2025屆遼寧沈陽市二十中學高三壓軸卷數(shù)學試卷含解析

2025屆遼寧沈陽市二十中學高三壓軸卷數(shù)學試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數(shù)的實部與虛部相等，其中為虛部單位，則實數(shù)()A．3 B． C． D．2．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．4．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．245．若的展開式中的常數(shù)項為-12，則實數(shù)的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．36．已知x，y滿足不等式，且目標函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]7．設函數(shù)在定義城內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．8．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線，垂足為，且，設拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．9．設，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等差數(shù)列公差（）A．2 B． C．3 D．411．設為等差數(shù)列的前項和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．12．為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數(shù).對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設勞倫茨曲線對應的函數(shù)為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的角所對的邊分別為，且，，若，則的值為__________.14．在的二項展開式中，x的系數(shù)為________．（用數(shù)值作答）15．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標為_____．16．袋中裝有兩個紅球、三個白球，四個黃球，從中任取四個球，則其中三種顏色的球均有的概率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)，，（Ⅰ）求曲線在點（1,0）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍．18．（12分）設（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.19．（12分）某中學為研究學生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”．（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進行體育鍛煉體會交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63520．（12分）如圖，在三棱錐中，，是的中點，點在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點；（2）平面平面.21．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求不等式的解集；（2）的圖象與兩坐標軸的交點分別為，若三角形的面積大于，求參數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，，，.（1）證明：平面；（2）若，，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用乘法運算化簡復數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.2、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.3、A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點F1,0，準線與x軸交點F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.5、C【解析】

先研究的展開式的通項，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為，所以的展開式中的常數(shù)項為：，解得，故選：C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.6、B【解析】

作出可行域，對t進行分類討論分析目標函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時，可行域即為如圖中的△OAM，此時目標函數(shù)z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時可知目標函數(shù)Z＝9x+6y在的交點（）處取得最大值，此時Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【點睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.7、D【解析】

根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數(shù)圖象的識別，此類問題應根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導函數(shù)的符號與零點情況，本題屬于基礎題.8、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點坐標和焦點坐標，進而求出點的坐標，代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為，由題意知，焦點,準線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標為，代入斜率公式可得，.故選：A【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力；屬于基礎題.9、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運算進行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．10、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11、C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項和中，前項的和最小，且.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和最值的求法，屬于基礎題.12、A【解析】

對于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式，可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積越小，國民分配越公平，所以①正確.對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯誤.對于③，因為，所以，所以③錯誤.對于④，因為，所以，所以④正確.故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式，結(jié)合可求的值.【詳解】因為，故，因為，所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因為，解得或（舍）.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.14、-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項的系數(shù)【詳解】的二項展開式的通項公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項展開式中x項的系數(shù)為.故答案為：-40.【點睛】本題考查二項式定理的應用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎題.15、【解析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出得答案．【詳解】，，則，的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標為，故答案為【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準確計算是關(guān)鍵，是基礎題．16、【解析】

基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數(shù)m72，由此能求出其中三種顏色的球都有的概率．【詳解】解：袋中有2個紅球，3個白球和4個黃球，從中任取4個球，基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有，可能是2個紅球，1個白球和1個黃球或1個紅球，2個白球和1個黃球或1個紅球，1個白球和2個黃球，所以包含的基本事件個數(shù)m72，∴其中三種顏色的球都有的概率是p．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】分析：(1)先斷定在曲線上，從而需要求，令，求得結(jié)果，注意復合函數(shù)求導法則，接著應用點斜式寫出直線的方程；(2)先將函數(shù)解析式求出，之后借助于導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)在相應區(qū)間上的最值.詳解：（Ⅰ）當，.，當，，所以切線方程為.（Ⅱ）,,因為，所以.令，，則在單調(diào)遞減，因為，所以在上增，在單調(diào)遞增.,,因為，所以在區(qū)間上的值域為.點睛：該題考查的是有關(guān)應用導數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，曲線在某個點處的切線方程的求法，復合函數(shù)求導，函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等，在解題的過程中，需要對公式的正確使用.18、（1）（2）【解析】

(1)通過討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解：（1）當時，，即或或解之得或，即不等式的解集為.（2）由題意得：當時為減函數(shù)，顯然恒成立.當時，為增函數(shù)，，當時，為減函數(shù)，綜上所述：使恒成立的的取值范圍為.【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列見解析．【解析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表．由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達標人數(shù)，從而得男生中達標人數(shù)，這樣不達標人數(shù)隨之而得，然后計算可得結(jié)論；（2）由達標人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，的可能值為0，1，2，分別計算概率得分布列，再由期望公式可計算出期望．【詳解】（1）列出列聯(lián)表，，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下能判斷“課外體育達標”與性別有關(guān)．（2）（i）在“鍛煉達標”的學生中，男女生人數(shù)比為，用分層抽樣方法抽出人，男生有人，女生有人．（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發(fā)言，人中女生的人數(shù)為，則的可能值為，，，則，，，可得的分布列為：可得數(shù)學期望．【點睛】本題考查列聯(lián)表與獨立性檢驗，考查分層抽樣，隨機變量的概率分布列和期望．主要考查學生的數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，屬于中檔題．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】

（1）推導出，由是的中點，能證明是有中點．（2）作于點，推導出平面，從而，由，能證明平面，由此能證明平面平面．【詳解】證明：（1）在三棱錐中，平面，平面平面，平面，，在中，是的中點，是有中點．（2）在三棱錐中，是銳角三角形，在中，可作于點，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面平面．【點睛】本題考查線段中點的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間