概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題

概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題一：全概率公式和貝葉斯公式例：某廠由甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為3：2：1，各車(chē)間產(chǎn)品的不合格率依次為8％，9%,12%?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件，求：〔1〕取到不合格產(chǎn)品的概率；〔2〕假設(shè)取到的是不合格品，求它是由甲車(chē)間生產(chǎn)的概率。解：設(shè)A1,A2,A3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車(chē)間生產(chǎn)，B表示產(chǎn)品不合格，那么A1,A2,A3為一個(gè)完備事件組。P(A1)=1/2,P(A2)=1/3,P(A3)=1/6,P(B|A1)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12o由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3由貝葉斯公式：P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=4/9練習(xí)：市場(chǎng)上出售的某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供貨，其供給量第一廠家為第二廠家的2倍，第二、三兩廠家相等，而且第一、二、三廠家的次品率依次為2%,2%,4%。假設(shè)在市場(chǎng)上隨機(jī)購(gòu)置一件商品為次品，問(wèn)該件商品是第一廠家生產(chǎn)的概率是多少？【0.4】練習(xí)：設(shè)兩箱內(nèi)裝有同種零件,第一箱裝50件,有10件一等品,第二箱裝30件,有18件一等品,先從兩箱中任挑一箱,再?gòu)拇讼渲星昂蟛环呕氐厝稳?個(gè)零件,求：〔1〕取出的零件是一等品的概率；〔2〕在先取的是一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率。解：設(shè)事件A=｛從第i箱取的零件｝，B=｛第i次取的零件是一等品｝ii110118〔1〕P(々”P(pán)lA)P(BJ*P(4)P(BJ4)=二十2301C2 1C2 P(BB)〔2〕P(BB)=—-1^+ 1^=0.194，那么P(B|B)= —12 2C2 2C2 211 p(b)50 30 1、連續(xù)型隨機(jī)變量的綜合題依x0<x<2例：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x/0m求：〔1〕常數(shù)入；〔2〕EX；(3)P｛1<X<3｝；〔4〕X的分布函數(shù)F(x)解：(1)由J解：(1)由J+8f(x)dx=得至4人=1/212 4EX=Jxf(x)dx=J2—xdx=—'一J o2 3P{1<x<3}=J3f(x)dx=J22xdx=4

⑷當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=1"0出=0一gTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"當(dāng)0<x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=1xf(t)dt=100dx+1"1tdt=1x2: Y02 4當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)〔x〕=1'0x<0八 八F(x)=\-x20<x<2故5 41x>2Iax+b0<x<1練習(xí)：隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x『 0others且E(X)=7/12。求：〔1〕a,b；〔2〕X的分布函數(shù)F(x)0<x<10<x<1others練習(xí)：隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=j0求：〔1〕X的分布函數(shù)F(x)；〔2〕P{0.3<X<2}三、離散型隨機(jī)變量和分布函數(shù)例：設(shè)X的分布函數(shù)F(x)為：??00.4x<—1一1<x<1F(x)=，0.81<x<3,、1x>3那么X的概率分布為〔〕。分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x是離散型的隨機(jī)變量[答案：P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5，寫(xiě)出其分布函數(shù)F(x)。[答案：當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)1Wx<2時(shí)，F(xiàn)(x)=0.2;當(dāng)2Wx<3時(shí)，F(xiàn)(x)=0.5;當(dāng)3Wx時(shí)，F(xiàn)(x)=1四、二維連續(xù)型隨機(jī)向量例：設(shè)X及Y相互獨(dú)立，且X服從九二3的指數(shù)分布，Y服從九二4的指數(shù)分布，試求：〔1〕(X,Y)聯(lián)合概率密度及聯(lián)合分布函數(shù)；〔2〕P(X<1,Y<1)；〔3〕(X,Y)在D={(x,y)|x>0,y>0,3x+4y<3}取值的概率。解：〔1〕依題知|3e-3x,x>0 |4e-4y,y>0f(x)=< f(y)=<X00,其他Y[0,其他所以(X,Y)聯(lián)合概率密度為

