)了電流元之間的作用規(guī)律——安培定律●法國(guó)物理學(xué)家安培

(AndréMarieAmpè1775～1836年)2024/12/149電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

赫茲生于漢堡，早在少年時(shí)代就被光學(xué)和力學(xué)實(shí)驗(yàn)所吸引。十九歲入德累斯頓工學(xué)院學(xué)工程，由于對(duì)自然科學(xué)的愛(ài)好，次年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，在物理學(xué)教授亥姆霍茲指導(dǎo)下學(xué)習(xí)。1885年任卡爾魯厄大學(xué)物理學(xué)教授。1889年，接替克勞修斯擔(dān)任波恩大學(xué)物理學(xué)教授，直到逝世。

赫茲對(duì)人類(lèi)最偉大的貢獻(xiàn)是用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在。●德國(guó)物理學(xué)家赫茲（(Heinrich

Rudolf

Hertz,1857～1894)2024/12/1410電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)課程的意義工程意義；理論意義電電磁場(chǎng)電磁波

靜態(tài)場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)空間傳播介質(zhì)課程的性質(zhì)和地位電氣信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)的技術(shù)基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)方法2024/12/1411電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)教材：《電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)》（第2版）劉嵐黃秋元程莉胡耀祖編著

電子工業(yè)出版社2010參考書(shū)：1.《電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)》學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答劉嵐、黃秋元、胡耀祖、程莉編.

武漢理工大學(xué)出版社，20092.《電磁場(chǎng)與電磁波》謝處方，饒克謹(jǐn)編.

高等教育出版社，20023.《電磁場(chǎng)與電磁波典型題解析及自測(cè)試題》

趙家升主編,西北工業(yè)大學(xué)出版社,20024.電磁波理論(影印版,英文),J.A.Kong編高等教育出版社，20022024/12/1412電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)第1章矢量分析與場(chǎng)論重點(diǎn)：1.標(biāo)量、矢量，標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)3.通量與散度2.矢量的運(yùn)算，坐標(biāo)系4.環(huán)量與旋度5.方向?qū)?shù)與梯度7.斯托克斯定理6.高斯散度定理8.亥姆霍茲定理2024/12/1413電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)序：場(chǎng)與矢量

我們周?chē)奈锢硎澜缰写嬖谥鞣N各樣的場(chǎng)，例如自由落體現(xiàn)象，說(shuō)明存在一個(gè)重力場(chǎng)；指南針在地球磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，說(shuō)明存在一個(gè)磁場(chǎng)；人們對(duì)冷暖的感覺(jué)說(shuō)明空間分布著一個(gè)溫度場(chǎng)等等。

場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)，它是具有能量的，場(chǎng)中的每一點(diǎn)的某一種物理特性，都可以用一個(gè)確定的物理量來(lái)描述。

當(dāng)對(duì)這些物理量的描述與空間坐標(biāo)或方向性有關(guān)時(shí)，通常需要使用矢量來(lái)描述它們，這些矢量在空間的分布就構(gòu)成了所謂的矢量場(chǎng)。分析矢量場(chǎng)在空間的分布和變化情況，需要應(yīng)用矢量的分析方法和場(chǎng)論的基本概念。

2024/12/1414電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)1.1矢量的表示和運(yùn)算1.標(biāo)量

只有大小，不包含方向的物理量叫做標(biāo)量(Scalar)。如：溫度、電位、能量、長(zhǎng)度、時(shí)間等。

既有大小，同時(shí)又包含方向的物理量稱(chēng)為矢量(Vector)。如：力、速度、加速度等。

2.矢量根據(jù)國(guó)家有關(guān)符號(hào)使用標(biāo)準(zhǔn)，印刷時(shí)使用黑斜體字母來(lái)表示矢量。書(shū)寫(xiě)時(shí)，矢量表示為。2024/12/1415電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量的大小稱(chēng)為矢量的模矢量的方向稱(chēng)為單位矢量矢量的表示3.矢量的表示

