安徽省黃山市2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末試題含解析

Page21安徽省黃山市2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題60分）和第Ⅱ卷（非選擇題90分）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.留意事項：1．答題前，務必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并仔細核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一樣.務必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號后兩位.2．答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.3．答第Ⅱ卷時，必需運用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清晰.必需在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.4．考試結(jié)束，務必將試卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題滿分60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1.若，其中，是虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)相等的條件，結(jié)合虛部的概念求解即可【詳解】因為，故，故復數(shù)的虛部為2故選：D2.以下說法正確的是（）A.零向量與隨意非零向量平行 B.若，，則C.若(為實數(shù))，則必為零 D.和都單位向量，則【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的性質(zhì)和定義即可逐一推斷.【詳解】解：對于A,零向量與隨意向量平行，故A正確；對于B，時，滿意，，但不肯定成立，故錯誤；對于C,時，或，故錯誤；對于D，和都是單位向量，則，但不肯定成立，故錯誤．故選：A．3.已知，是不同的直線，，是不重合的平面，則下列命題錯誤的序號是（）①若，，則②若，，則③若，則④若，，則A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】①可由線面平行的判定定理進行推斷；②可由線面垂直的位置關系進行推斷；③可由面面垂直的判定定理進行推斷．④可由面面垂直的性質(zhì)定理進行推斷；【詳解】①因為，時，也有可能，故不成立．故①錯誤；②因為，，位置不定，則位置不定.故②錯誤；③因為，，由面面垂直的判定定理可得，故③正確；④因為，時，不肯定成立，有可能是，故④錯誤故①②④錯誤故選：C．4.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)斜二測畫法得到為兩直角邊長分別為4和6的直角三角形，進而可得其周長.【詳解】如圖，依據(jù)斜二測畫法得到為直角三角形，兩直角邊長分別為4和6，所以斜邊長為，故的周長為．故選：B．5.現(xiàn)有以下兩項調(diào)查：①從臺剛出廠的電視機中抽取臺進行質(zhì)量檢查；②某社區(qū)有戶家庭，其中高收入家庭戶，中等收入家庭戶，低收入家庭戶，為了調(diào)查家庭每年生活費的開支狀況，安排抽取一個容量為的樣本，則完成這兩項調(diào)查最相宜采納的抽樣方法分別是（）A.①②都采納簡潔隨機抽樣B.①②都采納分層隨機抽樣C.①采納簡潔隨機抽樣，②采納分層隨機抽樣D.①采納分層隨機抽樣，②采納簡潔隨機抽樣【答案】C【解析】【分析】依據(jù)簡潔隨機抽樣和分層抽樣的特點，推斷選項.【詳解】①的總體中的個體數(shù)較少，宜采納簡潔隨機抽樣，②中1000戶家庭中收入存在較大差異，層次比較明顯，宜采納分層抽樣.故選：C6.袋子里裝有大小質(zhì)地都相同的個白球，個黑球，從中不放回地摸球兩次，用表示事務“第次摸得白球”，表示事務“第次摸得白球”，則與是（）A.互斥事務 B.相互獨立事務 C.對立事務 D.不相互獨立事務【答案】D【解析】【分析】依據(jù)相互獨立乘法公式即可推斷.【詳解】由題意可知,而表示“第一次摸白球，其次次摸白球”，故,故與不相互獨立，同時與可以同時發(fā)生，也不對立，故選：D7.某省在新高考改革方案中規(guī)定：每位考生必選語文、數(shù)學、英語科，再從物理、歷史科中選科，從化學、生物、地理、政治科中選科，甲考生隨機選擇，最終他選擇物理、化學、地理這個組合的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別寫出全部選科的組合，再寫出滿意甲考生的組合，依據(jù)古典概型的概率公式計算即可.【詳解】在物理、歷史任選一科只有兩種選法；而在化學、生物、地理、政治中任選二科有六種選法；甲考生隨機選科的組合共有12種，即物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，歷化生，歷化地，歷化政，歷生地，歷生政，歷地政.滿意要求的組合為：物化地共一種；所以甲考生選擇物理、化學、地理的概率為.故選：C.8.已知是所在平面內(nèi)的一點，，，所對的邊分別為，，，若，過作直線分別交、(不與端點重合)于、，若，，若與的面積之比為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)與的面積之比為可得，再以為基底表達，結(jié)合向量共線的性質(zhì)求解即可【詳解】因為與的面積之比為，易得.故，即，整理得.因為，且均不共線，故，解得