12e-3x-4y,x>0,y>00,其他0,當(dāng)x>0,y>0時(shí)，有F(x,y)=fxdtfy12e-31-4sds=(1-e-3x)(1-e-4y)00所以(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)(1-e-3x)(1-e-4y), x>0,y>0;0,其他0,〔2〕P(X<1,Y<1)=F(1,1)=(1-e-3)(1-e-4)；〔3〕P((X,Y)eD)=f1dxf丁12e-3x-4ydy=1-4e-300* ff f(xf(x,y* ff f(xf(x,y)=<練習(xí)：設(shè)二元隨機(jī)變量〔X,Y〕的聯(lián)合密度是fx，yJ1 〃—-(x+y) e502500x>0,y>00others求：〔1〕關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)fX(x)；〔2〕P{XN50,YN50}五、二維離散型隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)變量X及Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的局部數(shù)值,試將其他數(shù)值填入表中的空白處。]六、協(xié)差矩陣[例：隨機(jī)向量〔X,Y〕]六、協(xié)差矩陣[例：隨機(jī)向量〔X,Y〕的協(xié)差矩陣V為V=計(jì)算隨機(jī)向量[X+Y,X—Y〕的協(xié)差矩陣解：DX=4,DY=9,COV(X,Y)=6D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1COV〔X+Y,X—Y〕=DX-DY=5? ……125-5)故［X+Y,X—Y〕的協(xié)差矩陣1—3 1)練習(xí)：隨機(jī)向量〔X,Y〕服從二維正態(tài)分布，均值向量及協(xié)差矩陣分別為|1=O2|1=O21poO1 2poo1 2O22計(jì)算隨機(jī)向量〔9X+Y,X—Y〕的協(xié)差矩陣解：E(9X+Y)=9EX+EY=9ui+u2E(X—Y)=EX-EY=%—%D(9X+Y)=81DX+DY+18C0V(X,Y)=81。j+18Poxo2+o22D(X—Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=。2P。］。？+。22COV〔9X+Y,x—Y〕=9DX-DY—8coV(X,Y)=9。j—8p° 2~0然后寫(xiě)出它們的矩陣形式〔略〕七、隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)例：設(shè)XU(0,2),那么Y=X2在(0,4)內(nèi)的概率密度/Jy)=〔L:44y1—,0<X<2解：vXU(0,2)'f(XXj20,othersF(y)=P{Y<y}=P{X2<y}=P{-x5<x<和}=Jy_f(x)dx,---yTOC\o"1-5"\h\z一1 一1 1求導(dǎo)出f(y)=f(、:y)『-f(-\；'y)(-『)=「YX\2yyX\ 2、,:y 4,,:y練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［1,2］上服從均勻分布，求Y=e2x的概率密度f(wàn)(y)。，、1 ，、［答案：當(dāng)e2<y<e4時(shí)，f(y):丁，當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時(shí)，f(y)=0.］2y八、中心極限定理例：設(shè)對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地發(fā)射400發(fā)炮彈，每一發(fā)炮彈地命中率等于0.2。請(qǐng)用中心極限定理計(jì)算命中60發(fā)到100發(fā)的概率。解：設(shè)X表示400發(fā)炮彈的命中顆數(shù)，那么X服從B(400,0.2),EX=80，DX=64,