在三維空間中在一維坐標(biāo)系中矢量表示為矢量的模表示矢量的方向分別為矢量在笛卡兒坐標(biāo)系中的x軸分量、y軸分量和z軸分量。2024/12/1416電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)4.矢量的代數(shù)運(yùn)算

矢量的加法和減法（平行四邊形法則）2024/12/1417電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)5.標(biāo)量與矢量相乘標(biāo)量乘以矢量，其積仍為矢量，并滿(mǎn)足以下關(guān)系2024/12/1418電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)設(shè)兩矢量進(jìn)行標(biāo)積后的結(jié)果變成了無(wú)方向性的6.矢量的標(biāo)積（ScalarProduct）則數(shù)量值

!為矢量與矢量之間的夾角物理意義如果作用在某一物體上的力為，當(dāng)

使該物體發(fā)生位移時(shí)，位移矢量為，則表示力使物體位移所作的功。

2024/12/1419電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)設(shè)兩矢量進(jìn)行矢積后的結(jié)果仍為矢量7.矢量的矢積（VectorProduct）則為矢量與矢量之間的夾角2024/12/1420電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)上式可記為注物理意義矢積的幾何意義

以?xún)墒噶繛猷忂吽鶉傻钠叫兴倪呅蔚拿娣e為矢積的大小，以該平行四邊形的法向?yàn)槭阜e的方向。當(dāng)表示力臂矢量時(shí)，則矢積表示作用于物體的力矩。表示作用在一物體上的力，而2024/12/1421電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)加、減、點(diǎn)乘計(jì)算格式習(xí)題1（1.2）矢量運(yùn)算練習(xí)（加、減、點(diǎn)乘、叉乘）叉乘計(jì)算格式2024/12/1422電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量運(yùn)算練習(xí)2024/12/1423電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量運(yùn)算練習(xí)2024/12/1424電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

常借助于畫(huà)出其一系列等值間隔的等值面來(lái)直觀地表現(xiàn)標(biāo)量場(chǎng)的空間分布情況。常借助于畫(huà)出其場(chǎng)線(xiàn)（力線(xiàn)）的方法來(lái)形象和直觀地描述矢量場(chǎng)在空間的分布情形或沿空間坐標(biāo)的變化情況。

8.標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)

u=2u=3u=4等值面場(chǎng)線(xiàn)（力線(xiàn)）2024/12/1425電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)場(chǎng)既然是某種物理量的空間分布，就應(yīng)服從因果律。其因，稱(chēng)之為場(chǎng)源，場(chǎng)都是由場(chǎng)源產(chǎn)生的。其果，就是空間某種分布形式的場(chǎng)。

分析討論一個(gè)場(chǎng)的時(shí)候，要注意場(chǎng)、場(chǎng)源和場(chǎng)的環(huán)境這三者之間的關(guān)聯(lián)性。如果能用一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)描述電磁場(chǎng)，那么這樣的數(shù)學(xué)關(guān)系中一定包含了體現(xiàn)場(chǎng)、場(chǎng)源和場(chǎng)的環(huán)境的相關(guān)因素。2024/12/1426電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

在直角坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)M的位置可以用三個(gè)相互獨(dú)立的變量ｘ,ｙ,ｚ表示,記為Ｍ(x,y,z).它們的變化范圍分別是：－∞＜ｘ＜∞－∞＜ｙ＜∞－∞＜ｚ＜∞。1.2正交坐標(biāo)系

(QuadratureCoordinatesystem）

考慮到被研究的物理量的空間分布及其變化規(guī)律不同，或物體的幾何形狀不同等等，可采用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系，這是最常用的三種正交坐標(biāo)系。1.直角坐標(biāo)系(笛卡兒坐標(biāo)系)XZYM(x,y,z)02024/12/1427電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

任意一點(diǎn)的單位矢量亦即三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，因?yàn)樗鼈兲幱谡蛔鴺?biāo)系中，因此，它們相互垂直并遵循右手螺旋法則，即2024/12/1428電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

在直角坐標(biāo)系中，空間任一點(diǎn)M的位置可用一矢量來(lái)表示，即XZYM(x,y,z)02024/12/1429電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)在直角坐標(biāo)系下，任意矢量的線(xiàn)元可表示為在直角坐標(biāo)系下，任意曲面上的面元可表示為在直角坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為2024/12/1430電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

