2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練08立體幾何學(xué)生版

熱點(diǎn)08立體幾何從新高考的考查狀況來(lái)看，立體幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點(diǎn)是：①幾何體的表面積和體積，與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等；②異面直線所成的角和線面位置關(guān)系；③直線與平面以及平面與平面平行（垂直）的判定和性質(zhì)，常出現(xiàn)在解答題的第（1）問(wèn)中，難度中等；④利用向量法求空間角和空間距離是高考的重點(diǎn)，考查頻率較高，線、面的平行和垂直問(wèn)題一般不用向量法求解，但向量法的運(yùn)用有時(shí)可以加快求解速度，主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．該部分主要考查考生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)．1、幾何體的表面積（體積）問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：（1）若所給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可干脆利用公式進(jìn)行求解．（2）若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解．①等體積法：一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．假如一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采納等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積，特殊是三棱錐的體積.②割補(bǔ)法：運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是能依據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，假如是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體積累而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和;假如是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積．2、球面幾何的解題技巧：1）確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.2）球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：(1)長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)；(2)正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特殊地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；(4)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；(5)球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高．3）與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系.4）有關(guān)球的截面問(wèn)題，常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問(wèn)題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿意關(guān)系式：.3、向量法求空間角度和距離的方法策略：建立空間直角坐標(biāo)系，把空間中的點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組(即坐標(biāo))表示出來(lái),通過(guò)坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算解決空間幾何問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題(形)與代數(shù)問(wèn)題(數(shù))的結(jié)合.1）用向量法求異面直線所成的角：（1）建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求出兩條直線的方向向量；（3）代入公式求解.2）向量法求直線與平面所成的角：（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；（2）通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．3）向量法求二面角：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要留意結(jié)合實(shí)際圖形推斷所求角是銳角還是鈍角．4）求點(diǎn)P到平面α的距離的三個(gè)步驟：（1）在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)．（2）確定平面α的法向量n.（3）代入公式求解.熱點(diǎn)1、球面幾何主要考查多面體的外接球的表面積、體積等，一般應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。熱點(diǎn)2、直線與平面以及平面與平面平行（垂直）的判定和性質(zhì)(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合找尋證題思路。(2)利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加協(xié)助線(或面)是解題的常用方法之一。熱點(diǎn)3、空間向量的應(yīng)用（求角、距離等）主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算。(1)兩條異面直線所成的角：①平移法；②補(bǔ)形法；③向量法。(2)直線和平面所成的角：①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計(jì)算，或用向量計(jì)算。②用公式計(jì)算。(3)二面角：①平面角的作法：(i)定義法；(ii)垂面法。②平面角的計(jì)算法：(i)找到平面角，然后在三角形中計(jì)算(解三角形)或用向量計(jì)算；(ii)射影面積法；(iii)向量夾角公式。(4)求點(diǎn)到平面的距離：一般找出(或作出)過(guò)此點(diǎn)與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過(guò)該點(diǎn)作出平面的垂線，進(jìn)而計(jì)算;也可以利用“等體積法”干脆求距離。A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·山東·泰安一中模擬預(yù)料）如圖，位于貴州黔南的“中國(guó)天眼”是具有我國(guó)自主學(xué)問(wèn)產(chǎn)權(quán)?世界最大單口徑?最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡，其反射面的形態(tài)為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設(shè)球冠所在球的半徑為，球冠底的半徑為，球冠的高為，球冠底面圓的周長(zhǎng)為.已知球冠的表面積公式為，若，則球冠所在球的表面積為（）A． B． C． D．2．（2024·重慶市涪陵試驗(yàn)中學(xué)校高三期中）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何探討的重要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面風(fēng)光 上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A． B． C． D．3．（2024·山東濰坊·高三期中）“迪拜世博會(huì)”于2024年10月1日至2024年3月31日在迪拜實(shí)行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形態(tài)可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛(ài)好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為（）A． B． C． D．