由中心極限定理：X服從正態(tài)分布N(80,64)P{60<X<100}=P{-2.5<(X-80)/8<2.5}=2<b練習(xí)：袋裝食鹽，每袋凈重為隨機(jī)變量，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為500克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，-箱內(nèi)裝100袋，求一箱食鹽凈重超過(guò)50250克的概率。九、最大似然估計(jì)例：設(shè)總體X的概率密度為fM=0<x<1fM=其他其中未知參數(shù)6〉-1,X,X，…X是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，用極大似然估計(jì)法求01 2 n的估計(jì)量。解：設(shè)似然函數(shù)灰(e)=FI(e+i)］。(o<%<1；i=1,2,???,?)i ii=l對(duì)此式取對(duì)數(shù)，即：InL(6)=nln(0+l)+eZlnx且〃+ZInx，dB0+1ii=l i=ldJ, 人 fr令下一=o,可得e=-1-〒——,此即°的極大似然估計(jì)量。2Llnxiz=l例：設(shè)總體X的概率密度為\ 九QXa-ie-",X〉0/In八、/(、)=〈 ,(A>0,a>0)0 ,x<0據(jù)來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(X,X，…,X),求未知參數(shù)九的最大似然估計(jì)量。1 2 n“ ”、kaxa-ie-^^, %>0X?于(x)=〈解：由 0，元V0得總體X的樣本(XjX，,….x〃)的似然函數(shù)L(x,x ，九)二￡九ax.—ie-九￥二(九e?。垡痪臵x1 2n i i ii=li=lz=li=l再取對(duì)數(shù)得:InL=〃ln(入a)-九Zx。+(a-l)2Lln(x)i=li=l

i=l再求lnL對(duì)九的導(dǎo)數(shù):dlnLd九an九再求lnL對(duì)九的導(dǎo)數(shù):dlnLd九an九a2aii=1dlnLann令,二石一乙xi=1=0n2aii=1所以未知參數(shù)九的最大似然估計(jì)量為Xxaii=1練習(xí)：設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x,a)=axa-10<x<1《0others（a〉0）X1，X2，…,Xn是取自總體X的一組樣本，求參數(shù)a的最大似然估計(jì)十、區(qū)間估計(jì)總體X服從正態(tài)分布N(,2),X1，X2，…,Xn為X的一個(gè)樣本1：。2,求U的置信度為1-a置信區(qū)間/oo、(X-u=,X+u—a而a.qn2：。2未知，求u的置信度為1-a置信區(qū)間S S(X-1(n-1)一,X+1(n-1)y)a nn a nn3：求。2置信度為1-a的置信區(qū)間(n-1)S2(n-1)S2( , )%2a(n-1) %21-a(n-1)22例：設(shè)某校學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機(jī)抽查10名女生，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下：X=162.67,s2=18.43。求該校女生平均身高的95%的置信區(qū)間。_X-u解：T= =?t(n-1),由樣本數(shù)據(jù)得n=10,x=162.67,s2=18.43,a=0.05Snn查表得： t()=2.2622,故平均身高的95%的置信區(qū)間為

ss(X-1(9)y,X+1 (9)=)=(159.60,165.74)0.05 %n 0.05 nn例：從總體X服從正態(tài)分布N(u,。2)中抽取容量為10的一個(gè)樣本，樣本方差S2=0.07,試求總體方差。2的置信度為0.95的置信區(qū)間。(n-1)S2解：因?yàn)??X2(n-1)，所以。2的95%的置信區(qū)間為：O2(n-1)S2 (n-1)S2(r^i),r^i))，其中『07,區(qū) 1-漢22X2(n-1)=X2(9)=19.023,X 2(n-1)=X2(9)=2.70% 0.025 1—及 0.97522((n-1)S2 (n-1)S2)(9x0.079x0.07)，所以(X2(n-1)，X2(n-1))=19.023，2.70)% 1-%22=〔0.033,0.233〕例：某種材料的抗壓強(qiáng)度X?N(四,o2),現(xiàn)隨機(jī)地抽取10個(gè)試件進(jìn)展抗壓試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下:482,493,457,471,510,446,435,418,394,469.⑴求平均抗壓強(qiáng)度日的點(diǎn)估計(jì)值；⑵求平均抗壓強(qiáng)度日的95%的置信區(qū)間；⑶假設(shè)o=30,求平均抗壓強(qiáng)度日的95%的置信區(qū)間；(4)求o2的點(diǎn)估計(jì)值；⑸求o2的95%的置信區(qū)間；解:(1)U=X=457.50X-u(2)因?yàn)門(mén)=-n?t(n-1),故參數(shù)目的置信度為0.95的置信區(qū)間是:,s=35.276,n=10,，一S,一、一S,…一一”{X-一t(n-1),X+-t(n-1)},,s=35.276,n=10,vn彳 工n彳查自由度為9的分位數(shù)表得,t0.05(9)=2.262,故S<nt(nS<nt(n-1),X+%St