在圓柱坐標(biāo)系中，空間任一點(diǎn)Ｍ可用r,

,z三個(gè)坐標(biāo)變量來(lái)表示，Ｍ點(diǎn)的位置在圓柱坐標(biāo)系下可寫(xiě)為Ｍ（r,

,z）。三個(gè)變量r,,z的變化范圍分別是：0≤r＜∞

0≤≤2π－∞＜ｚ＜∞2.圓柱坐標(biāo)系2024/12/1431電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)圓柱坐標(biāo)系的三個(gè)變量的單位矢量分別是它們始終保持相互正交，且符合右手螺旋法則，即空間任一點(diǎn)Ｍ的位置可用單位矢量表示為2024/12/1432電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)圓柱坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系的關(guān)系是ｘ＝rcosｙ＝rsinｚ＝ｚ在圓柱坐標(biāo)系下，任意矢量的線(xiàn)元可表示為在圓柱坐標(biāo)系下，任意曲面上的面元可表示為在圓柱坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為2024/12/1433電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)3.球坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)變量分別為：R,θ，這三個(gè)變量的變化范圍是：

0≤R＜∞

0≤θ≤π0≤≤2π球坐標(biāo)xO?z?PR

(R,

,

)2024/12/1434電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)yoPQXZ球坐標(biāo)2024/12/1435電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)球坐標(biāo)系的三個(gè)變量的單位矢量分別是它們始終保持相互正交，且符合右手螺旋法則，即空間任一點(diǎn)Ｍ的位置可用單位矢量表示為2024/12/1436電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)球坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系變量的關(guān)系為ｘ＝Rsinθcosｙ＝Rsinθsinｚ＝Rcosθ球坐標(biāo)系變量與圓柱坐標(biāo)系變量的關(guān)系為r＝Rsinθ＝z＝Rcosθ2024/12/1437電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)在球坐標(biāo)系下，任意矢量的線(xiàn)元可表示為在球坐標(biāo)系下，六個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)組成的六面體的面積元可表示為在球坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為2024/12/1438電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間單位矢量的關(guān)系

圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間單位矢量的關(guān)系

2024/12/1439電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)球坐標(biāo)與笛卡兒坐標(biāo)系之間單位矢量的關(guān)系

2024/12/1440電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)在球坐標(biāo)系中，單位矢量均不是常量在圓柱坐標(biāo)系中，單位矢量、不是常量因?yàn)橐驗(yàn)?024/12/1441電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)1.3矢量函數(shù)的通量與散度(FluxandDivergenceofVectorfunction）1.矢量的通量

為了研究矢量場(chǎng)的空間變化情況，我們需要引入矢量場(chǎng)的散度的概念。矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它表示矢量場(chǎng)中任意一點(diǎn)處，通量對(duì)體積的變化率，即描述了通量源的強(qiáng)度。

在研究電場(chǎng)、磁場(chǎng)時(shí)，可用一組曲線(xiàn)來(lái)形象地表示矢量場(chǎng)的空間分布，如電場(chǎng)的電力線(xiàn)、磁場(chǎng)中的磁力線(xiàn)等，它們都是帶有方向的線(xiàn)，線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向代表了這一點(diǎn)處矢量場(chǎng)的方向，這樣的一些有方向的曲線(xiàn)叫矢量線(xiàn)。矢量場(chǎng)中每一點(diǎn)都有唯一的一條矢量線(xiàn)通過(guò)，線(xiàn)的疏密表示該點(diǎn)矢量場(chǎng)的大小。2024/12/1442電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量線(xiàn)

借用矢量線(xiàn)的概念，通量可以認(rèn)為是矢量穿過(guò)曲面Ｓ的矢量線(xiàn)總數(shù)，矢量線(xiàn)也叫通量線(xiàn)，穿出的為正，穿入的為負(fù)。矢量場(chǎng)也可稱(chēng)為通量面密度矢量。通量的物理意義2024/12/1443電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量E

沿有向曲面S的面積分>0(有正源)

