《數(shù)值分析》課件

數(shù)值分析理學(xué)院俊戀敢賭破逛漁瀕上撮言躇洱枯妒僧時醇標磕庶宗注昧巧薩庫深招駁敵脯《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/271第1章緒論§1.1

數(shù)值分析的研究對象顏八源郎士初邵披嘗訊否箭銑轍醞嬌厘血妝茁賓莊遵眷軒戳轍羹工抒虹挪《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/272數(shù)值分析是近代數(shù)學(xué)的一個重要分支，它是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法，包括方法的構(gòu)造和求解過程的理論分析。在電子計算機成為數(shù)值計算的主要工具之后，則要求研究適合于計算機使用的數(shù)值計算方法，為了更好地說明數(shù)值分析的研究對象，我們考察用計算機解決科學(xué)計算問題時經(jīng)歷的幾個過程：

提問：數(shù)值分析是做什么用的？惟層如佯村打粕之磨卞銹嘻偶居貪汞務(wù)吁驟恬情修情合砌泰孿花僵防拷代《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/273

提問：數(shù)值分析是做什么用的？選擇數(shù)值計算方法程序設(shè)計上機計算求出結(jié)果構(gòu)造數(shù)學(xué)模型實際問題忿縮畦笛路資擊鴻制豆似津賂縷酚儲建南勞搓轉(zhuǎn)毆則膝冒軀陣疥堿兩葷進《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/274任務(wù)：數(shù)值分析的任務(wù)是提供在計算機上實際可行的，有可靠理論分析、計算復(fù)雜性好的各種數(shù)值計算方法。特點：數(shù)值分析是與計算機及其它科學(xué)有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)課程，因此它即具有純數(shù)學(xué)的高度抽象性與嚴密科學(xué)性的特點，同時又具有應(yīng)用廣泛性與數(shù)值試驗的高度技術(shù)性，除此之外，它還有以下幾個基本特點：恬浚真次障聰克躍攘動滁至撅儈辣芭項判冶稽柬祈羹偵諸誕貳諺鷹濕揪茶《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/275

1、采用“構(gòu)造性”方法；2、采用“離散化”方法；

3、采用“遞推化”方法；

4、采用“近似代替”方法等等。銘淬痞風匠單營胯斌組爐坦旗乞橋祿黍盾試障帖喂靖范倘恍冀美柜佃每兒《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/276

研究內(nèi)容線性方程組的數(shù)值解矩陣特征值與特征向量計算非線性方程的數(shù)值解數(shù)值逼近數(shù)值積分常微、偏微的數(shù)值解卒明仙矚彼富爺最旬邀君跨釀寅幕春快兜浪澳執(zhí)紀柳旦彪噎災(zāi)瑤炬礫牽跨《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/277

研究方法理論分析算法分析誤差分析收斂性分析收斂速度絕豫祖履賜隘索甲惕藻傈卷裝疫波囂顏囪暴垂較吧凄際令鬼崔僥譬察造餞《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/278

§1.2誤差知識與算法知識1.2.1

誤差的來源與分類

在工程技術(shù)的計算中，估計計算結(jié)果的精確度是十分重要的工作，而影響精確度的是各種各樣的誤差。誤差的來源是復(fù)雜的，但主要有以下四種：挽檄疽掂篇侖冠痹填竣癱冪犁儒鄲榆杏梁接噓乃抑烽沂函可肩侵籍騰云判《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/279

從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差

(ModelingError)

通過測量得到模型中參數(shù)的值

——觀測誤差

(MeasurementError)

求近似解

——方法誤差

(截斷誤差

(TruncationError))

機器字長有限

——舍入誤差(RoundoffError)貸蕩黎疚荒褐咬重律寓職乘灣紛鱉梅餡耳討射些蘇乳苑茵序芽助逾籮崎撂《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2710模型誤差處理實際問題時，要建立數(shù)學(xué)模型，通常模型只是近似的。由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型解與實際問題的解之間的誤差叫模型誤差。例如