故選：D二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.復數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的共軛復數(shù)為C.的實部與虛部之和為 D.在復平面內(nèi)的對應點位于第一象限【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)的四則運算，整理復數(shù)，再逐一分析選項，即得.【詳解】由題得，復數(shù)，可得，則A正確；的共軛復數(shù)為，則B不正確；的實部與虛部之和為，則C正確；在復平面內(nèi)的對應點為，位于第一象限，則D正確.故選：ACD10.下列說法正確的有（）A.擲一枚質(zhì)地勻稱的的骰子一次，事務“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事務“出現(xiàn)點或點”，則和相互獨立B.袋中有大小質(zhì)地相同的個白球和個紅球.從中依次不放回取出個球，則“兩球同色”的概率是C.甲，乙兩名射擊運動員進行射擊競賽，甲的中靶率為，乙的中靶率為，則“至少一人中靶”的概率為D.柜子里有三雙不同的鞋，假如從中隨機地取出只，那么“取出的鞋不成雙”的概率是【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)相互獨立事務的概率公式可驗證是否相互獨立，即可推斷A,依據(jù)排列組合以及古典概型的公式即可推斷B,D，依據(jù)對立事務的概率即可推斷C.【詳解】對于A,擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子一次，則,,而=“出現(xiàn)3點”，所以,則，故事務和相互獨立，對于B,兩球同色，則取出的兩球要么兩個白球，要么兩個紅球，故“同色”的概率為,故B錯誤，對于C,甲乙兩份均未中靶的概率為，“至少一人中靶”的概率為，故C正確，對于D,“取出的鞋不成雙”的概率為，故正確,故選：ACD11.下列命題正確的是（）A.設，為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件B.點是邊的中點，若，則在的投影向量是C.點是邊的中點，若點是線段上的動點，且滿意，則的最大值為D.已知平面內(nèi)的一組基底，，則向量，不能作為一組基底【答案】ABC【解析】【分析】對A，依據(jù)向量平行的性質(zhì)與數(shù)量積的運算推斷即可；對B，依據(jù)平行四邊形法則，結(jié)合單位向量的方法可得是以為直角的等腰直角三角形，進而推斷；對C，依據(jù)、、三點共線，設，將替換為后與已知式子對比，用t表示，依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可推斷；對D，依據(jù)基底向量的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形法則推斷即可【詳解】對A，若存在負數(shù)，使得，則成立；當時，可能夾角為鈍角，不滿意，故A正確；對B，由，結(jié)合平行四邊形法則，可得與同向的單位向量和與同向的單位向量，和與同向的單位向量構(gòu)成正方形的兩邊與對角線.故，且為的角平分線.又是邊的中點，由三角形三線合一可得是以為直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.故B正確；對C，如圖所示：∵在上，即、、三點共線，則可設，又∵，∴，∵，則，，令，時，取得最大值為，故C正確對D，已知平面內(nèi)的一組基底，，則向量，為以，為邊的平行四邊形的兩條對角線，故，肯定不共線，故能作為一組基底，故D錯誤；故選：ABC12.在棱長為的正方體中，已知點在面對角線上運動，點，，分別為，，的中點，點是該正方體表面及其內(nèi)部的一動點，且平面，則下列選項正確的是（）A.平面B.平面平面C.過，，三點的平面截正方體所得的截面面積為D.動點的軌跡所形成區(qū)域的面積是【答案】ABD【解析】【分析】對A,依據(jù)面面平行即可推斷線面平行，對B，由線線垂直可證線面垂直，進而可得面面垂直,對C，由正方體的特征可得截面為正六邊形，即可求面積，對D,由面面平行可得點的運動軌跡，進而可求面積.【詳解】對于A,在正方體中，由平面，平面，平面，同理可得平面，又，所以平面平面,而平面,故平面，故A對,對于B,因為,所以平面,又平面,因此,同理可得,又,故平面,因為平面，故平面平面，所以B對，對于C,可知過三點平面截正方體所得的截面為正六邊形,且正六邊形的變長為,所以截面正六邊形的面積為，故C錯，對于D,由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形邊上以及內(nèi)部運動，而三角形是邊長為的正三角形，故面積為，故D對，故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題滿分90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請在答題卷的相應區(qū)域答題.）13.已知向量，，滿意，，，，，則_________.【答案】6【解析】【分析】由，得，兩邊平方化簡可得答案詳解】由，得，兩邊平方，得，因為，所以，得.故答案為：.14.