<0(有負(fù)源)=0(無(wú)源)若S為閉合曲面，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):2024/12/1444電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

如果包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以任意方式縮小為點(diǎn)P時(shí),通量與體積之比的極限存在，即2、散度計(jì)算公式

如果此極限存在，則稱(chēng)此極限為矢量場(chǎng)在空間Ｍ點(diǎn)處的散度（divergence），記作：div

稱(chēng)為哈密頓算子，它是一個(gè)矢性微分算子，即式中2024/12/1445電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)在圓柱坐標(biāo)系下在球坐標(biāo)系下2024/12/1446電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

在矢量場(chǎng)中，若

?A=

0，稱(chēng)之為有源場(chǎng)，

稱(chēng)為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處

?A=0，稱(chēng)之為無(wú)源場(chǎng)。

散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性

矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)散度的物理意義2024/12/1447電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

該公式表明了區(qū)域V中場(chǎng)A與邊界S上的場(chǎng)A之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。

由于是通量源密度，即穿過(guò)包圍單位體積的閉合面的通量，對(duì)體積分后，穿出閉合面S的通量3、高斯公式(散度定理)高斯公式2024/12/1448電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)例題2024/12/1449電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)例題2024/12/1450電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)例題2024/12/1451電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)例題2024/12/1452電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)1.4矢量函數(shù)的環(huán)量與旋度

(CirculationandrotationofVectorfunction）1.矢量的環(huán)量

通量和散度是針對(duì)具有通量源的矢量場(chǎng)，并用來(lái)描述場(chǎng)中的通量源與場(chǎng)點(diǎn)的關(guān)系的。而能夠產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源除了通量源外，還有一類(lèi)源，叫旋渦源。要討論旋渦源所形成的場(chǎng)，就需要討論矢量場(chǎng)的旋度(rotation)，而要討論矢量函數(shù)的旋度，必須先引入環(huán)量的概念。

矢量A沿空間有向閉合曲線(xiàn)C的線(xiàn)積分稱(chēng)為矢量A的環(huán)量該環(huán)量表示繞線(xiàn)旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。環(huán)量的計(jì)算2024/12/1453電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)水流沿平行于水管軸線(xiàn)方向流動(dòng)C=0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)C0，有產(chǎn)生渦旋的源例：流速場(chǎng)流速場(chǎng)

環(huán)量是一個(gè)代數(shù)量（標(biāo)量），其大小和正負(fù)與矢量場(chǎng)的分布有關(guān)，而且與所取積分環(huán)繞方向有關(guān)。2024/12/1454電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

過(guò)點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊界曲線(xiàn)記為L(zhǎng),面的法線(xiàn)方與曲線(xiàn)繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S

點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。2.矢量的旋度(1)環(huán)量密度(2)旋度

它與環(huán)量密度的關(guān)系為2024/12/1455電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)在直角坐標(biāo)系下2024/12/1456電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)在圓柱坐標(biāo)系下2024/12/1457電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)在球坐標(biāo)系下2024/12/1458電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。

在矢量場(chǎng)中，若

A=J0,稱(chēng)之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J

稱(chēng)為旋度源(或渦旋源)；

點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。

若矢量場(chǎng)處處

A=0，稱(chēng)之為無(wú)旋場(chǎng)。(3)旋度的物理意義旋度的重要性質(zhì)：任何一個(gè)矢量的旋度的散度恒等于02024/12/1459電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)A

是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為

在電磁場(chǎng)理論中，Gauss定理和Stockes定理是兩個(gè)非常重要的定理。

矢量函數(shù)的線(xiàn)積分與面積分的互換

該公式表明了區(qū)域S中場(chǎng)A與邊界L上的場(chǎng)A之間的關(guān)系(4)斯托克斯(Stockes)定理Stocke’s定理2024/12/1460電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)2024/12/1461電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)例題

2024/12/1462電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)例題

2024/12/1463電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量運(yùn)算例題12024/12/1464電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量運(yùn)算例題12024/12/1465電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量運(yùn)算例題12024/12/1466電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)矢量運(yùn)算例題11.5標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度(DirectivityderivativeandgradientofScalarfunction）