是實際問題的解，而若數(shù)學(xué)模型的解是 由此產(chǎn)生的誤差叫作模型誤差。杯肝唯話幻腕邵秋砷碑廂遵綜鎖占遂躲葵佳島洽悶頓污暖開奧懊到末棵埂《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2711觀測誤差數(shù)學(xué)模型中包含某些變量，如時間、長度、電壓等，它們一般是通過觀測來獲得。由于觀測得到的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間有誤差，這種誤差叫觀測誤差。截斷誤差求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計算方法，如果是一種近似的方法，只能得到模型的近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差或方法誤差。所跳觀墨設(shè)畦墳湍纓筷幼享耍孝哎業(yè)銜潭語況苫路懈氛騙防茲椽吊鉤行醋《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2712舍入誤差由于計算機的字長有限，參加運算的數(shù)據(jù)及其運算結(jié)果在計算機中存放會產(chǎn)生誤差。這種誤差叫舍入誤差或計算誤差。例如在16位微機上計算，單精度實數(shù)存放僅有7位有效數(shù)字。在其上運算，會有

130.3333333, (1.000002)21.0000040,

后者的準確結(jié)果是41012。永肘已忙宋帝叢吧夜麥矣估扣楚遣喘遏酵煌衰森氏枷漬禹皆捕吐恥幾料攣《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2713大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

(Remainder)取則稱為截斷誤差

(TruncationError).|

舍入誤差

(RoundoffError)|=0.747……由截去部分(excludedterms)引起由留下部分(includedterms)引起師棘須炮賒況柱菇胰茍妖馴告柱熬揭餌渦敬奢很端菏累驗中篇糕府馭掩搶《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/27141.2.2

絕對誤差、相對誤差與有效數(shù)字

(ErrorandSignificantDigits)

定義

絕對誤差(absoluteerror)例如：其中x為精確值，x*為x的近似值。|e|的上界記為e,稱為絕對誤差限

(accuracy),工程上常記為x=x*

±e.注:理論上講,e是唯一確定的,可能取正,也可能取負.e>0不唯一，當然e越小越具有參考價值。簡威鋒轍獻執(zhí)信蚤嚼掣撅支桅壞恢修別蹬巳聯(lián)呀聽疊宇鞏托睦治臟公落敬《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2715提問：絕對誤差限的大小能否完全地表示近似值的好壞？例如：有兩個量

問：誰的近似程度要好一些？

思考勉套云率北押蠟的載炎彬戈株軟某叁晚較宦誘句逮噸懼雍烽孟哇螟拳無責《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2716

定義

近似值x*的相對誤差

(relativeerror)

定義

近似值x*的相對誤差上限(界)

(relativeaccuracy)

由于精確值x未知,實際上總把作為x*的相對誤差，并且仍記為er,即

注:相對誤差一般用百分比表示.謂爾閡出譽捆袋臻匪篆呀點逸芒防色昭葛養(yǎng)沏岔紉增絕吞鍘偷就短弛寶淘《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2717例1用最小刻度為毫米的卡尺測量直桿甲和直桿乙，分別讀出長度為a=312mm

和b=24mm，

問：

(a)，

(b)，

r(a)，

r(b)各是多少？兩直桿的實際長度x和y在什么范圍內(nèi)？

解：否勃億江筒但綁申誓柯歉矚斗阮貝劇踩訣古鄙彬菱科妻眷伊惦踐影折淄吃《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2718

例2

設(shè)a=-2.18，

b=2.1200是分別由準確值x和y

經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，問：

(a)，

(b)，

r(a)，

r(b)各是多少？解：信藏你乒禁間瀉蔫墅路劍群慈寶慮獵硝譽近締賀裝秘帝時鄭別馮侮漏氏軒《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2719有效數(shù)字

(significantdigits)

四舍五入帶來的絕對誤差限

凡是由準確值x經(jīng)四舍五入而得到近似值x*，其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位。

定義有效數(shù)字

設(shè)x*

是數(shù)x的近似值，如果x*的絕對誤差限是它的某一位的半個單位，并且從該位到它的第一位非零數(shù)字共有

n位，則稱用

x*近似x時，具有

n位有效數(shù)字。姓該殼朋舜氛溉仍臆飽戲蜂晴慧擄崩惡致肥勉熾件派綱酷褒扭墳鞠限傣酪《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2720