v'na(n-1)}=TOC\o"1-5"\h\z35.22 35.22{457.50-義2.262,457.50+ *2.262}={432.30,482.70}、.10 vi0(3)假設(shè)。=30,那么平均抗壓強(qiáng)度日的95%的置信區(qū)間為:{X-_Lu,X+-Lu}={457.50—三義1.96,457.50+4L義1.96}nn2 nn? ,10 <10={438.90,476.09}(4)￡2=S2(5)因?yàn)?n-1)$2~12(n-1)，所以o2的95%的置信區(qū)間為：￡2(n-1)S2 (n-1)S2{ , },其中S2=1240.28,X2(n-1)X2(n-1)a 1-a22X2(n-1)=X2(9)=19.023,X2(n-1)=X 2(9)=2.70，所以a 0.025 1-a 0.97522{(n-1)S2 (n-1)S2}9x1240.289x1240.24{X2(n-1)'X2(n-1)卜19.023'270}a 1一在22={586.79,4134.27}十一、假設(shè)檢驗(yàn)L 方差。2,關(guān)于期望g的假設(shè)檢驗(yàn)U=X一也?N(0,1) (o為已知)o/..Jn 002．2．未知方差。2,關(guān)于期望"的假設(shè)檢驗(yàn)T=— L^0_?t(n-1)S/，.萬(wàn)3．3．未知期望如關(guān)于方差。2的假設(shè)檢驗(yàn)(n-1)S2X2=-———?X2(n-1)o20例：2),現(xiàn)在測(cè)定了9爐鐵水，含碳量平均數(shù)X=4.445，樣本方差S2=0.0169。假設(shè)總

體方差沒(méi)有變化，即。2=0.121,問(wèn)總體均值u有無(wú)顯著變化？[a=0.05]解：原假設(shè)H0：ux-4.55統(tǒng)計(jì)量U=0山衿，當(dāng)H0成立時(shí)，U服從N〔0，1〕對(duì)于a=0.05,U4.445—4.55U= =2.86〉1.9611 0.11/49故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值U有顯著變化練習(xí)：某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的情況下，這種零件的軸長(zhǎng)服從正態(tài)分布，均值為0.13厘米。假設(shè)從某日生產(chǎn)的這種零件中任取10件，測(cè)量后得元=0.146厘米，S=0.016厘米。問(wèn)該日生產(chǎn)得零件得平均軸長(zhǎng)是否及往日一樣？[a=0.05〕【不一樣】例：設(shè)某廠生產(chǎn)的一種鋼索，其斷裂強(qiáng)度Xkg/cm2服從正態(tài)分布N(m402).從中選取一個(gè)容量為9的樣本，得X=780kg/cm2.能否據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800kg/cm2(a=0.05).解：H0：u=800.X-u采用統(tǒng)計(jì)量U=其中。=40,u0=800,n=9,a=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得U_aIUl<Ua,應(yīng)承受原假設(shè)，即可以認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800kg/cm2.2練習(xí)：某廠生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向穩(wěn)定。現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽出10段檢查其折斷力，測(cè)后-“_ _、2 經(jīng)計(jì)算：X=287.5,占(X-X)=160.5。假定銅絲折斷力服從正態(tài)分布，問(wèn)是否可相ii=1信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力方差為16?〔a=0.1〕【是】十二、證明題：例：總體X~U(0,20),其中0〉0是未知參數(shù)，又X,X，…,X為取自該總體的樣本,X為樣12n本均值.證明：0=2X是參數(shù)0的無(wú)偏估計(jì).3 0k- 0證明：因?yàn)镋0=：EX=：EX=330=0,故0=1X是參數(shù)u的無(wú)偏估