已知復數(shù)滿意，則復數(shù)___________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)的乘方與除法運算求解即可【詳解】，故故答案為：15.某同學次上學途中所花的時間（單位：分鐘）分別為，，，，.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法可列出關于和的方程組，解之即可．【詳解】平均數(shù)為，即①，方差為，即②，由①②解得，或，，所以當，時，；當，，故答案為：．16.如圖，已知平行四邊形中，，，將沿對角線翻折至所在的位置，若二面角的大小為，則過，，，四點的外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】過正與正的中心E，F(xiàn)分別作平面，平面的垂線，兩線交于點O得外接球球心，再求出OA長即可得解.【詳解】由已知得與均為邊長是的正三角形，取AC中點G，連，如圖：則有，于是得是二面角的平面角，，明顯有平面，即有平面平面，平面平面，令正與正的中心分別為E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作平面，平面的垂線，則二垂線都在平面內(nèi)，它們交于點O，從而得點O是過，，，四點的外接球球心，連OA，則OA為該外接球半徑，由已知得，而，于是得，在中，，而，在中，，所以過，，，四點的外接球的表面積為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請在答題卷的相應區(qū)域答題.）17.已知復數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，，為實數(shù)．（1）若，，求的值；（2）若，求，的值.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）依據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的加減運算化簡，再依據(jù)復數(shù)模的公式計算可得；（2）依據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算及復數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可.【小問1詳解】解：因，，又，，所以，，所以，所以.【小問2詳解】解：，，又，所以，所以，解得.18.已知向量,.（1）當時,求；（2）當，，求向量與的夾角.【答案】（1）或（2）【解析】【小問1詳解】向量,，則，.由,可得即，即，解得或,當,則,則,所以，當，，，綜上.【小問2詳解】由,,則由,可得,解得,所以,,又,所以.19.如圖，在三棱柱中，為的中點，，，．（1）證明：平面；（2）若的外接圓半徑為，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等邊三角形可得線線垂直，進而依據(jù)線線垂直即可證明線面垂直，（2）依據(jù)等體積法即可求解.【小問1詳解】由題意的：均為等邊三角形，為的中點，所以又所以平面.【小問2詳解】因為的外接圓半徑為，由正弦定理得，所以，進而可得,因為，，,所以平面因為平面所以到平面的距離等于到平面的距離，即，20.某校有中學生人，其中男女生比例約為，為了獲得該校全體中學生的身高信息，實行了以下兩種方案：方案一：采納比例安排的分層隨機抽樣方法，抽取了樣本容量為的樣本，得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．方案二：依據(jù)性別分類進行簡潔隨機抽樣，抽取了男、女生樣本容量均為的樣本，計算得到男生樣本的均值為，方差為，女生樣本的均值為，方差為．身高（單位：）頻數(shù)（1）依據(jù)圖表信息，求，的值并補充完整頻率分布直方圖，估計該校中學生的身高均值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值為代表）（2）計算方案二總樣本的均值及方差；（3）你覺得是用方案一還是方案二總樣本的均值作為總體均值的估計比較合適？（說明理由）【答案】（1）；；頻率分布直方圖見解析；（2）；（3）答案見解析【解析】【小問1詳解】（1）因為身高在區(qū)間，的頻率為，頻數(shù)4，所以，，所以身高在區(qū)間，的頻率為，在區(qū)間，的頻率為，由此可補充完整頻率分布直方圖：由頻率分布直方圖可知，樣本的身高均值為：；【小問2詳解】把男生樣本記為，，，，其均值記為，方差記為；把女生樣本記為，，，，其均值記為，方差記為，則總樣本均值，又因為，所以，同理可得，所以總樣本方差；【小問3詳解】用方案一比較合適，因為方案一是按比例抽取樣本，所以樣本的代表性比較強，能夠更好地反映總體的狀況.21.如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，已知側(cè)面與底面所成的二面角的大小為，是的中點.（1）請在棱與上各找一點和，使平面平面，作出圖形并說明理由；（2）求異面直線與所成角的正切值；（3）問在棱上是否存在一點，使側(cè)面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）答案見解析（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)三角形中位線可得線線平行，進而可得線面平行，由線面平行可證明面面平行，（2）利用線線平行，即可找到異面直線所成的角，進而在三角形中進行求解即可，（3）依據(jù)線線垂直，可得線面垂直，即可找到的位置.【小問1詳解】分別取AB，BC的中點M，N，連接MN，NE，則平面MNE//平面PAC證明：