用科學(xué)計數(shù)法，記（其中）,若(即an

的截取按四舍五入規(guī)則)，則x*

至少有n

位有效數(shù)字，且精確到10m

n.有效數(shù)字的確定方法

有效數(shù)字的位數(shù)

n=近似數(shù)科學(xué)記數(shù)法的冪指數(shù)－絕對誤差限科學(xué)記數(shù)法的冪指數(shù).當差為負整數(shù)時，表示沒有效數(shù)字!把誤差限表示為0.5×10m

n,當指數(shù)

m

n

是最小的整數(shù)時,有效數(shù)字的位數(shù)精確地是

n.惡爛賂救盜支猿礬賠歸錠蝎誓縱曙前魂燕梆淡甲殉搏拾架慈瘦京布泰橫謂《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2721例3下列近似值的絕對誤差限都是0.005，

問：各個近似值有幾位有效數(shù)字？

注:1、同一個準確值的不同近似值，有效數(shù)字越多，其絕對誤差和相對誤差都越小.2、準確值的有效數(shù)字可看做有無限多位.3位：1，3，81位：30位噴掙懇棱鴦卒鄙弦蝗籃慮鎳臺剛磨卒夕舒史宮胃范沂衛(wèi)謗懈秤毛哈方揀逢《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2722例問：有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。注：1、由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。

2、0.2300有4位有效數(shù)字，而0.23只有2位有效數(shù)字。12300有5位有效數(shù)字，如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。數(shù)字末尾的0不可隨意省去！證明：起咆修吃撕婦蔚繞栗苑梆母熾桌頑箱細量辮苑份駁磺一即腆襪唁郊墨叔銷《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2723

有效數(shù)字

相對誤差限已知x*有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為

相對誤差限

有效數(shù)字已知x*的相對誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系澆促惟嶄踴玻粟銷輝哄枯垮墊嗣漾盛廠粉翔哆尼此道顯虱轎曉躲耘攏樂勵《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2724例：為使

*的相對誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)

*取到n位有效數(shù)字，則其相對誤差上限為要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應(yīng)取

*=3.14159。圈遮漣堆口糕砒瓊汁蒜剎釜醞糖籍胡徊穴勘蔥組床咸俘熊埠愉忌揚帖絡(luò)阜《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/27251.2.3

函數(shù)求值的誤差估計問題一：對于函數(shù)y=f(x)，若用x*

取代x，將對y

產(chǎn)生什么影響？分析：e(y)=f(x)

f(x*)e(x)=x

x*=f'(

)(x

x*)x*與x非常接近時，可認為f'(

)

f'(x*)，則有：|e(y)|

|f'(x*)|·|e(x)|(1)

(2)即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f'(x*)|倍。故稱|f'(x*)|為放大因子

(amplificationfactor)

或絕對條件數(shù)

(absoluteconditionnumber).夢男霞具總猜渭謅雁庇賓撰楞足宏撬椰碗恿蘑薛咬任芝金蝴爍災(zāi)鈉揣稼賴《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2726相對誤差條件數(shù)

(relativeconditionnumber)

f的條件數(shù)在某一點是小\大，則稱f在該點是好條件的

(well-conditioned)\壞條件的

(ill-conditioned)。竟懶承貍輩添長際諱揉昌艙憂拐廬倍閏蜒憋詠訃貫滋屆墓綏狄睹夫鑼候剪《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2727問題二：對于n

元函數(shù)將對u

產(chǎn)生什么影響？妓僥障賬鹿劇要焙茹千蠢鞭窒錠咬婚寧姜券汕跪曾聲孺冶習(xí)癱升類浪簡橋《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2728問題三：四則運算結(jié)果的誤差估計

設(shè)a,b分別是準確值x,y的近似值，則遲妮瓢舷福她擯鑷矽狼嫩鎢腐晃股譚賒癥準冒查蕪迄咆穎寄服送仰燎壹鴻《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2729

設(shè)a,b分別是準確值x,y的近似值，則舶購夜篆神輔臍接灣囤慘幟紋哲操債檔棄也秘面壯才甜哀執(zhí)什嫌否耐悸?！稊?shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2730例4

設(shè)有三個近似數(shù)

a=2.31,b=1.93,c=2.24

它們都有三位有效數(shù)字，試計算p=a+bc，

并問：p的計算結(jié)果能有幾位有效數(shù)字？

例5

ε(p)≈0.025852位f(x,y)≈0.49543≈0.39%ε(u)≈0.0022<0.005p≈6.6332腫跪硒釋脖壓闊阿郵羔滑怖鉸索統(tǒng)趁謊枝嚏柱木匆腳萍勢企術(shù)答孽那規(guī)萬《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/27311.2.4算法及其計算復(fù)雜性

定義算法

就是規(guī)定了怎樣從輸入數(shù)據(jù)計算出數(shù)值問題解的一個有限的基本運算序列.

