江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

Page9江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.2.若將直線沿軸正方向平移3個(gè)單位，再沿軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，又回到了原來的位置，則的斜率是（）A. B. C. D.3.若數(shù)據(jù)，，，…，的方差為7，則數(shù)據(jù)，，，…，的方差為（）A.7 B.49 C.8 D.644.已知橢圓，若的頂點(diǎn)，分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓上，則的值為（）A.4 B.6 C.8 D.105.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.6.已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，邊分別為軸正半軸，軸正半軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.若將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上（包括端點(diǎn)），則折痕所在直線縱截距的最小值為（）A. B. C.2 D.37.過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線：的垂線，若垂足在圓上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知實(shí)數(shù)，，，滿意，，，則的最大值是（）A. B.6 C. D.12二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.9.若曲線：，下列結(jié)論正確的是（）A.若曲線是橢圓，則 B.若曲線是雙曲線，則C.若曲線是橢圓，則焦距為 D.若曲線是雙曲線，則焦距為10.為迎接黨的二十大成功召開，某中學(xué)實(shí)行黨史學(xué)問競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)依據(jù)，，，，分成5組，繪制了如圖所示的頻率直方圖，依據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）A.B.得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200C.該校學(xué)生黨史學(xué)問競(jìng)賽成果的中位數(shù)大于80D.估計(jì)該校學(xué)生黨史學(xué)問競(jìng)賽成果的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)11.在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上.若，則的可能取值有（）A. B. C.3 D.412.已知點(diǎn)為雙曲線：右支上一點(diǎn)，，為雙曲線的兩條漸近線，過點(diǎn)分別作，，垂足依次為，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)，則直線方程為_________.14.若，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_________.15.已知圓和直線相交于，兩點(diǎn)，若射線，可由軸正方向圍著原點(diǎn)逆時(shí)針分別旋轉(zhuǎn)，角得到，則的值為_________.16.已知，為橢圓左、右焦點(diǎn)，過橢圓的右頂點(diǎn)點(diǎn)作垂直于軸的直線，若直線上存在點(diǎn)滿意，則橢圓離心率的取值范圍為_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.17.已知直線經(jīng)過兩直線：和：的交點(diǎn).（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若點(diǎn)，到直線的距離相等，求直線的方程.18.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的寵愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種主流經(jīng)濟(jì)形式.某直播平臺(tái)對(duì)平臺(tái)內(nèi)800個(gè)直播商家進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)覺所售商品多為小吃、衣帽、果蔬、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖.（1）該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買賣雙方，準(zhǔn)備隨機(jī)抽取40個(gè)直播商家進(jìn)行問詢溝通.假如依據(jù)分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的40個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），并將平均日利潤(rùn)超過300元的商家稱為“優(yōu)秀商家”，所得頻率直方圖如圖所示.（3）請(qǐng)依據(jù)頻率直方圖計(jì)算抽取的商家中“優(yōu)秀商家”個(gè)數(shù)，并以此估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)；（4）若從抽取的“優(yōu)秀商家”中隨機(jī)邀請(qǐng)兩個(gè)商家共享閱歷，求邀請(qǐng)到的商家來自不同平均日利潤(rùn)組別的概率.19.已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，分別為其下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，且的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線，使得與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的重心？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)的直線與圓：交于點(diǎn)（與不同），過原點(diǎn)且垂直于的直線與圓：交于，兩點(diǎn).（1）記直線的傾斜角為，求的取值范圍；（2）若線段的中點(diǎn)為，求面積的取值范圍.21.已知橢圓：，若點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）點(diǎn)是的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不重合的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，求證：內(nèi)切圓的圓心在定直線上.南京師大附中2024-2025學(xué)年度第1學(xué)期高二年級(jí)期中數(shù)學(xué)參考答案一、單選題1.【答案】B【解析】，.2.【答案】C【解析】不妨設(shè)原直線上點(diǎn)，即.3.【答案】A【解析】數(shù)據(jù)離散程度不變.4.【答案】A【解析】，，即.5.【答案】B【解析】由正弦定理得，，由橢圓定義得，即.6.【答案】B【解析】設(shè)折痕所在真線斜率為，設(shè)點(diǎn)折疊后落在上點(diǎn)為，則與折痕垂直，即，即，所以中點(diǎn)，因此折痕所在直線方程為：，其縱截距為.7.【答案】C【解析】，即直線過定點(diǎn)，要滿意題意則點(diǎn)不能在圓內(nèi)，即.8.【答案】D【解析】設(shè)，，則原題等價(jià)于點(diǎn)，是圓上兩點(diǎn)，且，設(shè)中點(diǎn)，由垂徑定理可得在圓上運(yùn)動(dòng)，所以本題等價(jià)于求到直線的距離倍的最大值.二、多選題9.【答案】BCD【解析】A.時(shí)，系數(shù)為負(fù)數(shù)，故錯(cuò).B.若為雙曲線，則，故對(duì).C.若為橢圓，則，故對(duì).D.若為雙曲線，則，故對(duì).10.【答案】ABD【解析】A.，故對(duì).B.，故對(duì).C.中位數(shù)，故錯(cuò).D.平均數(shù)，故對(duì).11.【答案】AC【解析】以為圓點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由已知有：，，，，即在圓上，所以有，則.12.【答案】ABD【解析】A.設(shè)，則，故對(duì).B.由垂直可知，，肯定在以為直徑的圓上，故對(duì).C.由已知兩漸近線夾角，則，同理可得，故錯(cuò).D.，故對(duì).【注】當(dāng)為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，易得，即，且為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，可知，故C錯(cuò).三、填空題13.【答案】或【解析】（1）直線過原點(diǎn)時(shí)，即：；（2）直線不過原點(diǎn)時(shí)，直線斜率為1，即：.14.【答案】8【解析】由對(duì)稱性可得四邊形為矩形，即，即，由橢圓定義與勾股定理得，即.15.【答案】【解析】，即，，所以，，設(shè)直線傾斜角為，其中，因此由題意，，即，或可利用三角函數(shù)的定義得.16.【答案】【解析】由“同弧所對(duì)圓周角為定角”可知即在兩段優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，由圓的垂徑定理可得兩段優(yōu)弧所對(duì)的圓心為，半徑為，又因?yàn)樵谥本€上，所以直線與圓弧有交點(diǎn)，即.四、解答題17.【解析】（1），設(shè)直線斜率為，則，所以：；（2）①，在同側(cè)，則，即，所以：；②，在兩側(cè)，則中點(diǎn)在上，所以，綜上所述，直線的方程為或.18.【解析】（1）抽取小吃類商家（家），抽取玩具類商家（家）；（2）由圖可得，（i）該直播平臺(tái)優(yōu)秀商家個(gè)數(shù)約為（家）；（ii）由已知得：抽取的優(yōu)秀商家中來自300-350元平均日利潤(rùn)組的有4家，來白350-400元平均日利潤(rùn)組的有2家.設(shè)邀請(qǐng)到的商家來自不同平均日利潤(rùn)組別的事務(wù)為，則.19.【解析】（1）由已知得：；（2）①直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，：，，若存在直線使得為重心，則，即，所以有，即：；②直線斜率不存在時(shí)，由重心可知中點(diǎn)應(yīng)在直線上，而此時(shí)明細(xì)不成立，綜上所述，存在直線滿意題意，其方程為：.20.【解析】（1）由題意即直線與圓相交，且直線與圓相交，①直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，即，由題意有，即；②直線斜率不存在時(shí)，易得：，：，即，，滿意題意，此時(shí).綜上所述，；（2）設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，則①直線斜率存在時(shí)，有，所以，②直線斜率不