在一定條件下，矢量場(chǎng)是可以用標(biāo)量（標(biāo)量函數(shù)）來(lái)描述的，這樣就可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。由矢量和標(biāo)量的定義可知，二者之間的差別就是，矢量有大小有方向，而標(biāo)量有大小卻無(wú)方向。那么，如果要用標(biāo)量來(lái)描述矢量場(chǎng)，勢(shì)必就需要給標(biāo)量添加上方向因素后，這種描述才成立。但如何給標(biāo)量添加上方向因素呢？在標(biāo)量場(chǎng)中，空間每一點(diǎn)都只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值是用標(biāo)量函數(shù)來(lái)描述的。在研究標(biāo)量場(chǎng)時(shí)，我們常常關(guān)心的是標(biāo)量函數(shù)值隨空間位置的變化規(guī)律，即標(biāo)量函數(shù)最大變化率及其方向。這個(gè)標(biāo)量函數(shù)在空間中的最大變化率和最大變化率的方向正是我們所需要的方向因素。2024/12/1467電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)1.標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)（1）標(biāo)量場(chǎng)--等值線(xiàn)(面)其方程為等值線(xiàn)標(biāo)量場(chǎng)中每一點(diǎn)都有一個(gè)等值面通過(guò)，且只有一個(gè)。也就是說(shuō)，等值面充滿(mǎn)整個(gè)標(biāo)量場(chǎng)所在的空間，且互不相交。等值面的性質(zhì)u=2u=3u=4等值面2024/12/1468電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)（2）方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)表示函數(shù)Φ(x,y,z)在一給定點(diǎn)處沿某一方向的標(biāo)量函數(shù)的變化率。

式中稱(chēng)為方向余弦M（x,y,z）M’（x+x,y+y,z+z）2024/12/1469電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)(3)標(biāo)量場(chǎng)的梯度

設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)Φ(x,y,z),若函數(shù)Φ在點(diǎn)P可微,則

Φ

在點(diǎn)P沿任意方向

的方向?qū)?shù)為:則有:式中分別是與x,y,z軸的夾角

設(shè)2024/12/1470電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)當(dāng),即與方向一致時(shí),為最大.哈密頓算子式中

則可定義梯度

(gradient)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);

梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線(xiàn)（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.

梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);

梯度的物理意義2024/12/1471電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)例1三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度

與過(guò)該點(diǎn)的等高線(xiàn)垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；

指向地勢(shì)升高的方向。電位場(chǎng)的梯度

與過(guò)該點(diǎn)的等位線(xiàn)垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；

梯度的重要性質(zhì)：梯度的旋度恒等于0

2024/12/1472電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)例1三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度

與過(guò)該點(diǎn)的等高線(xiàn)垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；

指向地勢(shì)升高的方向。電位場(chǎng)的梯度

與過(guò)該點(diǎn)的等位線(xiàn)垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；

梯度的重要性質(zhì)：梯度的旋度恒等于0

2024/12/1473電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)1.6格林公式

（Green’stheorem）

格林公式又稱(chēng)格林定理，是矢量分析中的重要公式。在電磁場(chǎng)理論中，在研究解的唯一性和電磁輻射及電磁波傳播等問(wèn)題中經(jīng)常用到。

令

則根據(jù)散度定理

第一格林公式2024/12/1474電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)

第二格林公式將上式中的和互換

則將其與第一格林公式相減，就得到2024/12/1475電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)1.7亥姆霍茲定理(Helmholtz‘sTheorem)

1.矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，而矢量場(chǎng)的旋度卻是一個(gè)矢量函數(shù)。散度和旋度的比較

2.散度表示場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度，它是場(chǎng)中任一點(diǎn)通量源強(qiáng)度的量度；而旋度表示場(chǎng)中某點(diǎn)的最大環(huán)量強(qiáng)度，它是場(chǎng)中任一點(diǎn)處旋渦源強(qiáng)度的量度。

3.散度由各場(chǎng)分量沿各自方向上的變化率來(lái)決定。而旋度則由各場(chǎng)分量在與之正交方向上的變