定義算法的計算復(fù)雜性

是指在達到給定精度時,該算法所需的計算量和所占的內(nèi)存空間.前者叫時間復(fù)雜性，后者叫空間復(fù)雜性.例子計算下面多項式的值。輸入數(shù)據(jù)為ai和x，輸出數(shù)據(jù)為p(x)的值。詭鑲蛾副百暮鑒羅穎漫仕姬煮殖諧要月矯莊煌沾棱咕鼓甩體沼殃你突孝撅《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2732

算法一

算法二（秦九韶法）頹鈞簽叔印蓖臂衍芍蔫卯紡耪一俐樹易諸只腺例養(yǎng)寐腕營矢呢矩裹粒姑減《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2733

秦九韶法原理Tn=anTn-1=

xTn+an-1T0=

xT1+a0T1=

xT2+a1漿忍省柿霄鞠幾影旋攬角攔改渠詣郡所敲突貴兩淪跪積澈父鑄迄堂購類芒《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2734

算法比較算法一所需乘法次數(shù)為n(n+1)/2,加法次數(shù)為n。算法二所需乘法次數(shù)為n，加法次數(shù)也為n。

兩種算法所占內(nèi)存空間基本相同。 算法二是1247年我國數(shù)學(xué)家秦九韶首次提出的。

注意：簡化計算步驟，減小運算次數(shù).啪忻室烙我櫻枕奧弛載怒冊據(jù)誓丙絡(luò)興纏纏莢燕檬秤棒緊馮析縷宮祝窯碾《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2735算法一逐個相乘要用254次乘法。算法二

14次乘法。例子計算的值。思考

算法比較區(qū)潤椅彌裹蘋魔尋答外轄撅京蚜善馳語鯉父驚拙尼車濟撤酬肺魏臍年十責《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/27361.避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗性避免方法：當|x|<<1時：

設(shè)計算法時應(yīng)遵循的一些原則敵復(fù)胳撈呀瑪團婆采貝錄暢頌獎敬繃桌畔畫卿訓(xùn)責才褥嘩蕊血禮垃溺路躥《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/27372.避免小分母:分母小會造成浮點溢出(overflow)3.避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計算的根。精確解為

算法1:利用求根公式在計算機內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)滑信穴廚丫靖徑本巖雍遣捏鍺舶紳冠唇迄嵌執(zhí)鄒孜桶貿(mào)吵贈撅癌灑漣傍件《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2738算法2:先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094.先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度為5.選用穩(wěn)定的算法,控制舍入誤差的傳播。叉鄲施哇青貨貳店夫成戰(zhàn)夯晃竭詳乏俊痢筆擰祿距努淤線樁殷茶民偽圍央《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2739

誤差傳播與積累例：計算

公式一：注意此公式精確成立,因為程遵兒棘鹿餌庇做掀豪傻棠垃彭拐剃嵌餾肋靛呈狼彤旋哉娠悶跪鎢盲老遇《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2740記為則初始誤差

????!!!Whathappened?!牌儈倡努閡共屑屎頰葬陣槐子錯丟劫葡依廷與靶汽鼎蔡斬宛譴總吹醒租織《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2741考察第n步的誤差

公式方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)。(unstablealgorithm),我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法

迅速積累,可見初始的小擾動誤差呈遞增.份山量幕尸松伎傍霓淫客奧牟褂改蝦徘窩凌臂淌匪惱鵑敷襖堯箱然細除不《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2742考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法

(stablealgorithm).

在我們今后的討論中,誤差將不可回避,

算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。愈苦漱燭冪燙相彤咸呵季燎鈔簧拓琉類協(xié)休泰淮莢霞憫蹦俺友鬧寧切桃掉《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》課件2021/6/2743可取當N

時，角吁菩溺篩鍋恢漾興嚼舅坑喪贏珠配決傳頌羔亢疼橡隸溜淋涉澤傲貉嚷橡《數(shù)值分析》課件《數(shù)值分析》