4．（2024·廣東龍崗·高三期中）如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得二面角為，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．25．（2024·山東·膠州市教化體育局教學(xué)探討室高三期中）已知，是空間中兩條不同的直線，，是空間中兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是()A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則6．（2024·江蘇南通·高三期中）已知圓錐SO的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB，SC兩兩垂直，且，則圓錐SO的體積為（）A． B． C． D．7．（2024·浙江·高三期中）一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐各棱棱長(zhǎng)的最大值為（）A．1 B．2 C． D．8．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們?cè)诶L畫(huà)該表面積最小的幾何體的直觀圖時(shí)所畫(huà)的底面積大小是，則和的值分別是（）A．3； B．4； C．4； D．3；9．（2024·浙江·模擬預(yù)料）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（chumeng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五面體是一個(gè)芻甍，其中四邊形為矩形，平面，且（AD的長(zhǎng)度為常數(shù)），△是等邊三角形，當(dāng)五面體體積最大時(shí)，記二面角的大小為，二面角的大小為，直線與所成的角為，則（）A．B．C．D．10．（2024·浙江·高三期中）在正方體中P，Q分別是和的中點(diǎn)，則下列推斷錯(cuò)誤的是（）A．B．平面C．D．平面11．（2024·上?！げ軛疃懈呷谥校┮阎襟w的棱長(zhǎng)為，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．12．（2024·新疆·昌吉市第九中學(xué)高三期末）已知梯形CEPD如下圖所示，其中，，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿意時(shí)，平面平面PCE，則的值為（）A． B． C． D．二、多選題13．（2024·福建·永安市第三中學(xué)中學(xué)校高三期中）在正方體中，為底面的中心，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)．現(xiàn)有以下結(jié)論中正確的是（）A．與是異面直線； B．過(guò)、、三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形；C．平面平面； D．平面．14．（2024·江蘇·南京師大附中高三期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面分別與棱交于點(diǎn)G，H，以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．正方體外接球的表面積為3πB．平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為C．四棱錐的體積為定值D．點(diǎn)到平面EGFH的距離的最大值為15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．外接球的表面積為B．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則C．過(guò)點(diǎn)P作平面截圓錐的截面面積的最大值為D．設(shè)長(zhǎng)方體為圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體，且該長(zhǎng)方體的一個(gè)面與圓錐底面重合，則該長(zhǎng)方體體積的最大值為三、填空題16．（2024·福建·上杭一中模擬預(yù)料）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異。”意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等。如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，（1）如用與軸相距為，且垂直于軸的平面，截這個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則截面圖形的面積為_(kāi)_____；（2）則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)_____．17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采納平面切割圓錐的方法來(lái)探討曲線，如圖①，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條相互垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，已知過(guò)與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為_(kāi)___________，是該曲線上的兩點(diǎn)且，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________.18．（2024·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中）如圖，三個(gè)半徑都是的小球放在一個(gè)半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同一水平面，則碗的半徑是___________.19．（2024·上海虹口·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿意與直線所成角的大小為，則線段掃過(guò)的面積為_(kāi)_____.20．（2024·江蘇·海門(mén)中學(xué)高三期中）已知，分別是邊長(zhǎng)為2的等邊邊，的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折使得平面平面，則棱錐外接球的表面積為_(kāi)________．21．（2024·江蘇常州·高三期中）正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，三棱錐的體積為_(kāi)__________，過(guò)點(diǎn)O且垂直于的平面與底面ABCD的交線長(zhǎng)為_(kāi)__________.四、解答題22．（2024·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)料）如圖，在三棱錐中，△是等邊三角形，．（1）證明：；（2）若，且平面平面，求三棱錐體積．23．（2024·浙江·臺(tái)州一中高三期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.24．（2024·福建省福州第一中學(xué)高三期中）如圖所示，在底半徑為、高為（為定值，且）的圓錐內(nèi)部?jī)?nèi)接一個(gè)底半徑為、高為的圓柱，甲、乙兩位同學(xué)采納兩種不同的方法來(lái)解決.甲采納圓柱底面與圓錐底面重合的“豎放”方式（圖甲），乙采納圓柱母線與圓錐底面直徑重合的“橫放”方式（圖乙）.（1）設(shè)、分別“豎放”、“橫放”時(shí)內(nèi)接圓柱的體積，用內(nèi)接圓柱的底半徑為自變量分別表示、；（2）試分別求、的最大值、，并比較、的大小.25．（2024·江蘇南通·高三期中）如圖，在四棱錐中，，，，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.26．（2024·廣西柳州·一模）如圖，△ABC的外接圓O的直徑|AB|=2，CE垂直于圓O所在的平面，BD∥CE，|CE|=2．|BC|=|BD|=1，M為DE上的點(diǎn)．（1）證明：BM⊥AC；（2）當(dāng)DM為何值時(shí)，二面角C－AM－D的余弦值為．27．（2024·江蘇海安·高三期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知AB//CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝DP＝2，PD⊥平面ABCD．（1）求證：BC⊥平面PBD；（2）設(shè)M，N分別為棱PA，PC的中點(diǎn)，點(diǎn)T滿意，求證：B，N，T，M四點(diǎn)共面．B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·四川·成都七中一模）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿意，其中，，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值;②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得;④當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·四川成都·高三期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為，是空間中隨意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①若為棱中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為；②若在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為；③若在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為；④若過(guò)點(diǎn)的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．3．（2024·浙江·模擬預(yù)料）在矩形中，已知，，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．現(xiàn)將沿直線折起至，使得點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)(不含邊界)，如圖．設(shè)直線，與平面所成的角分別為，，二面角的大小為，則（）A． B． C． D．3．（2024·湖南·模擬預(yù)料）如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐，則當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)改變時(shí)，三棱錐的表面積S的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)分別是棱長(zhǎng)為2的正方體中棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若面，則的長(zhǎng)度范圍是（）A． B． C． D．5．（2024·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三期中）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．36．（2024·安徽師范高校附屬中學(xué)模擬預(yù)料）如圖所示，圓錐的軸截面是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，為中點(diǎn)．若底面所在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，①點(diǎn)在空間形成的軌跡為圓;②三棱錐的體積最大值為③的最大值為2;④與平面所成角的正切值的最大值為上述結(jié)論中正確的序號(hào)為（）．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③7．（2024·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)料）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），有以下四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③若的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L的最小值為；④若的面積為，則．則正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④8．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到的過(guò)程中，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A．的大小不會(huì)發(fā)生改變 B．二面角的平面角的大小不會(huì)發(fā)生改變C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大二、多選題9．（2024·遼寧·大連市第一中學(xué)高三期中）如圖，為圓錐的底面直徑，點(diǎn)是圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為10．（2024·重慶·西南高校附中高三階段練習(xí)）鉆石是金剛石精加工而成的產(chǎn)品，是世界上最堅(jiān)硬的、成分最簡(jiǎn)潔的寶石，它是由碳元素組成的、具有立方結(jié)構(gòu)的自然晶體．如圖，已知某鉆石形態(tài)的幾何體由上、下兩部分組成，上面為一個(gè)正六棱臺(tái)（上、下底面均為正六邊形，側(cè)面為等腰梯形），下面為一個(gè)正六棱錐P-ABCDEF，其中正六棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為a，下底面邊長(zhǎng)為2a，且P到平面的距離為3a，則下列說(shuō)法正確的是（）（臺(tái)體的體積公式：，其中，分別為臺(tái)體的上、下底面面積，h為臺(tái)體的高）A．若平面平面，則正六棱錐P-ABCDEF的高為B．若，則該幾何體的表面積為C．該幾何體存在外接球，且外接球的體積為D．若該幾何體的上、下兩部分體積之比為7：8，則該幾何體的體積為11．（2024·山東青島·高三期中）如圖，底面ABCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，半圓面底面ABCD．點(diǎn)P為半圓弧(不含A，D點(diǎn))一動(dòng)點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的是（）A．三梭錐P—ABD的每個(gè)側(cè)面三角形都是直角三角形B．三棱錐P—ABD體積的最大值為C．三棱錐P—ABD外接球的表面積為定值D．直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為12．（2024·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)，給出下列命題：其中真命題的是（）A．四棱錐的體積恒為定值；B．存在點(diǎn)，使得平面C．對(duì)于棱上隨意一點(diǎn)，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)，使得平面D．存在唯一的點(diǎn)，使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值．三、填空題13．（2024·吉林省試驗(yàn)?zāi)M預(yù)料）在三棱錐中，已知，，分別為，的中點(diǎn)，若三棱錐的外接球球心在三棱錐內(nèi)部，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為_(kāi)_____．14．（2024·山東·泰安一中模擬預(yù)料）如圖，某校學(xué)生在開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)時(shí)，用一塊邊長(zhǎng)為的正方形鋁板制作一個(gè)無(wú)底面的正棱錐（側(cè)面為等腰三角形，底面為正邊形）道具，他們以正方形的兒何中心為田心，為半徑畫(huà)圓，仿照我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)裁剪出份，再?gòu)闹腥》?，并以O(shè)為正棱錐的頂點(diǎn)，且落在底面的射影為正邊形的幾何中心，側(cè)面等腰三角形的頂角為，當(dāng)時(shí)，設(shè)正棱錐的體積為，則的最大值為_(kāi)__________.15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）在梯形中，，，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)的平面截三棱錐的外接